复合函数定义及单调性知识清单-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学资料聚焦复合函数单调性，学习支架从复习函数单调性定义切入，明确复合函数定义及内外函数拆分，通过表格归纳“同增异减”判定规律，结合定义法完成证明，最终以“求定义域-拆分函数-判断单调性-下结论”四步骤例题及练习巩固，形成完整认知链条。 知识链路遵循“定义-判定-证明-应用”逻辑，亮点在于用表格直观呈现内外函数单调性与复合函数关系，例题步骤规范培养严谨思维。习题分层设计，结合具体函数情境，助力学生通过数学思维推理规律，用数学语言规范表达解题过程，提升应用能力。

复合函数单调性 1、 复合函数的定义 如果是的函数，是的函数，即,则关于的函数叫做函数的复合函数.其中，是中间变量，是自变量，是因变量.一般地，我们称为的内函数，为的外函数. 例如函数是由与复合而成，其内函数为，外函数为；函数是由与复合而成，其内函数为，外函数为. 练习：根据下列复合函数的解析式，写出其内函数与外函数 1. 2. 3. 4. 5. 2、 函数单调性的定义（复习） 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 3、 复合函数单调性 1复合函数单调性的判定 对于函数，若在区间上具有单调性，当时，,且在区间上具有单调性，则复合函数的单调性满足下列规律： 外函数 增 增 减 减 内函数 增 减 增 减 复合函数 增 减 减 减 上述表格中的规律可归纳为：同增异减.即外层函数单调性相同时（同为增函数或同为减函数），则复合函数单调递增；外层函数单调性不同时（一增一减或一减一增），则复合函数单调递减. 2、复合函数单调性的证明 设且. 由在区间单调递增可得； ，且 又在区间单调递增，则 . 因此是区间上的增函数. 这里单调性的证明采用的是定义法，上面证明的是其中第一种，其他情况同理可得。 3. 复合函数单调性典型例题 （1） 求函数的单调区间: 步骤一：求定义域 步骤二：拆分内函数与外函数 步骤三：判断内外函数的单调性（函数性质或者画图等） 步骤四：下结论 课堂练习 1. 2. 3. 4. 5. 课后作业 1．若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $