精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

亿利东方学校2025-2026学年第一学期期末学科素养综合评价 九年级 数学 试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 下列图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点表示的数是，且，两点到原点的距离相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由大小相同的正方体搭成的立体图形，该几何体的三视图中形状相同的是（ ） A. 主视图和俯视图 B. 俯视图和左视图 C. 主视图和左视图 D. 以上结果都不对 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式中，与组成不等式组，无解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段与相切于点C，连接交于点D．已知，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥﹣2 C. m＜﹣2 D. m≤﹣2 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 9. 某社交媒体日活跃用户数量达到亿人，用科学记数法表示为______人． 10. 在生态学中，某种濒危鸟类有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 11. 小明欲测量包头市地标“三鹿腾飞”的高度．如图，他在地标一侧的A 点利用测角仪测得其顶端N点仰角为，接着移动到另一侧的B点，测得其顶端N点的仰角为 已知A，B两点相距52米(A，B在同一水平线上，且点A，B，M，N在同一平面内)，测角仪离地面1.6米，则该地标的高度约为______米．(结果保留一位小数；参考数据： ) 12. 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 三、解答题 13 （1）计算：； （2）化简：． 14. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 15. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； （2）若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 16. 如图，是的直径，弦，垂足为点F，点P是延长线上一点，，垂足为点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径和的长． 17. 如图所示是隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 18. 在矩形中， ，点E是边上一动点，连接． （1）如图1过点E作交于点 F． ①求证： ； ②连接，求四边形面积的最大值； （2）如图2连接，将 沿直线折叠，点D 的对应点M落在上．若平分 ，连接并延长，交于点H，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2025-2026学年第一学期期末学科素养综合评价 九年级 数学 试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 下列图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题关键在于熟悉轴对称图形的相关概念是解题关键. 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，数轴上点表示的数是，且，两点到原点的距离相等，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及绝对值的意义，熟练掌握数轴上有理数的表示及绝对值的意义是解题的关键；由题意易得数轴上，两数互为相反数，然后根据绝对值的意义可进行求解． 【详解】解：，两点到原点距离相等， 数轴上，两数互为相反数， 又数轴上点表示的数是， 点表示的数是， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂相除和合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． 根据相关的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，符合同底数幂除法法则，该选项正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，是由大小相同的正方体搭成的立体图形，该几何体的三视图中形状相同的是（ ） A. 主视图和俯视图 B. 俯视图和左视图 C. 主视图和左视图 D. 以上结果都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点，分别得到三视图，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，该立体图形的三视图如下， ∴该几何体的三视图中形状相同的是主视图和俯视图， 故选：A ． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C. 6. 下列不等式中，与组成不等式组，无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求解不等式组，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的的解集，然后判断与个选项有无公共部分即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A、且，则解为，有解，不符合题意； B、且，解为，有解，不符合题意； C、且，解为，有解，不符合题意； D、且，无公共解，不等式组无解，符合题意； 故选D． 7. 如图，线段与相切于点C，连接交于点D．已知，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算，掌握以上知识是关键，根据题意，连接，得，根据勾股定理得到，由，得，，根据，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵线段与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥﹣2 C. m＜﹣2 D. m≤﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞2时，y随着x的增大而增大，可知二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，求出m的取值范围即可． 【详解】解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当x＞2时，y随着x的增大而增大， ∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 9. 某社交媒体日活跃用户数量达到亿人，用科学记数法表示为______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，n为整数，确定n的值的方法：当的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值；当的绝对值小于10时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为：． 10. 在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点，设函数表达式为，当时， ，即可求解． 【详解】解：设函数表达式为，当时， ， ∴， ∴当时， ∴ 故答案为：100． 11. 小明欲测量包头市地标“三鹿腾飞”的高度．如图，他在地标一侧的A 点利用测角仪测得其顶端N点仰角为，接着移动到另一侧的B点，测得其顶端N点的仰角为 已知A，B两点相距52米(A，B在同一水平线上，且点A，B，M，N在同一平面内)，测角仪离地面1.6米，则该地标的高度约为______米．(结果保留一位小数；参考数据： ) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-俯角仰角问题，关键是构建直角三角形，运用三角函数求解． 根据题意得，，，，设，则，在中，可得，则，求解即可. 【详解】解：如图；，，，， ∵，， ∴ 设，则， ∵ ， 在中，可得，则，解得 ∴. 12. 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 13. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）11；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零指数幂与负整数指数幂的含义，算术平方根的运算，分式的混合运算，熟记相关的运算法则是解本题的关键． （1）先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂和绝对值，再计算加减法即可； （2）括号内先通分，再将除法变为乘法，最后进行分式的乘法运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 14. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3 8.5 7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 （名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 15. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； （2）若甲种剪纸售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1） 甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 （2） 甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元，由此列方程求解即可； （2）设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套，由题意列不等式得到，设利润为，结合题意得到，由此一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元， ∴， 解得，， ∴， ∴甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元； 【小问2详解】 解：设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套， ∴， ∴， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，，此时， ∴甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 16. 如图，是的直径，弦，垂足为点F，点P是延长线上一点，，垂足为点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1）见解析； （2）的半径为3，的长为． 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）设的半径为，则，，在中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵弦 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 又 ∵是的半径 ∴是的切线 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为，则 ∵ ∴ 在中，，即 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 解得： 所以的半径为3，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键． 17. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是． 【解析】 【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标； （2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过； （3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 【详解】解：（1）由题知点抛物线上 所以， 解得， ∴， ∴当时， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）） 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得 答：两排灯的水平距离最小是 18. 在矩形中， ，点E是边上一动点，连接． （1）如图1过点E作交于点 F． ①求证： ； ②连接，求四边形面积的最大值； （2）如图2连接，将 沿直线折叠，点D 的对应点M落在上．若平分 ，连接并延长，交于点H，求的长． 【答案】（1）①见详解；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质，垂直的定义，相似三角形的判定即可求解； ②设，则，由相似三角形的性质得到，根据四边形的面积列式，结合二次函数图象的性质即可求解； （2）根据题意得到，均是等腰直角三角形，由角的和差得到，从而证明，得到，根据即可求解． 【小问1详解】 解：①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值， ∵顶点坐标的横坐标为， ∴的最大值； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $