考点六 圆—2026年中考数学二轮复习高频考点突破试卷

考点六 圆—2026年中考数学二轮复习高频考点突破 一、选择题（30分） 1.如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是( ) A.4 B.2 C. D. 2.如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 3.如图，点A，B，C在上，，连接，，若的半径为6，则扇形的弧长为( ) A. B. C. D. 4.如图,点A,B,C,D在上,若,则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 5.如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图.已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为( ) A. B. C. D. 6.如图,正六边形内接于,正六边形的周长是12,则的半径是( ) A.1 B. C.2 D. 7.如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 8.如图，等边内接于，点E是弧上的一点，且，则的度数为( ) A. B. C. D. 9.如图,在平面直角坐标系中,已知点、点、,点P在以为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足,则t的最大值是( ) A.6 B.5 C.4 D.10 10.如图，在扇形中，，点是的中点．过点C作交于点E，过点E作，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题（15分） 11.若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为______cm. 12.如图,四边形是的内接四边形,,则______°. 13.如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为_______. 14.如图,C,D是以为直径的半圆周的三等分点,.则阴影部分的面积等于______. 15.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为______. 三、解答题（55分） 16．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径． 17．如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 18．如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 19．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 20．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③ ，你认为哪个正确？请说明理由． 21．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时（如图2），求的长； (3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 22．圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知． (1)如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值； (2)如图2，若，，求的最大值 23．（1）如图1，在中，，D为上一点，于点 E，若，则 ． （2）如图2，在锐角中为边上的高，若 ，求的长． （3）如图3，为的外接圆，已知的半径为5，弦于点H， 且，为的一条直径．M、N分别为上一点，连接．若，，求面积的最大值． 24定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中项点”． (2)中，，点是边上的“中项点”，求线段的长． (3)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的值． 答案以及解析 1.答案：B 解析：扇形的弧长，圆锥的底面半径为. 故选：B. 2.答案：B 解析：四边形内接于，， ， ， ， ， ， ； 故选B. 3.答案：B 解析：∵， ∴， ∵的半径为6， ∴扇形的弧长为， 故选：B. 4.答案：C 解析：A、,,该选项正确,但不符合题意； B、,,,,该选项正确,但不符合题意； C、由已知条件无法判断,故无法判断,故该选项错误,但符合题意； D、由B选项得,,该选项正确,但不符合题意. 故选：C. 5.答案：A 解析：连接，如图所示： 的直径为， ， 由题意得：，， ， ， 积水的深度， 故选：A. 6.答案：C 解析：连接,, ∵多边形是正六边形, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∵正六边形的周长是12, ∴, ∴的半径是2 故选：C 7.答案：C 解析：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 8.答案：C 解析：连接，， ∵，， ∴， 则， ∵是等边三角形， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：C. 9.答案：A 解析：∵、, ∴中点坐标为,即, ∴点A即为的中点, ∵, ∴点P在以A为圆心,半径为的圆上, 又∵点P在以D为圆心,半径为1的圆上, ∴当A、P、D三点共线时且P在D点上方时,有最大值,即t有最大值, ∴, ∴t的最大值为6, 故选A. 10.答案：B 解析：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点C是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 11.答案： 解析：设圆锥底面半径为rcm, 则圆锥底面周长为：, ∴侧面展开图的弧长为：, ∴, 解得：, 故答案为：. 12.答案： 解析：∵四边形是的内接四边形,, ∴,, ∴, ∴； 故答案为：130. 13.答案： 解析：是的内接正三角形； ， 过O作于D，连接，则长为边心距，如下图， 在直角中，，， ， ， ， 故答案为. 14.答案：/ 解析：连接,, ∵C,D是以为直径的半圆周的三等分点,是的直径, 、、的度数都是, , , 是等边三角形, , , 和的面积相等, 即阴影部分的面积=扇形的面积, ,, , 故答案为：. 15.答案： 解析：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点， 根据轴对称的性质可知，， ， 两点之间线段最短， 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， A是半圆上一个三等分点， ， 又点B是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值是. 故答案为：. 16、【答案】的半径为． 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得 ，由线段和差得 ，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：（舍去），， 故的半径为． 17、【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，设，，则，，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，以及三角形内角和定理推导出，根据垂直平分线的性质可得，进而可得是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）延长交于点，根据（1）可得是等腰直角三角形，进而得出是的中位线，得出，，延长至使得，连接，证明，得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 设，，则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， 又∵是直径，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分，则， ∴是的中点， ∴， ∴，， ∵，，则， ∴， 如图所示，延长至使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 18、【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据直角三角形中两锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明； （2）连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出，，根据三角形的面积求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， 是直径， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点G作，垂足为K，过点G作，垂足为M，   是直径， ， 又平分，， ，， 在等腰直角中，， ， ， ，， ， ，则， ， ， ，即， ， ， ． 19、【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二：． 20、【答案】(1)见解析 (2)②正确，理由见解析 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质． （1）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论； （2）证明，得到，，则，进而求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：②正确，理由如下： 过点B作交延长线于点G，如图2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． 21、【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．    在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．    当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． （3）解：如图3，连接，设，则，    ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 22、【答案】(1)①当时，交点个数为1；当时，交点个数为2；② (2)6 【分析】（1）①过点作且，连接、、，利用平行线的性质得出，得到，得到，则有点在以为直径的圆上；设中点为，以为直径的圆记为，由可知与直线至少有1个交点，再设与直线相切，利用正方形的性质和判定求出此时的长，即可得出结论；②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，设的中点为，则，再利用勾股定理求出的长，根据即可求出的最大值； （2）在平面上取点使得且，作于点，连接、，先利用平行线的性质得出，利用三角形面积公式和三角函数的知识求出；作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，利用外接圆的性质和三角函数的知识求出的半径，再根据即可求出的最大值． 【详解】（1）解：①如图，过点作且，连接、、， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上； 设中点为，以为直径的圆记为， ， 点在上， 又点在直线上， 与直线至少有1个交点， 设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有， ， 点在上， 点为与的交点， ， ， 又，， ， ， 点也是的中点，四边形是矩形， ，， 设中边的高为，则， ， 是中边的高，即， 四边形是正方形， ， 又，， 四边形为边长为2正方形， ， 当时，与直线相切；当时，与直线相交． 综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2． ②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上， 设的中点为，则， ， ， ， 的最大值为． （2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、， ， ，， ， ，， 于点， ， 在中，， ； 作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则， ，， ，，， ， 在中，， ， 的半径为， 在中，， ， ， 的最大值为6． 23、【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）利用正切定义得到求解即可； （2）先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，设，则，利用三角形的面积和勾股定理求得，，然后利用完全平方公式求得即可； （3）连接，，，先根据弧、弦、圆周角的关系得到，根据圆周角定理可等腰三角形的判定得到，，进而由勾股定理求得 仿照（2）中方法，求得；连接，则，，， 证明得到，，设，利用三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵于点E，， ∴ 即； （2）∵，为边上的高， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，由得， 则， ∴（负值已舍去）， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的半径为5，即， ∴， 仿照（2）中方法，设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， ∴（负值已舍去）， ∴； 连接， ∵为的一条直径， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $