第05讲 正态分布（思维导图+3知识点+8大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教B版

第05讲 正态分布 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正态密度函数】 【题型02：概率分布曲线的认识】 【题型03：标准正态分布的应用】 【题型04：特殊区间的概率】 【题型05：指定区间的概率】 【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】 【题型07：正态分布与其他分布的结合】 【题型08：原则】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点2：正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点3：三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【题型01：正态密度函数】 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 3．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为 . (附：若随机变量服从正态分布，则，，)    4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 5．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【题型02：概率分布曲线的认识】 6．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最大，最大 B．最大，最大 C．最大，最大 D．最大，最大 7．（多选）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 9．（多选）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．， B． C．， D． 10．（多选）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【题型03：标准正态分布的应用】 11．产品质量指标，，. (1)求； (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率（结果保留四位小数）. 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：. 12．已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 13．2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． (i)利用直方图得到的正态分布，求； (ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)． 参考数据：，，，，.若，则，，. 14．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）； （2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． （ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求； （ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望． 参考数据：，．若，则． 【题型04：特殊区间的概率】 15．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 16．已知随机变量，则（   ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．03415 17．（多选）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则，， A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率不超过0.9 D．学生数学成绩的优秀率约等于0.023 18．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 19．在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 【题型05：指定区间的概率】 20．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 21．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩 近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（    ） A．140 B．220 C．280 D．440 22．设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：s)服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个成绩，其中成绩在间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 25．已知某随机变量X服从正态分布，且，则 ， 【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】 26．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 27．已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 28．已知随机变量，，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 29．若随机变量，且，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 30．若随机变量，则 ． 【题型07：正态分布与其他分布的结合】 31．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）. (1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：） (2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？ 32．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 33．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 34．人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件． (1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望： (2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案． 35．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 36．当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时），若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为4万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. (1)求出10个样品中有几个不合格产品； (2)若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其概率分布与期望； (3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费万元？ 【题型08：原则】 37．“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 38．一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 39．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 40．新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. (1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 41．某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 一、单选题 1．已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 2．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 4．若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 二、多选题 6．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A． B． C． D． 8．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 三、填空题 9．某中学高三年级男生的身高（单位：）可近似看作服从正态分布，且，则 . 10．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果精确到0.01） 附：，，． 11．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 四、解答题 12．假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间内的概率； (3)不高于180的概率. 13．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 14．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． (2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，． 15．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 正态分布 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：正态密度函数】 【题型02：概率分布曲线的认识】 【题型03：标准正态分布的应用】 【题型04：特殊区间的概率】 【题型05：指定区间的概率】 【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】 【题型07：正态分布与其他分布的结合】 【题型08：原则】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正态分布的概念 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点2：正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点3：三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 【题型01：正态密度函数】 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 【详解】， . 故选：B. 2．设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 3．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率约为 . (附：若随机变量服从正态分布，则，，)    【答案】 3 0.1359 【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度内的概率为： . 故答案为：；. 4．根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 5．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【答案】(1)，. (2)34.14% 【分析】 【详解】（1） 设公司人均月收入为， 结合题图可知，. 此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为: ，. （2） ，则， 所以. 故公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%. 【题型02：概率分布曲线的认识】 6．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最大，最大 B．最大，最大 C．最大，最大 D．最大，最大 【答案】D 【详解】由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大， 表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线比较均值和方差，属于基础题. 7．（多选）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长. 因此，，. 故选：BD. 【点睛】本题考查正态密度曲线的特点以及曲线所表示的意义，考查正态密度曲线两个特征数：均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，属于基础题. 8．（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 9．（多选）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】CD 【详解】解：由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，故C正确. 根据图象可知，，，，所以，，故B不正确，D正确. 故选：CD. 10．（多选）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 【题型03：标准正态分布的应用】 11．产品质量指标，，. (1)求； (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率（结果保留四位小数）. 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，则， 且，则，解得. （2）由题意可得：， 记指标在的之内的件数为，则， 所以. 12．已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【答案】(1)分布列见解析，期望值为； (2) 【分析】 【详解】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 13．2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图． (1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)； (2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． (i)利用直方图得到的正态分布，求； (ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)． 参考数据：，，，，.若，则，，. 【答案】(1)平均数9，样本方差1.64 (2)(i)0.7823；(ii)0.993，4.35 【分析】 【详解】（1）， ． （2）(i)由题意并结合(1)可知，，， ∴，∴． (ii)由(ⅰ)可知，， ∴， ∴，． 14．2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）； （2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且． （ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求； （ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望． 参考数据：，．若，则． 【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532. 【分析】 【详解】解：（1）． ． （2）（ⅰ）由题知，，所以，． 所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，可得． ． 故的数学期望． 【点睛】关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数”，转化为得到，属于中档题. 【题型04：特殊区间的概率】 15．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【详解】由题意知， ． 故选：B. 16．已知随机变量，则（   ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．03415 【答案】B 【详解】由题意，所以. 故选：B 17．（多选）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则，， A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率不超过0.9 D．学生数学成绩的优秀率约等于0.023 【答案】ACD 【详解】服从正态分布，则，故 A正确错，B错误； 而， ，故C正确； 而，故D正确． 故选：ACD． 18．为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，解得，. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 19．在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 【答案】(1)，估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分 (2)估计得分在上的人数约为人. 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 因为上的频率分别为， 所以样本的平均值为， 估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分； （2）取，则，可得标准差， ， ， ， ， 估计得分在上的人数约为人. 【题型05：指定区间的概率】 20．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【详解】因为服从正态分布，且， 则， 则. 故选：A 21．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩 近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（    ） A．140 B．220 C．280 D．440 【答案】B 【详解】由于正态分布关于均值对称， 可得：. 因为 ，且， 所以， 代入已知值：得， 解得：. 所以. 总学生数为 1000 人， 及格人数为：. 故选： B 22．设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，则(自由度为1的卡方分布)，即， 表示落在区间的概率，由于是连续型随机变量，该概率表示为， 若m为负数，则， 所以，m为非负实数， 所以， 根据卡方分布表，，， 由于9介于和之间，故 (略小于)，则， 表格中，，因此对应的介于3.841和5.024之间. 故答案为：B 23．（多选）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 因为随机变量，所以， 则，故C正确； 又，故D错误. 故选：ABC. 24．（多选）某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：s)服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个成绩，其中成绩在间的个数记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由正态分布的对称性可知：， 故，故A错误； ，故，故B正确； ，，故，故C错误； 因为，所以， 故，故D正确． 故选：BD. 25．已知某随机变量X服从正态分布，且，则 ， 【答案】 0.1/ 0.8/ 【详解】由题可知，又，则. 由对称性可知，则， 所以. 故答案为：， 【题型06：根据正态曲线的对称性求参数】 26．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 27．已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 28．已知随机变量，，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为. 又因为，所以，解得. 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 29．若随机变量，且，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【详解】由随机变量，且，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以有有最小值，无最大值. 故选：B 30．若随机变量，则 ． 【答案】 【详解】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 【题型07：正态分布与其他分布的结合】 31．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）. (1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：） (2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)0. 【分析】 【详解】（1）因为，所以, 所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为， 如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的. （2）次品的概率为， 抽取100个零件进一步检测，设次品数为,则，其中， 故， 设次品数最可能是件， 则， 即， 即，解得. 因为，所以，故. 故这100个零件中的次品数最可能是0. 32．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【分析】 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 33．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． (1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； (2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 【答案】(1)159 (2)取得最大值时n的值为8 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)． （2）依题意可得，， 设， 所以， 所以 所以，因为整数，所以， 所以当取得最大值时的值为8． 34．人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件． (1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望： (2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)，从工厂盈利的角度应选择方案一 【分析】 【详解】（1）由题意可知的可能取值为1,2,3， ∴ξ的分布列如下： 1 2 3 P ． ∴． （2）∵且， ∴． ∴这批产品的次品率为 设该工厂生产的这批产品有n件，记Y为这批产品的次品数量，则 若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望为． 若选择方案一， 则该工厂的利润的期望为 令，解得． 若选择方案二， 假设抽样检测件，则检测出的次品的期望为0.04m件，不检测的产品有件，则该工厂的利润的期望为 令，解得． 则， ∵，且， ∴． ∴，并从工厂盈利的角度应选择方案一、． 35．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 36．当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要求较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间（小时），若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为4万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现. (1)求出10个样品中有几个不合格产品； (2)若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为，求其概率分布与期望； (3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费万元？ 【答案】(1)3个 (2)分布列见解析， (3)万元 【分析】 【详解】（1）因为，且视为不合格， 所以，所以， 即个样品中有个不合格产品. （2）由（1）可知，个样品中有件不合格产品，有件合格产品； 所以，的可能值为，，，. 所以，， ，， 所以分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）由（1）可知，不合格品的概率为， 所以不合格品的个数， 所以块电池中，不合格品的个数为个， 所以维修费用万元. 【题型08：原则】 37．“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 38．一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 【答案】(1)0.093 (2)不正常，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）电阻阻值服从正态分布. 所以，. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为 ， . 因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率； （2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即， 记，计算可得， 而，即， 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常. 39．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. ①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1) (2)①能，理由见解析②假 【分析】 【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知 . （2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且， 所以，则；而， 且， 所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 40．新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门. (1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】(1)种 (2)①4093人；②不可信 【分析】 【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法； （2）①设此次网络测试的成绩记为，则， 由题知，，， 则，所以， 所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人； ②不可信.， 则， 5000名学生中成绩大于430分的约有人， 这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 41．某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． (1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率； (2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 【答案】(1) (2)①能，理由见解析；②乙所说为假 【分析】 【详解】（1）设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为， 由题意知 . （2）设此次闯关活动的分数记为． ①由题意可知， 因为，且， 所以，则； 而，且， 所以前名参赛者的最低得分高于， 而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励； ②假设乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假． 一、单选题 1．已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 【答案】A 【详解】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 2．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值， 所以， 故选：D . 3．某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 【答案】A 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有辆. 故选：A 4．若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，则， ，故， 设，则， . 故选：C. 5．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ）. A．关于直线对称 B．关于点成中心对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】B 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 二、多选题 6．若随机变量，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为， 所以，A说法正确； ，B说法正确； ，C说法正确； ，D说法错误； 故选：ABC 7．设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依据二项分布相关公式，． 依据正态分布定义，． 故而由期望可加性，A选项正确． 由随机变量数学期望和方差的相关性质，， ，因此B选项正确，C选项错误． 由正态分布的相关性质，有， 而，所以，D选项正确． 故选：ABD 8．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【答案】AD 【详解】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A正确； ，， 因为， 所以，故B错误； ，故C错误； 因为， ， 又，， 又与的密度曲线大致如下，所以， 所以，所以李明应选择公交车，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 9．某中学高三年级男生的身高（单位：）可近似看作服从正态分布，且，则 . 【答案】0.85/ 【详解】因为服从正态分布，且， 故. 故答案为： 10．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果精确到0.01） 附：，，． 【答案】 【详解】由题知，事件为“该同学的成绩”， 因为，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 11．在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 【答案】0.1/ 【详解】若，则） 因为工业生产中轴承的直径服从， 所以，则， 由， 得， 则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为. 故答案为：## 四、解答题 12．假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间内的概率； (3)不高于180的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设该学生的身高为X，由题意可知 易知. （2）因为均值为170，标准差为10，而， 所以. （3）由概率的加法公式可知. 又由（2）以及正态曲线的对称性可知 ， 因此 13．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查．已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数为14，所抽取的90位女性的调查数据的平均数为21． (1)计算这次调查总样本的均值； (2)假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且，其中为（1）中计算所得的总样本的均值．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1)17 (2)0.004 【分析】 【详解】（1）根据题意，把男性样本记为，其平均数记为； 把女性样本记为，其平均数记为，则， 记总样本数据的平均数为， 则，总样本数据的平均数为17. （2）根据题意，由（1）知，所以， 所以， 设抽取的3位参与者中，脂肪含量均小于12.2%的人数为， 易得， 故， 故3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004. 14．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的累积分布函数为，求． (2)在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔．已知随机变量T（单位：天）表示某元件的使用寿命，T服从指数分布，其累积分布函数为． ①设，证明：； ②若第n天只有元件A发生故障，求第天系统正常运行的条件概率． 参考数据：若，． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，可知， 则， 则, （2）①由题意知， 因为，所以， 等式右边， 所以成立. ②由①可得， 所以第天元件正常工作的概率均为， 当第天系统正常运行时，元件至少有一个在正常工作，其对立事件第天系统不正常运行时，元件都不正常工作. 则第天系统正常运行概率为. 15．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 【答案】(1)0.046 (2)检测员的判断是合理的，理由见解析 (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】 【详解】（1）由题意，，的概率等于． 令，则．因此，． 故净含量误差不小于5g的概率约为0.046． （2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的． （发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． （3）可能的取值为、、、． 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为． 故服从二项分布，记， ，，， 从而的分布列为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $