预习05 正态分布（六大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习05 正态分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征； 2．了解正态分布的均值、方差及其含义； 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率 知识点一、正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点二、正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点三、三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 考点一：正态密度的函数 例1．函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 变式1-2．若某种零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，且.试估计尺寸在72~88的零件占总数的百分之几. 【答案】68.27%. 【详解】由于函数在上单调递增，在上单调递减， 所以正态曲线关于直线对称，且在处取得最大值， 因此，，所以. 由，，得，， 又 因此尺寸在72~88的零件大约占总数的68.27%. 变式1-3．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在的概率． 【答案】(1) (2)0.6826 【详解】（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即.由，得， 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 （2） 考点二：正态密度曲线的性质 例2．（多选）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 【答案】ABD 【详解】因为 ，所以 正确; 显然 是减函数，正确. 因为 ， 的图象关于点 对称， 且 ,所以 不是偶函数,不正确， 正确. 故选：ABD. 变式2-1．若随机变量，，，则的最小值为 ． 【答案】18 【详解】因为，所以对应的正态曲线的对称轴为直线. 又，则由对称性得. 又，所以. 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立. 所以的最小值为18. 故答案为：18. 变式2-2．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 变式2-3．已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 考点三：求指定区间上的概率 例3．生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 【答案】D 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 变式3-1．已知某厂生产的某配件的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且该配件使用寿命不低于年的概率为，不低于年的概率为，若某产品制造需要同时使用个该配件，且个配件能否正常工作相互独立，则在年内这个配件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以， 结合正态分布的性质可得该配件的使用寿命的平均值为， 则，即在年内每个配件能正常工作的概率为， 因此在年内这个配件都能正常工作的概率为． 故选：C 变式3-2．已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以. 故选：C. 变式3-3．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 考点四：根据正态曲线的对称性求参数 例4．已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为随机变量，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值4. 故选：C. 变式4-1．已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，则， 且，即，可得， 若， 则，即，解得. 故选：C. 变式4-2．已知，且，则 . 【答案】0.6/ 【详解】因为，所以， 则. 因为，所以. 故答案为：0.6. 变式4-3．已知随机变量服从正态分布，若，则为 .（，，） 【答案】0.00135 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 因为，所以， 所以 . 故答案为：0.00135 考点五：标准正态分布问题 例5．（多选）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 变式5-1．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 【答案】59.9 【详解】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9. 故答案为：59.9 变式5-2．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 变式5-3．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 考点六：原则 例6．（多选）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 变式6-1．一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【详解】依题意，所以， 所以，，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 变式6-2．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差的概率不小于0.9545，则至少需要测量的次数是 （若，则）. 【答案】16 【详解】因为误差的概率不小于0.9545， 所以， 由题意可知， 即，所以至少需要测量的次数是16次. 故答案为：16 变式6-3．国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 一、单选题 1．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】B 【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同， 所以. 故选；B. 2．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：依题意，得， 故； 解法二：数学成绩在80分至95分的有人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故. 故选：B. 3．已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【详解】根据正态曲线的对称性，由，得， 再由总体密度曲线，数形结合知：. 故选：B． 4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 5．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 二、多选题 7．已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 8．若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【详解】由题设可知，，则随机变量， 可得随机变量的标准差为，可得A错误，B正确； 因为 ，即C正确； 易知，即D错误. 故选：BC 三、填空题 9．设，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，，则， 故. 故答案为：. 10．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以， 所以，即， 解得，故至少需做次实验． 故答案为： 四、解答题 12．设，试求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，． ． （2）， ． （3）， ． 13．某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)①4.55万件；②分布列见解析， 【详解】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． （2）①因为， 所以，且； 所以或或， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 14．某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)． (2)该校高二年级学生体能检测成绩合格． 【详解】（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件， “甲以或或获胜”分别记为事件，，， “甲前3局比赛均获胜”为事件． 则， ， ， ． ， ， 所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下， 前3局比赛均获胜的概率． （2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则． ， 所以， 所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人， 而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习05 正态分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征； 2．了解正态分布的均值、方差及其含义； 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率 知识点一、正态分布 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点二、正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 知识点三、三个特殊区间内取值的概率值及原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 考点一：正态密度的函数 例1．函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   (1)，； (2)，. 变式1-2．若某种零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，且.试估计尺寸在72~88的零件占总数的百分之几. 变式1-3．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在的概率． 考点二：正态密度曲线的性质 例2．（多选）已知随机变量 服从标准正态分布，令函数 ，则（    ） A． B． 是减函数 C． 是偶函数 D． 的图象关于点 对称 变式2-1．若随机变量，，，则的最小值为 ． 变式2-2．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 变式2-3．已知，若，曲线的对称中心为，则 . 考点三：求指定区间上的概率 例3．生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 变式3-1．已知某厂生产的某配件的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且该配件使用寿命不低于年的概率为，不低于年的概率为，若某产品制造需要同时使用个该配件，且个配件能否正常工作相互独立，则在年内这个配件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 变式3-3．在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 考点四：根据正态曲线的对称性求参数 例4．已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-1．已知随机变量，且，若，则实数（   ） A．0 B． C．1 D．2 变式4-2．已知，且，则 . 变式4-3．已知随机变量服从正态分布，若，则为 .（，，） 考点五：标准正态分布问题 例5．（多选）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 变式5-1．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1位小数） 附：若，． 变式5-2．某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 变式5-3．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 考点六：原则 例6．（多选）在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（    ） A． B． C．若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D．若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 变式6-1．一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 变式6-2．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差的概率不小于0.9545，则至少需要测量的次数是 （若，则）. 变式6-3．国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 一、单选题 1．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 2．已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 5．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 二、多选题 7．已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 8．若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（   ） （已知：） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 9．设，，则 . 10．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 11．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 四、解答题 12．设，试求： (1)； (2)； (3)． 13．某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． (1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． (2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 14．某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$