精品解析：山东省烟台市莱阳市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末学业水平检测初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键． 设点的坐标为，则点的坐标为，把点的坐标代入，得到反比例函数的解析式为，结合正方形的性质，得到，，，求出线段和线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点是射线上一点，过点作轴于点， ∴点的坐标为， ∵过点的双曲线交边于点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 故选：A． 3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的余弦值，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形，再由余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：取格点D，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 4. 如图，路灯到地面的距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，可证明得到，，则，，根据得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴小明的影子的长度变短， 故选：D． 5. 老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：拋物线被轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（ ） 已知抛物线与轴交于，试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线，这个条件可以是什么？ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与轴的交点坐标．分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线． 【详解】解：当添加的条件为甲的说法时， ∵抛物线过点、， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故甲的说法正确； 当添加的条件为乙的说法时， ∵抛物线过、， ∴， 解得、， 此时函数解析式为， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故乙的说法正确； 当添加的条件为丙的说法时，此时函数解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， 因此函数解析式为，此时对称轴为，与题目中结论一致； 故丙的说法正确； 当添加的添加为丁的说法时， ∵抛物线被轴截得的线段长为2，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为或，所以对称轴为轴或直线，与题目中的结论不符； 故丁的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，只有丁的说法错误． 故选：A． 6. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、与中点有关的三角形的面积的计算及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．过点作轴于，则，求出，得出点为的中点，再由得出，得出点是的中点，从而得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案． 【详解】解：过点作轴于，则， ∵反比例函数与交于点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∵函数与交于点，轴， ∴， 解得：， ∵图象在第一象限， ∴． 故选：B． 8. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A. （ +）海里 B. 2海里 C. （+1）海里 D. 2海里 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作OC的垂线BD，过点A作AE⊥OB，根据题意要求长度即为转化为求BD的长度.根据△OBD的特殊角度的三角函数可求得AE=，利用△AOE特殊角度的三角函数求得OE=2，OB=2+2.通过△BOD可求得BD长度. 【详解】如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E． 在直角△ABE中， ∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4， ∴AE＝BE＝AB＝2． 在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°， ∴OE＝＝＝2， ∴OB＝OE+BE＝2+2． 在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°， ∴BD＝OB＝+． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本类题型的关键是构造直角三角形，利用特殊角度的三角函数求线段长度. 9. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出，，根据菱形性质求出，根据勾股定理求出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 由勾股定理得：， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴阴影部分的面积： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算，勾股定理，等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 10. 二次函数二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③为任意实数、则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ， ， 故①错误； ②对称轴是直线，与x轴交点在左边， 二次函数与x轴的另一个交点在与之间， ∴当时，， ， 故②错误； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是， m为任意实数，则， ， ③正确； ④， ， 由②得， ， ④正确； ⑤， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ⑤正确； 综上可知，正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的关系． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵函数 与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，中，，，，于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求锐角的余弦值、直角三角形两锐角互余及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．利用勾股定理求出，根据角的和差关系得出，根据三角函数的定义即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 14. 如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．正确得出利润关于的关系式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设利润为元，根据利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价得出关于的关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可得答案． 【详解】解：设利润为元， ∵商品每件的进价为元，以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件， ∴， ∵， ∴时，有最大值， ∴要使利润最大，每件的售价应为元． 故答案为： 16. 抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线解析式为，，即可得出，即可表示出的长，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把代入和，求出和的值，即可得答案； （2）根据一次函数解析式求出，，联立两个解析式求出，根据即可得答案； （3）过点作轴，交于，根据点坐标得出直线解析式为，得出，，的面积为，利用三角形面积公式列方程求出的值，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数交于点和点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数解析式为， ∴当时，，当时，， ∴，，， 联立一次函数与反比例函数解析式得：， 解得：，， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于， 设直线解析式为，， ∵ ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在第一象限，且在点的左侧， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 18. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 【答案】6.2米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题； 过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：在中，米，， ， 米， 过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ，， 设米， 米， 斜坡的坡比是：， 米， 米， 在中， 解得：，经检验是原方程的解， 答：点离地面的距离约为米． 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为； （2）发球机的弹射出口高度应调整为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 【小问2详解】 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的很多方面．一款智能机器人的侧面示意图如图所示，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求这款机器人的最高点距地面的高度．（参考数据） 【答案】最高点距地面的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 过点、分别作，，垂足为、，过点作，垂足为，分别解，，求出、的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：如图，过点、分别作，，垂足为、，过点作，垂足为， ∴四边形为矩形，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最高点距地面的高度为． 22. 某商店销售的一种商品每件进价元，在第天的售价与销量的相关信息如表： 时间 售价/（元/件） 每天销量/件 设每天销售这种商品的利润为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售第35天时，当天销售利润最大，最大利润4050元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数、分段函数的应用，解题的关键是求出分段函数的解析式． （1）利用利润单件利润销量即可求出时的函数关系式； （2）求出时与的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值，根据（1）中时的关系式，利用一次函数的性质求出最大值，比较即可得答案． 【小问1详解】 解：∵当时，售价为元/件，每件进价元，销量为件， ∴． 【小问2详解】 解：当时， ∵售价为元/件，每件进价元，销量为件， ∴， ∵， ∴时，有最大值，为元， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，为（元）， ∵， ∴销售第天时，当天销售利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）连接，根据切线的性质得出，即可证明，根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质即可得出； （2）连接，利用勾股定理求出，根据是直径得出，根据角的和差关系可得，即可证明，根据相似三角形的性质可求出的长，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如（1）中图，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，即的半径为． 24. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式和的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上点，连接．当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线解析式，再利用正切的定义计算即可得出的值； （2）解直角三角形得出，结合题意得出，证明，得出，设点坐标为，则，，带入计算即可得出答案； （3）作，且使，连接FH，证明得出，，从而得出共线时，的值最小．作于点，证明，设，则，从而得出，求得，再计算出的长，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为：， 与轴交于、两点， 时，，解得：，， ， ，， 在中，． 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点， ，，， ， 由（1）可得，，即， ， ， ， 轴，轴， ，， ， 又， ， ， 设点坐标为，则，， ， 解得：（舍），， 点坐标； 【小问3详解】 解：如图，作，且使，连接FH， ，， ， ，， ， ，， 共线时，的值最小． 作于点， ，， ， ， ， ． 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ，， 在中，． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末学业水平检测初四数学 温馨提示： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用，还在建筑艺术上展现了独特的魅力．在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，路灯到地面的距离是，身高的小明从点处沿所在的直线行走到达点时，小明的影子的长度（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 5. 老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：拋物线被轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（ ） 已知抛物线与轴交于，试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线，这个条件可以是什么？ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于、两点，与轴交于点交双曲线于点，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（　　） A. （ +）海里 B. 2海里 C. （+1）海里 D. 2海里 9. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数二次函数图象如图所示．下列结论： ①；②；③为任意实数、则；④；⑤若且，则，其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 12. 如图，中，，，，于点，则的值为_____． 13. 如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则__________． 14. 如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 15. 某种商品每件的进价为元．经调查表明：在某段时间内，这种商品若以每件元（，且为整数）的价格出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为_____元． 16. 抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）若为反比例函数在第一象限的图象上一点，且的面积为3，点在点的左侧，求点的坐标． 18. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，) 19. 如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分面积． 21. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的很多方面．一款智能机器人的侧面示意图如图所示，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求这款机器人的最高点距地面的高度．（参考数据） 22. 某商店销售的一种商品每件进价元，在第天的售价与销量的相关信息如表： 时间 售价/（元/件） 每天销量/件 设每天销售这种商品的利润为元． （1）当时，求与的函数关系式； （2）销售第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，在中，以边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 24. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式和的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $