1.1认识三角形 学案 2025--2026学年鲁教版七年级数学上册

第一章 三角形 1 认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 列清单划重点 知识点❶ 三角形的有关概念 1.定义：由不在 直线上的三条线段首尾 相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的 叫作三角形的边，相邻两边的 端点叫作三角形的顶点， 两边组成的角叫作三角形的内角. 3.三角形的符号表示：三角形用符号“△”表示，顶点是 A，B，C的三角形，记作“ ”,读作“三角形ABC”. 知识点❷ 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 . 明考点识方法 考点① 三角形的概念 典例1 图中共有三角形 个，其中以 AE 为边的三角形有 个. 变式1以下由三条线段组成的图形中是三角形的是 ( ) 变式2观察图形，回答问题. (1)图中共有多少个三角形? (2)写出其中以 EC 为边的三角形； (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B 为公共角的“共角三角形”有哪些? 考点❷ 三角形内角和定理 典例2如图，在△ABC 中，点D,E 分别在BC,AC 上,∠B=40°,∠C=60°,若DE∥AB,则∠AED= °. 变式1 已知:△ABC 中, 求△ABC 各内角的度数. 变式2一副三角板按如图所示放置,点 A 在 DE 上,点 F 在 BC上,若∠EAB=35°,求∠DFC 的度数. 第2课时 三角形的分类及直角三角形的性质 列清单·划重点 知识点① 三角形按角分类 1. 个内角都是锐角的三角形是锐角三角形. 2.有 个内角是直角的三角形是直角三角形. 3.有 个内角是钝角的三角形是钝角三角形. 规律总结 在任意一个三角形中，最多有3个锐角，最少有2个锐角，最多有1个直角，最多有1个钝角.判断一个三角形是哪种三角形，只需看该三角形的最大内角是什么角. 知识点❷ 直角三角形的性质和判定 1.表示：用符号“ ”表示“直角三角形ABC ”.如图所示，把直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为直角三角形的 . 2.性质：直角三角形的两个锐角互余. 符号语言:在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,则∠A+∠B=90°. 3.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号语言:在△ABC 中,若∠A+∠B=90°,则△ABC 为直角三角形,且∠C=90°. 明考点识方法 考点① 三角形按角分类 典例1 在△ABC 中，三个内角度数之比为2:3:5,则△ABC 的形状是 ( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 变式 1同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的三角形 ( ) A.只能是锐角三角形 B.只能是直角三角形 C.只能是钝角三角形 D.可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 变式 2 在△ABC 中,∠A=∠B+∠C+10°,则△ABC 的形状是 . 考点❷ 直角三角形的性质 典例2如图所示，在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,∠BCD=40°,则∠A 的度数为 ( ) A.40° B.38° C.50° D.30° 第3课时三角形的三边关系 列清单·划重点 知识点① 三角形按边分类 1.有 相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，如图所示. 2. 都相等的三角形叫作等边三角形，也叫作正三角形. 3.两条直角边 的直角三角形叫作等腰直角三角形. 知识点❷ 三角形的三边关系 1.三角形任意两边之 大于第三边. 2.三角形任意两边之 小于第三边. 明考点●识方法 考点① 三角形按边分类 典例1下列说法正确的是 ( ) ①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③等腰三角形至少有两边相等 ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ 变式 三角形的三边长a,b,c 满足 0，那么此三角形一定是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 考点❷三角形的三边关系 典例 2 长为10 cm,7 cm,5cm ,3c m 的四根木条,从中选取三根组成三角形，不同的选法有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 规律总结 判断三条线段能否构成三角形，只需将较短的两条线段之和与最长的线段比较大小，如果大于最长边，就能够组成三角形. 变式1如图,线段 AB和线段AC 是三角形ABC 的两条边，点 D在线段AB 上，点E 在线段AC 上，将三角形 ABC 沿 DE 所在直线裁去一个角得到四边形 DBCE,则四边形 DBCE 的周长 (填“大于”“等于”或“小于”)三角形 ABC 的周长，理由是 变式2定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，求第三条边的长. 第4课时 三角形的中线、高和角平分线 列清单·划重点 知识点① 三角形的中线 1.在三角形中，连接一个顶点与它对边 的线段，叫作这个三角形的中线. 2.三角形的三条中线交于一点，这个点叫作三角形的 . 知识点❷ 三角形的高 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 2.三角形的三条高所在的直线交于一点. 知识点❸ 三角形的角平分线 1.在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫作三角形的角平分线. 2.三角形的三条角平分线交于一点. 知识点❹ 三角形高线的画法 明考点识方法 考点① 三角形的中线 典例1如图,在△ABC中,AB=18,BC=16,BD 是 AC 边上的中线,若△ABD 的周长为41,那么△BCD 的周长是( ) A.39 B.41 C.43 D.无法确定 规律总结 三角形中线的三个重要结论，如典例1图： (1)边相等: (2)面积相等： (3)周长关系:△ABD 与△BCD 的周长之差为AB 与BC 的长度差. 变式 如图,AD 是△ABC 的边BC 上的中线,BE 是△ABD 的边AD 上的中线，若△ABC 的面积是16,则△ABE 的面积是 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2 考点❷ 三角形的高 典例 2 如图所示，在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,AE是△ABC 的高. (1)若∠B=40°,∠C=60°,求∠DAE 的度数； (2)若∠B<∠C,由(1)的计算结果,你能发现∠DAE 与∠C-∠B 的数量关系吗?写出这个关系式，并加以证明. 规律总结 三角形一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半. 变式 如图,在△ABC中,AD 是高,AE,BF 是角平分线,它们相交于点 O,∠CAB = 50°,∠C = 60°,求∠DAE 和∠BOA 的度数. 考点❸三角形的角平分线 典例 3 如图，在△ABC 中,AD 是角平分线,∠B = 60°,∠C=45°,求∠ADB 和∠ADC 的度数. 变式 如图, 在 △ABC 中,∠BAC=60°,∠B =45°,AD 是△ABC 的一条角平分线,则∠DAC= 度,∠ADB= 度. 第1课时 三角形及其内角和 【列清单·划重点】 知识点1 1.同一 顺次 2.线段 公共 相邻 3.△ABC 知识点2 180° 【明考点·识方法】 典例1 8 2 变式1C 变式 2 解:(1)图中有△BDE,△CDE,△ACE,△BCE,△ABC,共5个三角形; (2)以 EC 为边 的三角形有:△ACE,△DCE,△BCE; (3)以∠B 为公共角的“共角三角形”有：△BDE 与 △BCE, △ABC 与 △BCE,△BDE 与△ABC. 典例2 100 变式 1 解:设∠A =x°,则∠B = 2x°,∠C=3x°, 因为三角形的内角和为 180°， 所以x+2x+3x=180, 所以x=30. 所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°. 变式2 解:如图,设AC与DF 交于点G, 由题意,得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°, 因为∠EAB=35°, 所以∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°, 所以∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°,所以∠CGF=∠AGD=50°, 所以∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°. 第2课时 三角形的分类及直角三角形的性质 【列清单·划重点】 知识点1 1.三 2.一 3.一 知识点2 1. Rt△ABC 斜边 直角边 【明考点·识方法】 典例1 D 变式1D 变式2 钝角三角形 典例2 A 变式 解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为(4x-10)°, 由题意,得x+(4x-10)=90, 解得x=20, 4x-10=4×20-10=70, 所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°. 第3课时 三角形的三边关系 【列清单·划重点】 知识点 1 1.两边 2.三边 3.相等 知识点2 1.和 2.差 【明考点·识方法】 典例1B 变式 B 典例2B 解析:选长度是 10 cm,7 cm,5cm 的木条,5+7>10,能组成三角形; 选长度是10 cm,7 cm,3c m 的木条,3+7=10，不能组成三角形； 选长度是10 cm,5cm ,3c m 的木条,5+3<10，不能组成三角形； 选长度是5cm ,7 cm,3c m的木条,5+3>7，能组成三角形. 所以从中选取三根组成三角形，不同的选法有2种. 变式 1 小于 三角形任意两边之和大于第三边 变式2 解:1.5或4 第4课时 三角形的中线、高和角平分线 【列清单·划重点】 知识点1 1.中点 2.重心 知识点21.垂线 知识点31.角平分线 线段 【明考点·识方法】 典例1 A 变式 C 典例2 解:(1)因为∠B=40°,∠C=60°,∠BAC+∠B+∠C=180°, 所以∠BAC=80°. 因为 AD 是∠BAC 的角平分线, 所以 因为AE 是△ABC的高, 所以∠AEC=90°. 因为∠C=60°, 所以∠CAE=90°-60°=30°, 所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°; 证明： 因为∠BAC+∠B+∠C=180°, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C. 因为 AD 是∠BAC 的角平分线, 所以 因为 AE 是△ABC 的高, 所以∠AEC=90°, 所以∠CAE=90°-∠C, 所以∠DAE = ∠CAD — ∠CAE = 即 变式 解:因为∠CAB=50°,∠C=60°, 所以∠ABC=180°-50°-60°=70°. 又因为 AD 是高， 所以∠ADC=90°, 所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°. 因为AE，BF 是角平分线， 所以∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°, 所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°, ∠AFB=180°-∠CAB-∠ABF=95°, 所以∠BOA =180°-∠AOF =∠EAF + ∠AFB=25°+95°=120°, 所以∠DAE=5°,∠BOA=120°. 典例3 解:因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=180°-60°-45°=75°. 因为AD 为∠BAC 的角平分线, 所以 在△ABD 中,∠ADB =180°-∠BAD-∠B=82.5°, 则∠ADC=180°-∠ADB=97.5°. 变式 30 105 学科网（北京）股份有限公司 $