精品解析：山西省朔州市右玉县教育集团初中部2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年九年级上学期期末阶段质量监测数学 上册第二十一章~下册第二十七章 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若四条线段，，，按顺序成比例，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 5. 中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 8. 随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A B. C. D. 9. 如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，若，则的度数是_____． 12. 在现代智能吉他设计中，工程师发现，当上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时，弹奏出的音色最为均衡、悦耳．如图，一把吉他的琴弦长度为，上弦枕安装在点处，若此时用该吉他弹奏的效果最好，则在点下方的琴弦长为_____． 13. 如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，．当时，的取值范围是_____． 14. 某个转速可调节的电风扇，其转速的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图，这是该电风扇的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，当时，_____． 15. 如图，直角三角形是的内接三角形，在的右侧作矩形，连接．若，，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，小王用无刻度直尺和圆规在轴负半轴上找到一点，连接．请直接写出四边形的面积． 18. 如图，是坐标原点，点，的坐标分别为，． （1）在轴的左侧以点为位似中心作的位似图形，使所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出点，的对应点，的坐标； （3）直接写出的面积与的面积之比． 19. 现有4张卡片，它们的正面写有不同的变化：A.冰块融化；B.铁钉生锈；C.干冰变小；D.蜡烛燃烧.它们除此之外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀放在桌子上，从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． A.冰块融化 （物理变化） B.铁钉生锈 （化学变化） C.干冰变小 （物理变化） D.蜡烛燃烧 （化学变化） 20. 项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 函数图象“必将点” 【概念理解】 若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“必将点”．例如，是函数图象的“必将点”． 【问题解决】 试判断函数的图象上是否存在“必将点”．如果存在，求出“必将点”的坐标；如果不存在，请说明理由． 任务： （1）请解答笔记中的问题． （2）判断函数的图象上是否存在“必将点”．若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由． 22. 综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 23. 综合与探究 问题情境：如图，正方形的边长为2，点从点开始沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接． 猜想证明 （1）求证：． 拓展延伸 （2）设，，当取何值时，有最大值？请求出的最大值． （3）连接，当点运动到的中点时，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末阶段质量监测数学 上册第二十一章~下册第二十七章 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 2. 下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 若四条线段，，，按顺序成比例，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据线段成比例的定义，有 ，代入已知值求解 ． 【详解】解：四条线段 ，，，按顺序成比例， ， ，，， ， ． 故选：D． 4. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数的顶点式即可判断得解． 【详解】解：∵二次函数为， 其顶点为． 故选：A． 5. 中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率．直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个， ∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是． 故选：D 6. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，解得：． 故选B． 7. 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 8. 随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 当时，． 故选：A 9. 如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 10. 如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，利用等边三角形和圆的性质判定出与为等边三角形，从而判定出为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再求出扇形的面积，即可求解． 【详解】如图，连接、，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴与为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，垂径定理，扇形的面积公式，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角写出圆心角是解题的关键． 首先根据圆周角定理得出度数，进而求解的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 12. 在现代智能吉他的设计中，工程师发现，当上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时，弹奏出的音色最为均衡、悦耳．如图，一把吉他的琴弦长度为，上弦枕安装在点处，若此时用该吉他弹奏的效果最好，则在点下方的琴弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】吉他的上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， ∵吉他的琴弦长为 ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，．当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 写出抛物线在x轴下方所对应的交点横坐标的范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的交点坐标分别为，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 某个转速可调节的电风扇，其转速的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图，这是该电风扇的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，当时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，确定电流与电阻的反比例函数关系式是解题的关键． 先用待定系数法求出函数解析式，再计算当时的取值，最后结合函数的增减性得出当时，的取值范围． 【详解】解：设与之间的函数表达式为：， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴ 与之间的函数表达式为：， 当时，， 由图象可知，随增大而减小， ∴当时，． 故答案为：． 15. 如图，直角三角形是的内接三角形，在的右侧作矩形，连接．若，，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，并在垂线上截取点，使得，连接、、，结合矩形的性质可得到，，可证明，且相似比为，根据题意可得，，，且为等腰直角三角形，得到，则的运动轨迹是为圆心，2为半径的圆，当、、三点共线时最大，即可求解． 【详解】解：过点作，并在垂线上截取点，使得，连接、、， ，， 四边形是矩形，， ，， ，， ，且相似比， ∵， ∴，，，且等腰直角三角形， ， 点的运动轨迹是为圆心，2为半径的圆． 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最大，最大为． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的相关性质，矩形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 17. 反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，小王用无刻度直尺和圆规在轴负半轴上找到一点，连接．请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，尺规作图，全等三角形的判定和性质： （1）把代入，即可求解； （2）由作法得：，可得到，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由作法得：， 即， ∵轴，即， ∴，平行x轴， ∴，， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 18. 如图，是坐标原点，点，的坐标分别为，． （1）在轴的左侧以点为位似中心作的位似图形，使所作新图形与原图形的相似比为； （2）分别写出点，的对应点，的坐标； （3）直接写出的面积与的面积之比． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据点的位置写出点的坐标即可； （3）根据位似图形的面积比等于位似比，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知：； 【小问3详解】 解：∵和的位似比为， ∴的面积与的面积之比为． 19. 现有4张卡片，它们的正面写有不同的变化：A.冰块融化；B.铁钉生锈；C.干冰变小；D.蜡烛燃烧.它们除此之外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀放在桌子上，从中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率． A.冰块融化 （物理变化） B.铁钉生锈 （化学变化） C.干冰变小 （物理变化） D.蜡烛燃烧 （化学变化） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，这两种方法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件． 画树状图或列表可得，共有种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：方法一：画树状图如下所示： 共有种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有种， 两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是． 方法二：列表如下所示： A B C D A B,A C,A D,A B A,B C,B D,B C A,C B,C D,C D A,D B,D C,D 共有种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有种， 两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是． 20. 项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求出半径，根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可． 【详解】解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得：米， ∴（米）， ∴（盏）． 答：大约需要安装25盏景观灯． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 函数图象的“必将点” 【概念理解】 若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“必将点”．例如，是函数图象的“必将点”． 【问题解决】 试判断函数的图象上是否存在“必将点”．如果存在，求出“必将点”的坐标；如果不存在，请说明理由． 任务： （1）请解答笔记中的问题． （2）判断函数的图象上是否存在“必将点”．若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在， （2）存在，和 【解析】 【分析】本题主要考查函数、解一元二次方程、分式方程： （1）设存在“必将点”，设坐标为，根据题意可得； （2）设存在“必将点”，设坐标为，根据题意可得． 【小问1详解】 解：存在，理由如下： 设存在“必将点”，设坐标为， 根据题意，得 变形，得 解得，（舍去）． 所以，存在“必将点”，坐标为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设存在“必将点”，设为， 根据题意，得 变形，得 解得， 所以，存在“必将点”，坐标为和． 22. 综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． 23. 综合与探究 问题情境：如图，正方形的边长为2，点从点开始沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接． 猜想证明 （1）求证：． 拓展延伸 （2）设，，当取何值时，有最大值？请求出的最大值． （3）连接，当点运动到的中点时，求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）当时，y有最大值为；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证，即可得证； （2）先证，得，即可求出函数解析式，继而求出最值； （3）根据题意可得，由（2）得：，根据，可得，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】（1）证明： 在正方形和正方形中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）在正方形和正方形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当时，y有最大值为； （3）∵E是的中点， ∴， 由（2）得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $