专题01 随机变量及其分布（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦随机变量及其分布专题，覆盖条件概率、全概率公式、分布列、期望方差及两点分布、二项分布等特殊分布，按“基础概率-分布刻画-模型应用”逻辑构建知识框架，通过考情精解、知能梳理、题型攻坚、真题演练四环节，助力学生突破概率计算与分布应用难点。 讲义以北京卷命题规律为导向，采用“真题案例驱动+分层训练”模式，如结合2025年北京卷T18设计条件概率与期望综合题，培养学生数学思维与数据建模能力。设置基础巩固、能力提升练习，配合命题预测分析，帮助学生高效掌握高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01随机变量及其分布 目录 01析考情精解… 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一条件概率、 全概率公式 真题动向 知识点1概率 知识，点2古典概型 必备知识 知识点3条件概率 知识点4全概率公式 题型1古典概型 题型2几何概型 命题预测 题型3条件概率 题型4全概率公式 考点二随机变量的分布 14 真题动向 必备知识 知识，点1随机变量的分布列 知识，点2随机变量的期望（均值）与方差 题型1随机变量的分布列 知识，点2随机变量的期望（均值） 命题预测 题型3随机变量的方差 考点三 特殊的分布 21 真题动向 知识点1两点分布 知识，点2二项分布 必备知识 知识点3超几何分布 知识，点4正态分布 题型1两点分布 题型2超几何分布 命题预测 题型3二项分布 题型4正态分布 N0.1 析·考情精解 命题 近五年北京卷高考随机变量及其分布，都没有考选择题与填空题，每年一道解答题， 有2年考查概率计算，有3年考查分布列.基本都在第18题，难度均不大。 轨迹 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 立体几何中的数学 频次 北京T14填空题5分 北京T14填空题5分 北京T9选择题4分 建模与应用 总结 第1页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2026 预计在2026年北京卷高考中，随机变量及其分布仍然考一道解答题，大概率为18 题；难度不大。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 考点一随机 知识点1概率 题型1古典概型 变量的概率 知识点2古典概型 题型2几何概型 知识点3条件概率 题型3条件概率 题型4全概率公式 知识点4全概率公式 知识点1随机变量的 考点二随机 分布列 题型1随机变量的分布列 专题1随机变量及其分布 变量的分布 题型2随机变量的期望（均值） 知识点2随机变量的 题型3随机变量的方差 期望（均值）与方差 知识点1两点分布 考点三特 题型1两点分布 殊的分布 知识点2超几何分布 题型2超几何分布 知识点3二项分布 题型3二项分布 题型4正态分布 知识点4正态分布 NO.3 破·题型攻坚 考点一 随机变量的概率 题 动 向 1.(2025年北京高考数学真题T18解答题15分)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、 乙两校的高一年级学生都参加了这次考试为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一 年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75： 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率， (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1 的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知 识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌 握该知识点的概率估计值分别为P1,p2,判断P1与p2的大小（结论不要求证明） 第2页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2.(2023年北京高考数学真题T18解答题15分)18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农 产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用+表示“上涨”，即当天价格比前一天 价格高；用”表示下跌”，即当天价格比前一天价格低；用0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同. 时段 价格变化 第1天到第20天 + 0 0 00+ 第21天到第40天 0 0 0 +0 + 用频率估计概率。 (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天 中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨下跌”和不 变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明） 第3页共28页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 必 知 识 知识1概率 1.(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n4为事 件A出现的频数，称事件A出现的比例4)=一为事件A出现的频率。 (2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率f(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(4),因此可以用 频率f(A)来估计概率P(A). 2.概率的基本性质 (1)对于任意事件A都有：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为1，即P(2)=1:不可能事概率为0，即P(©)=0. (3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)十P(B). 推广：一般地，若事件A,A,,A彼此互斥， 则事件发生（即A,A,,A中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和， 即：P(A+A2+.+A)=P(A)+P(A)+.+P(A) (④)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则P(A)=1一P(B),P(B)=1-P(A),且P(AUB)=P(A)+P(B)=1. (⑤)概率的单调性：若A三B,则P(A)≤P(B). (O若A,B是一次随机实验中的两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 知识2古典概型 ()定义：一般地，若试验E具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个：②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点， 则事件A的概率P(A)=上=侧 nn(2) 知识3条件概率 (一定义：事件A,B,且P(0>0,称P(BA)=得为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率， 注意：(1)条件概率P(B|A)中“|”后面就是条件： (2)若P(A)=0,即条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算P(B|A)就没有意义了，所以条件概 率计算必须在P(A)>0的情况下进行. 第4页共28页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (二)性质 (1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1. (2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0， (3)如果B与C互斥，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A). 注意：（①）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(BA: (2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件空间计 n(AB) 算AB发生的概率，即PBlA=CA)- n(o .=P(AB) n(A) P(A) 知识4全概率公式 (一)全概率公式 1.P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA) 2.定理1若样本空间2中的事件A，A,，,A,满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A+…+A=2: ③P(A)>0,i=1,2,…n. 则对2中的任意事件B,都有B=BA+BA,++BA,且P(B)=∑P(BA)=∑P4)P(B14). 注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算， 即运用了“化整为零的思想处理问题. 3.什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有 所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式 (二)贝叶斯公式 1.一般地，当0<P(A<1且P(B)>0时，有P(AB)=aCe= P(A)P(BA) P(B) P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 2定理2若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=②，i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A+…+A,=2: ③0<P(A)<1,i=1,2,,n. 则对2中的任意概率非零的事件B,都有B=BA+BA,++BA, 且P(AB)=P(A)P(BIA= P(Aj)P(BIAj) P(B) P(A1)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)++P(An)P(BIAn) 注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这 一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式 第5页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率. 3.贝叶斯公式充分体现了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之间的转关系，即 P(AB) P(AIB)= P(B) P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A), P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)之间的内在联系. ●●● 题型1古典概型 1.(24-25高二下·北京大兴期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每 次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设X为取出的次数，则P(X=3)=() A B.月 c. D. 2.(24-25高二下·北京西城期末)小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3 个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为() A B品 C. D.引 3.(24-25高二下·北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球， 编号为7,8,9,10，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是() A.取出的最大号码X不服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为号 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 4.(2025高三下·北京·专题练习)从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数 字的乘积是奇数的概率为() A. B. c. D. 5.(24-25高三上·北京通州·期末)设a1,a2,a3,a4为1,2,3,4的一个排列，则满足|a1-a2+|ag-a4=4的不 同排列的个数为() A.24 B.16 C.8 D.2 6.(24-25高三上·北京·月考)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体 系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活 第6页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 的需要，起到关键的支撑作用.为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决 定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是() A.月 B.月 c. D. 7.(2024北京东城二模)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球， 观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到 的小球颜色不同的概率为() A B. C. D. 8.(2024北京石景山一模)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任 取1个球，记第一次取到红球'为事件A,“第二次取到白球”为事件B,则P(BA)=() A B. C. D. 9.(25-26高三上·北京·月考)每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式.为 了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活 动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单 位：分钟)，得到下表： [0,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 5 12 13 9 8 性别 男 P 女 6 0 10 10 6 4 10 8 学段 初中 11-m 8 11 11 高中 L 13 12 1 5 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概率. (2)从该校参加体育锻炼活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X, 求随机变量X的分布列和数学期望： (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为o, 初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为41、2写出一个m的值，使得o=些。（结论 不要证明) 10.(25-26高三上：北京东城期中)有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识 点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取20人，甲班有16人答对，乙班有15人答对，用频率估计概 率，且假设每个人是否答对该题目相互独立， (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； 第7页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设X为答对该题目的人数，求X的分布列和数学期望： (3)若甲班同学掌握这个知识点则有90%的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有80%的概率答对 该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个，设甲班学生掌握该知识点的概率 为P1,乙班学生掌握该知识点的概率为p2,试比较卫1与p2的大小（结论不要求证明） 11.(25-26高三上·北京·月考)某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告 宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张.为 了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统 计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%.假设所有浏 览用户是否购买景区门票相互独立.用频率估计概率. (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台用户中，随机选取3人，用X表示这3人的购票费用总和，求随机变量X的分布列和期望： (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右.该景区按浏览用户的人 数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的 标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续 加大广告宣传费用投入力度，并说明理由. 第8页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 12.(25-26高三上·北京西城月考)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者 获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择 场，求甲获胜的概率： (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数， 求X的分布列和数学期望E(X): (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、 乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数， 写出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小关系. 题型2几何概型 1.(25-26高二上·北京·期中)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,P是正方形ABCD及其内部的动点， PA≥PC1,则满足条件的点P构成的图形的面积等于() A.8 B.君 C. D. 2.(2024高三下·四川内江·专题练习)《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验 思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等等都是其科学思想的真实体现.刘徽 集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本 性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学 泰斗.他在《九章算术注》中，把一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”（如 图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为3：2.若在该正方体的外接球内任取一点，此 点取自“牟合方盖”内的概率为() 第9页共28页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A. B.43 9π c D. 3.(2020北京·模拟预测)麒麟是中国传统瑞兽.古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞有时用来比喻才能杰出、 德才兼备的人.下图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计.现将图案剪 成长5c,宽4Cm的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区 域的面积的估计值为 cm2 题型3条件概率 1.(24-25高二下·北京丰台·期末)已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人， 男生中喜欢羽毛球运动的有10人，现从这个班级随机抽取一名学生，己知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛 球运动的概率为() A.吉 B. c.号 D 2.(24-25高二下·北京朝阳·期末)现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子， 己知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为x,绿色骰子掷出的点数为Y,下列结论 中正确的是() A.P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6) B.P(X=5IY=4)=P(X=4IY=5) C.E(X+Y)=10 D.D(X+Y)=4D(X) 3.(24-25高二下·北京延庆·期中)盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取 出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为() A月 c. D. 4.(2025高三·北京·专题练习)豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4 分，三星6分，以此类推)，以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得 第10页共28页 专题01随机变量及其分布 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 条件概率、全概率公式 2 真题动向 必备知识 知识点1概率 知识点2古典概型 知识点3条件概率 知识点4全概率公式 命题预测 题型1古典概型 题型2几何概型 题型3条件概率 题型4全概率公式 考点二 随机变量的分布 14 真题动向 必备知识 知识点1随机变量的分布列 知识点2随机变量的期望(均值)与方差 命题预测 题型1随机变量的分布列 知识点2 随机变量的期望(均值) 题型3随机变量的方差 考点三 特殊的分布 21 真题动向 必备知识 知识点1两点分布 知识点2二项分布 知识点3超几何分布 知识点4正态分布 命题预测 题型1两点分布 题型2超几何分布 题型3二项分布 题型4正态分布 命题轨迹透视 近五年北京卷高考随机变量及其分布，都没有考选择题与填空题，每年一道解答题.有2年考查概率计算，有3年考查分布列.基本都在第18题，难度均不大。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 立体几何中的数学建模与应用 北京T14填空题5分 北京T14填空题5分 北京T9选择题4分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，随机变量及其分布仍然考一道解答题，大概率为18题；难度不大。 考点一 随机变量的概率 1．(2025年北京高考数学真题T18解答题15分)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小(结论不要求证明). 2．(2023年北京高考数学真题T18解答题15分)18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明) 知识1概率 1. (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2.概率的基本性质 (1)对于任意事件都有：． (2)必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． (3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥， 则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和， 即：． (4)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)，且． (5)概率的单调性：若，则． (6)若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识2古典概型 (1)定义:一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点， 则事件的概率． 知识3条件概率 (一)定义:事件，，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：(1)条件概率中“”后面就是条件； (2)若，即条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． (二)性质 (1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． (2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． (3)如果与互斥，则． 注意：(1)如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； (2)已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识4全概率公式 (一)全概率公式 1.； 2.定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且． 注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． 3.什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． (二)贝叶斯公式 1.一般地，当且时，有 2.定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且. 注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． 3.贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即 ， 之间的内在联系． 题型1古典概型 1．(24-25高二下·北京大兴·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则(   ) A． B． C． D． 2．(24-25高二下·北京西城·期末)小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为(   ) A． B． C． D． 3．(24-25高二下·北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是(    ) A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 4．(2025高三下·北京·专题练习)从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字(不允许重复)，则这两个数字的乘积是奇数的概率为(    ) A． B． C． D． 5．(24-25高三上·北京通州·期末)设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为(   ) A． B． C． D． 6．(24-25高三上·北京·月考)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是(   ) A． B． C． D． 7．(2024·北京东城·二模)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为(    ) A． B． C． D． 8．(2024·北京石景山·一模)一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 9．(25-26高三上·北京·月考)每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间(单位：分钟)，得到下表： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．(结论不要证明) 10．(25-26高三上·北京东城·期中)有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； (3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小(结论不要求证明)． 11．(25-26高三上·北京·月考)某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户(人) 未购买景区门票用户(人) 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润(净利润售票利润-广告宣传费用)，试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 12．(25-26高三上·北京西城·月考)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 题型2几何概型 1．(25-26高二上·北京·期中)已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于(   ) A． B． C． D． 2．(2024高三下·四川内江·专题练习)《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃．逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等等都是其科学思想的真实体现．刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学泰斗．他在《九章算术注》中，把一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为．若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为(   ) A． B． C． D． 3．(2020·北京·模拟预测)麒麟是中国传统瑞兽.古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.下图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长5cm，宽4cm的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为 . 题型3条件概率 1．(24-25高二下·北京丰台·期末)已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为(    ) A． B． C． D． 2．(24-25高二下·北京朝阳·期末)现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 3．(24-25高二下·北京延庆·期中)盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为(   ) A． B． C． D． 4．(2025高三·北京·专题练习)豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值(一星分，二星分，三星分，以此类推)，以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是(    ) A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 5．(24-25高三上·北京·月考)高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为(    ) A． B． C． D． 6．(2024·北京石景山·一模)一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 7．(22-23高二下·北京怀柔·期末)一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 8．(2023·北京西城·模拟预测)现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即(    ) A． B． C． D． 题型4全概率公式 1．(24-25高二下·北京·期末)一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率(即漏检率)为，“次品”被误检测为“良品”的概率(即误接受率)为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为(   ) A． B． C． D． 2．(24-25高二下·北京·期中)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(  ) A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95 3．(2024·北京朝阳·模拟预测)现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为(   ) A． B． C． D． 4．(22-23高二下·北京延庆·期中)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为(    ) A． B． C． D． 5．(23-24高一下·北京通州·期末)达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体(具有接触面)移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为(    ) A． B． C． D． 6．(22-23高三下·北京大兴·开学考试)某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为(    ) A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13 7．(2022·北京丰台·二模)小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为(    ) A．0.13 B．0.17 C．0.21 D．0.3 8．(25-26高三上·北京顺义·月考)某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表(单位：人) 车型 低收入群体(收入<20万元/年) 中收入群体(收入20万元-50万元/年) 高收入群体(收入>50万元/年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 考点二 随机变量的分布 1．(2024年北京高考数学真题T18解答题15分)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. (i)记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中估计值的大小．(结论不要求证明) 2．(2022年北京高考数学真题T18解答题15分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 3．(2021年北京高考数学真题T18解答题15分)在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X). (II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 知识1随机变量的分布列 (一)．离散型随机变量及其分布列 1.随着试验结果变化而变化的变量叫随机变量．所有值均可一一列出的随机变量叫离散型随机变量． 2.离散型随机变量：对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意：高考研究的离散型随机变量只取有限个值． 3.离散型随机变量的分布列的表示：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 4.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： (1)，；(2)． 注意：①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 知识2随机变量的期望(均值)与方差 (一)．离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 1.均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：(1)均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； (2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2.均值的性质 (1)（为常数）． (2)若，其中为常数，则也是随机变量，且． (3)． (4)如果相互独立，则． (二)离散型随机变量的方差： 1.称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 注意：(1)描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度． 随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； (2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2.方差的性质 (1)． (2)方差公式的变形：． 题型1随机变量的分布列 1．(24-25高二下·北京大兴·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则(   ) A． B． C． D． 2．(24-25高二下·北京·期中)设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ①；②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则；④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24高二下·北京顺义·期中)已知随机变量的分布列如表：(其中为常数) 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于(    ) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 题型2随机变量的期望(均值) 1．(24-25高二下·北京房山·期末)随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望(   ) 0 1 2 A． B． C．1 D． 2．(24-25高二下·北京通州·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是(   ) A． B． C． D． 3．(23-24高二下·北京房山·期末)设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是(    ) A． B．随机变量的数学期望可以等于 C．当时， D．数列的通项公式可以为 4．(23-24高二下·北京·期中)已知随机变量的分布列为： X 0 1 P a 则的数学期望的值是(    ) A． B． C． D． 5．(24-25高二下·北京西城·期中)已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则 ． 6．(23-24高二下·北京怀柔·期末)若随机变量X的分布列为(如表)， X 1 2 3 则 ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= ．(用数字作答) 7．(23-24高二下·北京西城·期末)设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则 ；符合条件的的一个值为 ． 8．(23-24高二下·北京延庆·期中)学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则= ． 题型3随机变量的方差 1．(24-25高二下·北京·期中)随机变量的分布列如图，(1)若，则 ；(2)若，则 (填“>”、“=”、“<”) 0 3 2．(24-25高二下·北京·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①；②；③；④. 正确结论的序号有 ． 3．(23-24高二下·北京·期中)随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 4．(23-24高三上·北京海淀·期末)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.(结论不要求证明) 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)刚刚结束的国庆、中秋双节假期旅游市场火爆，景点的“创意冰箱贴”常常因为体现独特的景区景色和承载着景区文化内涵，造型小巧，价格亲民而得到游客的青睐.双节期间，某景点的甲、乙、丙三款冰箱贴的日销售量统计数据，如下表(单位：个)： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 甲 600 650 660 680 670 660 630 530 乙 570 620 630 670 660 630 600 510 丙 550 600 610 600 620 610 580 500 (1)从10月1日至8日随机选取一天，求该天甲款冰箱贴日销售量大于650个的概率； (2)从甲、乙两款冰箱贴的日销售量数据中各随机选取1个，两种冰箱贴的销售相互独立，这2个数据中大于650的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记丙款冰箱贴日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小.(结论不要求证明) 考点三 特殊的分布 知识1两点分布 1.如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布． 其中p＝P(X＝1)，称为成功概率． 注意：(1)两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； (2)两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布， 则，． 知识2二项分布 (一).独立重复试验 1.定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2.特点 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的； (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． (二).二项分布 1.定义 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率，那么事件A恰好发生次的概率是(，，，…，) 于是得到X的分布列 0 1 … k … n … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：两点分布是特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 (1)适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． (2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则． 知识3超几何分布 1.定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率 即 X 0 1 … m … 其中，且，， 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 2.超几何分布的适用范围件及本质 (1)适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． (2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识4正态分布 (一)正态曲线 1.定义：我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2.正态曲线的性质 (1)曲线位于轴上方，与轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）； (3)曲线与轴之间的面积为1； (4)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： (5)当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 (二)正态分布 1.定义：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)， 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作X～N(μ，σ2)． (1)其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； (2)是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． (3)下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 2.正态总体三个特殊区间内取值的概率值 对于任意的实数，为图中阴影部分的面积， P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 3.正态分布的原则：通常认为服从于正态分布的随机变量X只取(μ－3σ, μ＋3σ)之间的值． (1)对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大． 这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 (2)由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 题型1两点分布 1．(23-24高二下·河北石家庄·期末)端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是(    ) A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 2．(21-22高二下·北京·期中)两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是(    ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·安徽阜阳·月考)已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高二下·重庆·月考)设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则( ) 0 1 A． B． C． D． 5．(24-25高二下·北京·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①；②；③；④. 正确结论的序号有 ． 6．(21-22高二·全国·课后作业)已知服从两点分布，且，则 ． 7．(25-26高二上·全国·单元测试)已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ． 题型2超几何分布 1．(24-25高二下·北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是(    ) A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 2．(23-24高二下·北京西城·期末)袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是(    ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京·开学考试)袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ． 4．(23-24高二下·北京海淀·期末)某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 5．(25-26高三上·北京延庆·月考)近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？(结论不要求证明) 题型3二项分布 1．(24-25高二下·北京东城·期末)投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为(    ) A． B．4 C． D．5 2．(24-25高二下·北京西城·期中)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则(   ) A． B． C． D． 3．(24-25高二下·北京·期中)已知从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为．现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是(    ) A． B． C． D． 4．(23-24高二下·北京海淀·期末)小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则(    ) A． B． C． D． 5．(23-24高三下·北京·开学考试)电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为(    ) A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 6．(23-24高二上·北京昌平·期末)某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是(    ) A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 7．(25-26高三上·北京·月考)某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户(人) 未购买景区门票用户(人) 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润(净利润售票利润-广告宣传费用)，试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 题型4正态分布 1．(23-24高二下·北京大兴·期末)随机变量服从正态分布， 若，则(    ) A． B． C． D． 2．(23-24高二下·北京·期中)某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，(参考数据：，，)学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为(    ) A．137 B．168 C．191 D．195 3．(22-23高二下·北京丰台·期末)正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示： 通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为(    ) A．341 B．477 C．498 D．683 4．(22-23高二下·北京通州·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则(    ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．(20-21高三·北京·强基计划)设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则(    ) A． B． C． D． 6．(25-26高三上·北京·月考)设随机变量～，若，则 ．(用含有的式子表示) 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01随机变量及其分布 目录 01析考情精解… 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一条件概率、 全概率公式 真题动向 知识点1概率 知识，点2古典概型 必备知识 知识点3条件概率 知识点4全概率公式 题型1古典概型 题型2几何概型 命题预测 题型3条件概率 题型4全概率公式 考点二随机变量的分布 23 真题动向 必备知识 知识，点1随机变量的分布列 知识，点2随机变量的期望（均值）与方差 题型1随机变量的分布列 知识，点2随机变量的期望（均值） 命题预测 题型3随机变量的方差 考点三 特殊的分布 36 真题动向 知识点1两点分布 知识，点2二项分布 必备知识 知识点3超几何分布 知识，点4正态分布 题型1两点分布 题型2超几何分布 命题预测 题型3二项分布 题型4正态分布 N0.1 析·考情精解 命题 近五年北京卷高考随机变量及其分布，都没有考选择题与填空题，每年一道解答题， 有2年考查概率计算，有3年考查分布列.基本都在第18题，难度均不大。 轨迹 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 立体几何中的数学 频次 北京T14填空题5分 北京T14填空题5分 北京T9选择题4分 建模与应用 总结 第1页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2026 预计在2026年北京卷高考中，随机变量及其分布仍然考一道解答题，大概率为18 题；难度不大。 命题 预测 N0.2 构·知能框架 知识点1概率 考点一随机 知识点2古典概型 题型1古典概型 变量的概率 题型2几何概型 知识点3条件概率 题型3条件概率 题型4全概率公式 知识点4全概率公式 知识点1随机变量的 考点二随机 分布列 题型1随机变量的分布列 专题1随机变量及其分布 变量的分布 题型2随机变量的期望（均值） 知识点2随机变量的 题型3随机变量的方差 期望（均值）与方差 知识点1两点分布 考点三特 题型1两点分布 殊的分布 知识点2超几何分布 题型2超几何分布 知识点3二项分布 题型3二项分布 题型4正态分布 知识点4正态分布 NO.3 破·题型攻坚 考点一 随机变量的概率 动 向 1.(2025年北京高考数学真题T18解答题15分)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、 乙两校的高一年级学生都参加了这次考试为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一 年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75： 假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率， (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1 的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知 识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌 握该知识点的概率估计值分别为p1,p2,判断P1与P2的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1)片(2)0.35，E()=1.55:3)p1<p2【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、用频率估计概率 第2页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【分析】1)用频率估计概率即可求解： ②)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望； 3)根据题设可得关于p1,p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系。 【详解】Q)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p一品-专 (②)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,P(A=0.2, 设B为从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,P(B=0.25, 设C为恰有1人做对”，故P(C)=P(AB+P(AB)=P(A)P(B+P(AP(B)=0.35 依题可知，X可取0,1,2 P(X=0)=P(AB=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表： 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故PD)+1-P(D)=0.8即p1+×(1-p)=0.8,故p1=号 同理有，0.85p2+}×(1-p2)=0.75,故p2=吾故p1<p2 2.(2023年北京高考数学真题T18解答题15分)18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农 产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在描述价格变化时，用+”表示“上涨”，即当天价格比前一天 价格高；用”表示下跌”，即当天价格比前一天价格低；用0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同， 时段 价格变化 第1天到第20天 0 00+ 第21天到第40天 0 0 0 用频率估计概率， (①)试估计该农产品价格“上涨”的概率： (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天 中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨下跌”和“不 变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4：(2)0.168：(3)不变【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算： 第3页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (2)分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算： 3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况. 【详解】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：=0.4 40 (2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变， 也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,0.25， 于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C×0.42×C2×0.35×0.25=0.168 3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析， 上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次， 因此估计第41次不变的概率最大. 识 知识1概率 1.(I)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n4为事 件A出现的频数，称事件A出现的比例④=为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用 频率(A)来估计概率PA). 2.概率的基本性质 (1)对于任意事件A都有：0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1，即P(2)=1;不可能事概率为0，即P(©)=0. (3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=PA)十P(B): 推广：一般地，若事件A，A,,A彼此互斥 则事件发生（即A,A,,A,中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和， 即：P(A+A+.+A)=P(A)+P(A)+.+P(A). (④对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则P(A)=1一P(B),PB)=1-P(A),且P(AUB)=P(A)+P(B)=1. (⑤)概率的单调性：若AsB,则P(A)≤P(B). (⑥若A,B是一次随机实验中的两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 知识2古典概型 (1)定义：一般地，若试验E具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型， 第4页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点， 则率件A的概率P()=-瑞 知识3条件概率 一)定义：事件A,B,且P(0>0,称P(BA=勰为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注意：(1)条件概率P(BA)中“|”后面就是条件： (2)若P(A)=0,即条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算P(BA)就没有意义了，所以条件概 率计算必须在P(A)>0的情况下进行· (二)性质 (1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1. (2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0. (3)如果B与C互斥，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A). 注意：(I)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A); (2)己知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A),相当于把A看作新的基本事件空间计 n(AB) 算AB发生的概率，即PBA)=CA-四=Pa n(A) n(A) n() P(A) 知识4全概率公式 (一全概率公式 1.P(B)=P(A)P(B|)+P(A)P(B|A): 2.定理1若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A,+…+A=2: ③P(A)>0,i=1,2,,n. 则对Q中的任意事件B,都有B=BA+BA,++BA,且P(B)=∑P(BA)=∑P(4)P(BA) 注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算， 即运用了“化整为零的思想处理问题 3.什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有 所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. (二)贝叶斯公式 第5页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 1.一般地，当0<P(④<1且P(B)>0时，有P(AB)=Pa)PE P(A)P(BIA) P(B) P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 2.定理2若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=☑，i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A,+…+A=2: ③0<P(A)<1,i=1,2,,n. 则对2中的任意概率非零的事件B,都有B=BA+BA,+·+BA, 且P(AB)= P(A))P(BIAj) P(A)P(BIA) P(B) P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)++P(An)P(BIAn) 注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这 一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式 的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率， 3.贝叶斯公式充分体现了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之间的转关系，即 P(AB) P(AlB)= P(B) P(AB)=P(A B)P(B)=P(BA)P(A), P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)之间的内在联系. ●●● 题型1古典概型 1.(24-25高二下·北京大兴·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品.从中取出2个正品，每 次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设X为取出的次数，则P(X=3)=() A.言 B.昌 c. D. 【答案】C【难度】0.85 【知识点】分步计数原理、由随机变量的分布列求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】分别求事件总数以及X=3所对应的事件个数，再利用古典概率公式求解即可. 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为A多，而直到取出2个正品为止， 要想取出的次数为3次，只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可， 对应的事件个数为C4C2ACg 所以Px=3)=c49-号 故选：C 2.(24-25高二下·北京西城·期末)小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3 个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为() 第6页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A. B.员 c.3 3 【答案】B【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案 【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有C=21种情况， 其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有C经+C经+C好=5种情况， 故该抽奖活动的中奖率为号 故选：B 3.(24-25高二下.北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球， 编号为7,8,9,10，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是() A.取出的最大号码X不服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为号 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C【难度】0.85【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】利用超几何分布的定义判断AB;求出给定事件的概率判断CD. 【详解】对于AB,超几何分布是反映在N个对象（包含M个特定对象）中随机不放回取出个对象，含有特定 对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，X不服从超几何分布， 取出的黑球个数Y服从超几何分布，AB正确： 对于C,取出2个白球的概率为P=g=3,C错误 c107 对于D,取出四个黑球的危得分景大，概率为P=产-六D正确， 故选：C 4.(2025高三下·北京·专题练习)从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数 字的乘积是奇数的概率为() A.吉 B. c. D. 【答案】A【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、代数中的组合计数问题 【分析】由组合分别求出随机选取两个数字的情况数和乘积为奇数的情况数，再由古典概型求得结果. 【详解】从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有C号=器=15种， 要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有C=3种， 所以概率为品吉 故选：A 第7页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 5.(24-25高三上北京通州·期末)设a1,a2,a3,a4为1,2,3,4的一个排列，则满足|a1-a2l+|ag-a4=4的不 同排列的个数为() A.24 B.16 C.8 D.2 【答案】B【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分类加法计数原理 【分析】根据题意，分析可得则a1-azl=1且a3-a4=3,或a1-a2l=3且|ag-a4l=1,或a1-a2l= 2a3-a4=2,分别在不同情况下，列出所有可能，进而得到答案 【详解】根据题意，若1a1-a2+a3-a4=4,则|a1-a2l=1且ag-a4=3,或a1-a2l=3且a✉ a4=1,或|a1-a2=2且lag-a4l=2, 当|a1-a2l=1且la3-a4=3时，有a1=2,a2=3,ag=1,a4=4,或a1=2,a2=3,a3=4,a4=1, 或a1=3,a2=2,a3=1,a4=4,或a1=3,a2=2,a3=4,a4=1,共4种可能： 当|a1-a2l=3且|ag-a4l=1时，有a1=1,a2=4,a3=2,a4=3,或a1=1,a2=4,a3=3,a4=2, 或a1=4,a2=1,ag=2,a4=3,或a1=4,a2=1,ag=3,a4=2,共4种可能， 当|a1-a2l=2且|a3-a4=2时，有a1=1,a2=3,ag=2,a4=4,或a1=1,a2=3,ag=4,a4=2, 或a1=3,a2=1,a3=2,a4=4,或a1=3,a2=1,a3=4,a4=2,或a1=2,a2=4ag=1,a4=3, 或a1=2,a2=4,a3=3,a4=1,或a1=4,a2=2,a3=1,a4=3,或a1=4,a2=2,a3=3,a4=1,共8种 可能， 满足|a1-a2+|a3-a4=4的不同排列的个数为4+4+8=16， 故选：B 6.(24-25高三上·北京·月考)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体 系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活 的需要，起到关键的支撑作用.为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决 定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是() A.} B. c. D.是 【答案】C【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为a,b,c,列出随机试验的样本空间，列出 随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论 【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为a,b,c, 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为{(a,b),(a,c),(b,c)}, 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点{(a,b),(a,c)], 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率P=号 故选：C 7.(2024北京东城二模)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球从袋中随机摸出1个小球， 第8页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到 的小球颜色不同的概率为() A月 B. 3 C. D. 【答案】B【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分第一次从袋中摸出1个白球，一次从袋中摸出1个黑球两种情况可求解 【详解】若第一次从袋中摸出1个白球，则放入1个白球，第二次摸出黑球的概率污×=号 若第一次从袋中摸出1个黑球，则放入1个黑球，第二次摸出白球的概率污×专 故两次摸到的小球颜色不同的概率为龙+；号 故选：B 8.(2024北京石景山一模)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任 取1个球，记“第一次取到红球为事件A,“第二次取到白球为事件B,则P(BA)=() A吉 B. c. D. 【答案】B【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用古典概型的概率公式求出P(A),P(AB),再由条件概率公式求解即可， 【详解】依题意P0-是-号PCA0)-装=言 所以P(BA)=PC P(A) 2 故选：B 9.(25-26高三上·北京·月考)每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式.为 了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活 动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单 位：分钟)，得到下表： [0,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 男 5 12 13 P 9 8 性别 女 6 10 10 6 4 学段 初中 11-m 8 11 11 10 8 高中 13 12 1 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概率. (2)从该校参加体育锻炼活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X, 求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为o, 第9页共49页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为山1、2·写出一个的值，使得o=些.（结论 不要证明) 【答案】(1片：（②）分布列见解析，EC)=寺(3)m=9【难度】04 【知识点】求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、 计算古典概型问题的概率 【分析】(1)根据古典概型求解即可. (②)先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 3)分别计算o,1,u2关于m的解析式可得答案。 【详解】（①）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概率为。+9+10+10+6+4一亏 9 2)依题意，X的所有可能值为0,1,2， 参加体育锻炼活动时间在[80,90)的学生总人数为15，其中初中生10人， 参加体育锻炼活动时间在[90,100)的学生总人数为12，其中初中生8人， 记事件C为“从参加体育锻炼活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件D为“从参加体育锻炼活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件c,D相E独立，且P(C)==P(D)=8=号 则PK=0)=PCD)=P(CPD)=x号=号 Px=1)=P(CD+CD)=P(GPO+PGPD)=号x写+x号=吉 PX=2)=P(cD)=P(C)PD)=x号=青 所以X的分布列为： 0 1 2 1 4 9 9 X的数学期望E00=0×。+1×号+2×号争 3)根据表格人数可知： [50,100)内初中生的总体育锻炼活动时间t1=8×55+11×65+11×75+10×85+8×95=3590, [50,100)内高中生的总体育锻炼活动时间t2=13×55+12×65+7×75+5×85+4×95=2825, 则6=高(11×25+3590+2825)=66,9， 4=025(11-m+35901=0+25, 59-m 2=(25m+2825)=25+1800 41+m 41+m 由=兰，得3,8=+0解得m=9 2 10.(25-26高三上：北京东城期中)有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识 第10页共49页 专题01随机变量及其分布 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 条件概率、全概率公式 2 真题动向 必备知识 知识点1概率 知识点2古典概型 知识点3条件概率 知识点4全概率公式 命题预测 题型1古典概型 题型2几何概型 题型3条件概率 题型4全概率公式 考点二 随机变量的分布 23 真题动向 必备知识 知识点1随机变量的分布列 知识点2随机变量的期望(均值)与方差 命题预测 题型1随机变量的分布列 知识点2 随机变量的期望(均值) 题型3随机变量的方差 考点三 特殊的分布 36 真题动向 必备知识 知识点1两点分布 知识点2二项分布 知识点3超几何分布 知识点4正态分布 命题预测 题型1两点分布 题型2超几何分布 题型3二项分布 题型4正态分布 命题轨迹透视 近五年北京卷高考随机变量及其分布，都没有考选择题与填空题，每年一道解答题.有2年考查概率计算，有3年考查分布列.基本都在第18题，难度均不大。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 立体几何中的数学建模与应用 北京T14填空题5分 北京T14填空题5分 北京T9选择题4分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，随机变量及其分布仍然考一道解答题，大概率为18题；难度不大。 考点一 随机变量的概率 1．(2025年北京高考数学真题T18解答题15分)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小(结论不要求证明). 【答案】(1)；(2)，；(3)【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、用频率估计概率 【分析】(1)用频率估计概率即可求解； (2)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； (3)根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. (2)设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. (3)设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故，故. 2．(2023年北京高考数学真题T18解答题15分)18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明) 【答案】(1)；(2)；(3)不变【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算； (2)分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算； (3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况. 【详解】(1)根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： (2)在这天里，有天上涨，天下跌，天不变， 也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 (3)由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析， 上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 知识1概率 1. (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 2.概率的基本性质 (1)对于任意事件都有：． (2)必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． (3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥， 则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和， 即：． (4)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件， 则P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)，且． (5)概率的单调性：若，则． (6)若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识2古典概型 (1)定义:一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点， 则事件的概率． 知识3条件概率 (一)定义:事件，，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：(1)条件概率中“”后面就是条件； (2)若，即条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． (二)性质 (1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． (2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． (3)如果与互斥，则． 注意：(1)如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； (2)已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识4全概率公式 (一)全概率公式 1.； 2.定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且． 注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． 3.什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． (二)贝叶斯公式 1.一般地，当且时，有 2.定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且. 注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． 3.贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即 ， 之间的内在联系． 题型1古典概型 1．(24-25高二下·北京大兴·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】分步计数原理、由随机变量的分布列求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】分别求事件总数以及所对应的事件个数，再利用古典概率公式求解即可. 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止， 要想取出的次数为次，只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可， 对应的事件个数为， 所以. 故选：C 2．(24-25高二下·北京西城·期末)小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案. 【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况， 其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况， 故该抽奖活动的中奖率为. 故选：B 3．(24-25高二下·北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是(    ) A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C【难度】0.85【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD. 【详解】对于AB，超几何分布是反映在个对象(包含个特定对象)中随机不放回取出个对象，含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确； 对于C，取出2个白球的概率为，C错误； 对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 4．(2025高三下·北京·专题练习)从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字(不允许重复)，则这两个数字的乘积是奇数的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、代数中的组合计数问题 【分析】由组合分别求出随机选取两个数字的情况数和乘积为奇数的情况数，再由古典概型求得结果. 【详解】从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字(不允许重复)一共有种， 要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有种， 所以概率为. 故选：A. 5．(24-25高三上·北京通州·期末)设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分类加法计数原理 【分析】根据题意，分析可得则且，或且，或且，分别在不同情况下 ，列出所有可能，进而得到答案. 【详解】根据题意，若，则且，或且，或且， 当且时，有，或， 或，或，共4种可能； 当且时，有，或， 或，或，共4种可能， 当且时，有，或， 或，或，或， 或，或，或，共8种可能， 满足的不同排列的个数为， 故选：B． 6．(24-25高三上·北京·月考)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为，列出随机试验的样本空间，列出随机事件的样本点，利用古典概型概率公式求结论. 【详解】设大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带分别为， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率. 故选：C. 7．(2024·北京东城·二模)袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解. 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为. 故选：B. 8．(2024·北京石景山·一模)一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 9．(25-26高三上·北京·月考)每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间(单位：分钟)，得到下表： 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．(结论不要证明) 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)根据古典概型求解即可. (2)先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. (3)分别计算关于的解析式可得答案. 【详解】(1)从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； (2)依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； (3)根据表格人数可知： 内初中生的总体育锻炼活动时间， 内高中生的总体育锻炼活动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 10．(25-26高三上·北京东城·期中)有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． (1)从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； (2)从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； (3)若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小(结论不要求证明)． 【答案】(1)；(2)的分布列见解析，；(3)【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】(1)利用样本频率估计总体概率；(2)确定随机变量取值，计算各取值概率，列出分布列，计算数学期望；(3)建立概率方程，用作差法比较大小． 【详解】(1)甲班随机抽取人，甲班有人答对， 甲班随机抽取1人答对该题目的概率为． (2)从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对， 设甲班答对概率为，乙班答对概率为， ， 的可能取值为： ，， ， 分布列为： X 0 1 2 P 期望为：． (3)设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，， ，解得； ，解得， ，． 11．(25-26高三上·北京·月考)某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户(人) 未购买景区门票用户(人) 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站平台用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润(净利润售票利润-广告宣传费用)，试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度，理由见解析【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式，直接求出结果即可； (2)根据古典概型的概率计算公式，以及二项分布的概念，计算分布列和期望； (3)根据题目条件，计算两种宣传情况的利润，判断应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度. 【详解】(1)根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 (2)官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则， ， ， ， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 (3)官方网站平台利润为(元) 短视频平台利润为(元) 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 12．(25-26高三上·北京西城·月考)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望；(3)【难度】0.65 【知识点】二项分布的方差、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)根据表中数据，可得甲获胜的场数，代入古典概型公式，即可得答案. (2)根据表中数据，可得甲得分不低于10分的场数，在其中选出乙得分大于丙得分的场次，可得X的取值，分别求出每个概率，可得分布列，代入期望公式，即可得答案. (3)根据题意，可得，根据二项分布方差公式，代入计算，即可得答案. 【详解】(1)根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场， 所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率. (2)根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场， 第8场，第9场，第10场，共有6场， 其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场， 则X可取0,1,2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 (3)10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，，， 由题意， 所以，， ， 所以. 题型2几何概型 1．(25-26高二上·北京·期中)已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4 【知识点】几何概型-面积型、立体几何中的轨迹问题 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点坐标，进而表示，利用计算得出满足条件的点构成的图形，再计算面积． 【详解】以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 正方体的棱长为1，是正方形及其内部的动点，设点，则， ，， ，， ，， ，化简得， 在平面中，， 满足条件的点区域为以为顶点的直角三角形，如下图所示， ，， 满足条件的点构成的图形的面积等于． 故选：D． 2．(2024高三下·四川内江·专题练习)《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃．逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等等都是其科学思想的真实体现．刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学泰斗．他在《九章算术注》中，把一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比为．若在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、几何概型-体积型、多面体与球体内切外接问题 【分析】设正方体棱长为，求出正方体外接球的半径，即可求出外接球的体积，再求出“牟合方盖”的体积，最后根据几何概型的概率公式计算可得. 【详解】设正方体棱长为，则正方体体对角线就是，则正方体的外接球的半径， ∴“牟合方盖”的体积，外接球的体积， 所以在该正方体的外接球内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率． 故选：B 3．(2020·北京·模拟预测)麒麟是中国传统瑞兽.古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞.有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人.下图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色部分面积，用随机模拟的方法来估计.现将图案剪成长5cm，宽4cm的矩形，然后在图案中随机产生了500个点，恰有248个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估计值为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】几何概型-面积型 【解析】利用几何概型知识可确定，由此可求得结果. 【详解】矩形面积， 设黑色部分的面积为，根据几何概型的知识，得， 故黑色区域的面积的估计值为. 故答案为：. 题型3条件概率 1．(24-25高二下·北京丰台·期末)已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】计算条件概率 【分析】有条件概率计算即可. 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为. 故选：B 2．(24-25高二下·北京朝阳·期末)现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】方差的性质、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】列举出当时的所有结果，利用古典概率及条件概率公式求解判断BC；利用期望、方差的定义计算判断CD. 【详解】设蓝色骰子掷出的点数为，同时抛掷这三枚骰子，在的条件下，出现的 结果有：，共10个， 对于A，等价于，只有1个结果，， ，，A错误； 对于B，的结果有，， 的结果有，，B错误； 对于C，的可能取值为，， 因此，C正确； 对于D，，同理， ，D错误. 故选：C 3．(24-25高二下·北京延庆·期中)盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中取出1个球，取出的球不再放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】计算条件概率 【分析】先由题意求得第1次抽到白球的概率，再求得第1次抽到白球，同时第2次抽到白球的概率，从而利用条件概率公式求解即可. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到白球为事件B，则， 所以在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到白球的概率为. 故选：A. 4．(2025高三·北京·专题练习)豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值(一星分，二星分，三星分，以此类推)，以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是(    ) A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】C【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算条件概率、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】对A选项，有的评价不低于二星，则二星及以上的频率和为，即可求解； 对B选项，由频率只能推出可能有人符合条件； 对C选项，根据条件概率的性质即可得到答案； 对D选项，“至多人评价五星”即为无人评价或人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确； 对C选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知， 事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 故选：C. 5．(24-25高三上·北京·月考)高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再用条件概率公式可得结论． 【详解】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人， “三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人． 现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的学生是“三好学生”的概率， 故选：D． 6．(2024·北京石景山·一模)一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 7．(22-23高二下·北京怀柔·期末)一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】计算条件概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可. 【详解】由已知条件得 由条件概率公式可得. 故选：D. 8．(2023·北京西城·模拟预测)现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、计算条件概率 【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则, 表示事件“抽到两名女同学”，则,故, 故选：A 题型4全概率公式 1．(24-25高二下·北京·期末)一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率(即漏检率)为，“次品”被误检测为“良品”的概率(即误接受率)为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】二项分布的均值、利用全概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】由全概率求出每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率即可结合二项分布的期望公式求解. 【详解】由题可得该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率为， 设该制造厂每天可出货的产品件数为X，则， 则该制造厂每天出货的产品件数平均为. 故选：D 2．(24-25高二下·北京·期中)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(  ) A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95 【答案】B【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】结合已知条件由全概率公式求解即可. 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件， 买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡， 则，，，， 所以 . 故选：B. 3．(2024·北京朝阳·模拟预测)现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 4．(22-23高二下·北京延庆·期中)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式计算即可． 【详解】设“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是甲班同学”为事件，则“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是乙班同学”为事件，“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是女生”为事件， 由题意得，，，， 所以， 故选：C． 5．(23-24高一下·北京通州·期末)达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体(具有接触面)移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】，根据题意，由全概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，一个小球从图中阴影小正方体出发，可以向上，向下或水平移动， 设小球向上移动为事件，小球水平移动为事件，小球向下移动为事件，小球回到阴影为事件， 则， 则. 故选：D 6．(22-23高三下·北京大兴·开学考试)某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为(    ) A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13 【答案】C【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率的计算公式即可求解. 【详解】小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为：, 故选：. 7．(2022·北京丰台·二模)小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为(    ) A．0.13 B．0.17 C．0.21 D．0.3 【答案】B【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意在6：30至6：50出发上班迟到的概率为. 故选：B. 8．(25-26高三上·北京顺义·月考)某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表(单位：人) 车型 低收入群体(收入<20万元/年) 中收入群体(收入20万元-50万元/年) 高收入群体(收入>50万元/年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 【答案】(1) ；(2)分布列见解析,；(3)【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、用频率估计概率 【分析】(1)利用频率来估计概率即可； (2)由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； (3)利用全概率公式来进行求解. 【详解】(1)由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； (2)用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p (3)低收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为； 中收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为； 高收入者愿意购买纯电动(EV)的概率为； 利用全概率公式可得：；所以 考点二 随机变量的分布 1．(2024年北京高考数学真题T18解答题15分)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. (i)记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中估计值的大小．(结论不要求证明) 【答案】(1)；(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于(i)中估计值 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、求离散型随机变量的均值 【分析】(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; (2)(ⅰ)设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. (ⅱ)先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】(1)设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. (2)(ⅰ)设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，，， 故 故(万元). (ⅱ)由题设保费的变化为， 故(万元)， 从而. 2．(2022年北京高考数学真题T18解答题15分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上(含)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙【难度】0.85 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、用频率估计概率、求离散型随机变量的均值 【分析】(1)    由频率估计概率即可 (2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望. (3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大. 【详解】(1)由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4 (2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ (3)丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 3．(2021年北京高考数学真题T18解答题15分)在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X). (II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【答案】（1)①次；②分布列见解析；期望为；（2)．【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1)①由题设条件还原情境，即可得解； ②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解； （2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解. 【详解】（1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2)由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 知识1随机变量的分布列 (一)．离散型随机变量及其分布列 1.随着试验结果变化而变化的变量叫随机变量．所有值均可一一列出的随机变量叫离散型随机变量． 2.离散型随机变量：对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意：高考研究的离散型随机变量只取有限个值． 3.离散型随机变量的分布列的表示：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质： ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 4.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： (1)，；(2)． 注意：①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 知识2随机变量的期望(均值)与方差 (一)．离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 1.均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：(1)均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； (2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2.均值的性质 (1)（为常数）． (2)若，其中为常数，则也是随机变量，且． (3)． (4)如果相互独立，则． (二)离散型随机变量的方差： 1.称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 注意：(1)描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度． 随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； (2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2.方差的性质 (1)． (2)方差公式的变形：． 题型1随机变量的分布列 1．(24-25高二下·北京大兴·期末)已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由随机变量的分布列求概率、计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分别求出事件的总数以及所对应的事件的个数，再利用古典概率公式求解即可. 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为， 所以. 故选：C 2．(24-25高二下·北京·期中)设随机变量X的分布列如下表所示， 1 2 3 4 5 6 ①；②随机变量的数学期望可以等于3.5 ③若，则；④数列的通项公式可以为 则上述说法中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、裂项相消法求和、求等比数列前n项和 【分析】根据分布列性质可判断①对，当概率全部相等为时，②说法正确，有等比数列前项和公式计算可得③正确，利用裂项求和可得④错误. 【详解】对于①，易知， 由分布列性质可得，所以，即①正确； 对于②，易知当时，随机变量的数学期望可以等于3.5，即②正确； 对于③，若，结合可知， ，即③正确， 对于④，若数列的通项公式为，可知， 此时，不满足分布列性质，即④错误. 综上可知，①②③正确. 故选：C 3．(23-24高二下·北京顺义·期中)已知随机变量的分布列如表：(其中为常数) 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于(    ) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 题型2随机变量的期望(均值) 1．(24-25高二下·北京房山·期末)随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望(   ) 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 2．(24-25高二下·北京通州·期末)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 3．(23-24高二下·北京房山·期末)设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是(    ) A． B．随机变量的数学期望可以等于 C．当时， D．数列的通项公式可以为 【答案】D【难度】0.94 【知识点】离散型随机变量的均值、利用分布列的性质解题、裂项相消法求和、求等比数列前n项和 【分析】根据概率和为可判断A选项； 当时，期望为，可判断B选项； 根据等比数列求和公式化简可判断C选项； D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项. 【详解】A选项：由已知， 则，A选项正确； B选项：当时， 期望为，B选项正确； C选项：由， 则，C选项正确； D选项：由， 则其前项和为，D选项错误； 故选：D. 4．(23-24高二下·北京·期中)已知随机变量的分布列为： X 0 1 P a 则的数学期望的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列的性质可求出，再根据期望公式即可求出随机变量的数学期望. 【详解】根据分布列的性质，得，解得， 所以随机变量的数学期望．故选：A. 5．(24-25高二下·北京西城·期中)已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】首先根据表格里的内容得到，然后利用期望公式求出的值，进而可求出结果. 【详解】根据表格可知①. 因为，所以. 将①平方得：.所以. 故答案为：. 6．(23-24高二下·北京怀柔·期末)若随机变量X的分布列为(如表)， X 1 2 3 则 ；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= ．(用数字作答) 【答案】/0.5；/【难度】0.94 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解. 【详解】；；； Y=2X+1；.故答案为：；. 7．(23-24高二下·北京西城·期末)设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则 ；符合条件的的一个值为 ． 【答案】；1(答案不唯一)【难度】0.85 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、等差中项的应用 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解；根据离散型随机变量分布列求期望，再求值. 【详解】由题意可知，，所以， ，， 所以，符合条件的的一个值为1. 故答案为：；1 8．(23-24高二下·北京延庆·期中)学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则= ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的均值 【分析】根据题意，的取值为，代入超几何分布公式求出对应概率，再由期望公式求解即可. 【详解】由题意可得，的取值为， ，，， . 故答案为：. 题型3随机变量的方差 1．(24-25高二下·北京·期中)随机变量的分布列如图，(1)若，则 ；(2)若，则 (填“>”、“=”、“<”) 0 3 【答案】6；【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】(1)先根据分布列的性质和期望的概念确定的值，再求随机变量的方差. (2)结合，分别表示出与，用作差法比较其大小. 【详解】(1)若，则 . 所以 . (2)易知. 因为， . 若，则的分布列为： 0 3 所以， . 所以； 因为，所以， 所以. 故答案为：6； 2．(24-25高二下·北京·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①；②；③；④. 正确结论的序号有 ． 【答案】①②④【难度】0.85 【知识点】两点分布、两点分布的均值、方差的性质、两点分布的方差 【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出． 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 3．(23-24高二下·北京·期中)随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ． 0 1 2 【答案】/【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为，确定，根据， 确定，联立解出、，再根据求方差公式即可求解. 【详解】根据题意有，即①， 又因为，即，即②， 联立①②，有，解得， 所以. 故答案为： 4．(23-24高三上·北京海淀·期末)甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分(单位：分)情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，直接写出方差，，的大小关系.(结论不要求证明) 【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望；(3)【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、二项分布的方差、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； (2)从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. (3)通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【详解】(1)根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. (2)根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. (3)由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以， ， ， 故. 5．(25-26高三上·北京顺义·月考)刚刚结束的国庆、中秋双节假期旅游市场火爆，景点的“创意冰箱贴”常常因为体现独特的景区景色和承载着景区文化内涵，造型小巧，价格亲民而得到游客的青睐.双节期间，某景点的甲、乙、丙三款冰箱贴的日销售量统计数据，如下表(单位：个)： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 甲 600 650 660 680 670 660 630 530 乙 570 620 630 670 660 630 600 510 丙 550 600 610 600 620 610 580 500 (1)从10月1日至8日随机选取一天，求该天甲款冰箱贴日销售量大于650个的概率； (2)从甲、乙两款冰箱贴的日销售量数据中各随机选取1个，两种冰箱贴的销售相互独立，这2个数据中大于650的个数记为，求的分布列和数学期望； (3)记丙款冰箱贴日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小.(结论不要求证明) 【答案】(1)；(2)的分布列见解析；；(3)【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】(1)由表格分析甲款冰箱贴日销售量大于650个的天数为4天，所以从10月1日至8日随机选取一天，该天甲款冰箱贴日销售量大于650个概率为； (2)分别求得两款冰箱贴日销售量数据中大于650和不大于650的个数，即可分别求出，，，从而得到的分布列和数学期望； (3)对比两组数据的集中程度，可得方差间的大小关系. 【详解】(1)从10月1日至8日，甲款冰箱贴日销售量大于650个的有10月3日、10月4日、10月5日、10月6日，共4天，所以从10月1日至8日随机选取一天，则该天甲款冰箱贴日销售量大于650个概率为； (2)甲款冰箱贴日销售量大于650个的有4个，不大于650个的有4个； 乙款冰箱贴日销售量大于650个的有2个，不大于650个的有6个； 所以的可能取值是：. ，，. 所以的分布列为 X 0 1 2 所以. (3)由题中表格可以看出，丙款冰箱贴日销售量数据较所有的日销售量数据更为集中，所以. 考点三 特殊的分布 知识1两点分布 1.如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布． 其中p＝P(X＝1)，称为成功概率． 注意：(1)两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； (2)两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布， 则，． 知识2二项分布 (一).独立重复试验 1.定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2.特点 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的； (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． (二).二项分布 1.定义 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率，那么事件A恰好发生次的概率是(，，，…，) 于是得到X的分布列 0 1 … k … n … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：两点分布是特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 (1)适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． (2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则． 知识3超几何分布 1.定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率 即 X 0 1 … m … 其中，且，， 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 2.超几何分布的适用范围件及本质 (1)适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． (2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识4正态分布 (一)正态曲线 1.定义：我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2.正态曲线的性质 (1)曲线位于轴上方，与轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）； (3)曲线与轴之间的面积为1； (4)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： (5)当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 (二)正态分布 1.定义：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)， 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作X～N(μ，σ2)． (1)其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； (2)是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． (3)下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 2.正态总体三个特殊区间内取值的概率值 对于任意的实数，为图中阴影部分的面积， P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 3.正态分布的原则：通常认为服从于正态分布的随机变量X只取(μ－3σ, μ＋3σ)之间的值． (1)对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大． 这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 (2)由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 题型1两点分布 1．(23-24高二下·河北石家庄·期末)端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是(    ) A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B【难度】0.4 【知识点】超几何分布的均值、两点分布的方差、两点分布的均值 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小；， 随着的增大，增大.故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 2．(21-22高二下·北京·期中)两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】两点分布的均值、两点分布的方差、两点分布 【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项. 【详解】由参数为的两点分布知，故A、B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：D. 3．(25-26高三上·安徽阜阳·月考)已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、判断命题的充分不必要条件、两点分布 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 4．(24-25高二下·重庆·月考)设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则( ) 0 1 A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用分布列的性质，可得，计算即可. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 5．(24-25高二下·北京·期中)随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①；②；③；④. 正确结论的序号有 ． 【答案】①②④【难度】0.85 【知识点】两点分布、两点分布的均值、方差的性质、两点分布的方差 【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出． 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，，， 所以正确的是①②④．故答案为：①②④． 6．(21-22高二·全国·课后作业)已知服从两点分布，且，则 ． 【答案】0.7【难度】0.94 【知识点】两点分布 【分析】利用两点分布的性质解答. 【详解】因为服从两点分布，所以． 故答案为：0.7 7．(25-26高二上·全国·单元测试)已知随机变量服从两点分布，且，令，则 ． 【答案】0.6/【难度】0.94 【知识点】两点分布 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 题型2超几何分布 1．(24-25高二下·北京·期中)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是(    ) A．取出的最大号码不服从超几何分布 B．取出的黑球个数服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】C【难度】0.85 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】利用超几何分布的定义判断AB；求出给定事件的概率判断CD. 【详解】对于AB，超几何分布是反映在个对象(包含个特定对象)中随机不放回取出个对象， 含有特定对象数的概率分布，被取出的个对象中特定对象数是变化的， 任意取出的4个号码，最大号码都只有1个，个数保持不变，不服从超几何分布， 取出的黑球个数服从超几何分布，AB正确； 对于C，取出2个白球的概率为，C错误； 对于D，取出四个黑球的总得分最大，概率为，D正确． 故选：C 2．(23-24高二下·北京西城·期末)袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则， 故选：D. 3．(25-26高三上·北京·开学考试)袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是 ． 【答案】/【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故答案为：. 4．(23-24高二下·北京海淀·期末)某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 【答案】0，1； .【难度】0.85 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 5．(25-26高三上·北京延庆·月考)近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表： 公司 甲 乙 丙 丁 机器人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 失误率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率； (2)从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？(结论不要求证明) 【答案】(1)；(2)分布列见解析；；(3)来自乙公司的可能性更大【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求超几何分布的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】(1)从表中统计送餐失误率低于的机器人的数量，再由古典概型概率公式求解即可； (2)的取值可能为，根据超几何分布分别求出相应的概率，列出分布列，再计算数学期望即可； (3)设事件，为机器人分别来自乙，丙公司，事件为送餐失误，先由全概率公式求出乙、丙公司研发的机器人送餐失误的概率，，再由贝叶斯公式，分别求出送餐失误的机器人来自乙、丙公司的概率，，比较结果即得. 【详解】(1)表中提供的这14款机器人中送餐失误率低于有款， 所以从这14款机器人中任取一个，该机器人送餐失误率低于的概率为； (2)表中提供的失误率低于的送餐机器人有款， 其中失误率低于的送餐机器人有3款，从9个中任取3个， 所以随机变量的取值为， 所以，，，. 随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； (3)设事件为“机器人来自乙公司”，事件为“机器人来自丙公司”，事件为 “送餐失误”. 则， ， 因乙公司研发了第三款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第三款机器人送餐的失误率分别为1.5%，1.9%，2.9%， 故乙公司研发的机器人送餐的失误率为： 又因丙公司研发了第四款机器人，每个机器人被选中的概率为， 且第四款机器人送餐的失误率分别为0.7%，0.9%，1.6%， 2.4%， 故丙公司研发的机器人送餐的失误率为： . 由全概率公式可知送餐失误的概率为： . 根据贝叶斯公式，则送餐失误的机器人来自乙公司的概率为： ； 送餐失误的机器人来自丙公司的概率为： . 因为，所以来自乙公司的可能性更大. 题型3二项分布 1．(24-25高二下·北京东城·期末)投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为(    ) A． B．4 C． D．5 【答案】C【难度】0.4 【知识点】利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出的分布列，进而计算期望即可. 【详解】根据已知条件有的可能取值为，，，； ，， ，， 所以的分布列为： 所以. 故选：C 2．(24-25高二下·北京西城·期中)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据给定条件，求出每次取到次品的概率，再利用独立重复试验的概率公式列式计算. 【详解】依题意，每次取1件，取到次品的概率， 所以. 故选：B 3．(24-25高二下·北京·期中)已知从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为．现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】从口袋中摸出一个球是红球的概率为，从口袋中摸出一个球是红球的概率为， 现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率. 故选：B 4．(23-24高二下·北京海淀·期末)小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、均值的性质、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 5．(23-24高三下·北京·开学考试)电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为(    ) A．0.384 B． C．0.128 D．0.104 【答案】A【难度】0.94 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验. 【详解】使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为， 则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为. 故选：A 6．(23-24高二上·北京昌平·期末)某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是(    ) A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【答案】A【难度】0.85 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为：， 即.故选：A. 7．(25-26高三上·北京·月考)某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下： 用户平台 购买景区门票用户(人) 未购买景区门票用户(人) 官方网站 250 750 短视频 200 800 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率， (2)从官方网站浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润(净利润售票利润-广告宣传费用)，试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度，理由见解析【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式，直接求出结果即可； (2)根据古典概型的概率计算公式，以及二项分布的概念，计算分布列和期望； (3)根据题目条件，计算两种宣传情况的利润，判断应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度. 【详解】(1)根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为 (2)官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为， 则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况， 则，， ，， 可得随机变量的分布列， 0 100 200 300 数学期望为 (3)官方网站平台利润为(元) 短视频平台利润为(元) 可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度. 题型4正态分布 1．(23-24高二下·北京大兴·期末)随机变量服从正态分布， 若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，所以， ， 所以. 故选：A 2．(23-24高二下·北京·期中)某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，(参考数据：，，)学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为(    ) A．137 B．168 C．191 D．195 【答案】B【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】因为服从正态分布，所以， 所以抽测结果在及格线以上学生人数所占比例为 ， 所以人数为. 故选：B. 3．(22-23高二下·北京丰台·期末)正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：    通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为(    ) A．341 B．477 C．498 D．683 【答案】B【难度】0.94 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据已知，利用正态分布的性质计算求解. 【详解】因为考生的成绩基本服从正态分布， 所以考试成绩在的考生人数即为考试成绩在的人数， 因为共有1000名考生参加这次考试， 所以考试成绩在的考生人数大约为，故A，C，D错误. 故选：B. 4．(22-23高二下·北京通州·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则(    ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴， 再根据曲线的对称性，即可求解答案． 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为， 又由，则，则， 则， 故选：A． 5．(20-21高三·北京·强基计划)设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【分析】根据密度曲线的性质可得正确的选项，或者根据标准正态分布的性质可得两者方差的大小关系. 【详解】法1：因为，， 且， 故正态分布的密度曲线的顶点比正态分布的密度曲线的顶点要低，故. 法2：依题意有 而，， 而，故， 由标准正态分布的性质可得即. 故选：A. 6．(25-26高三上·北京·月考)设随机变量～，若，则 ．(用含有的式子表示) 【答案】【难度】0.65 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性计算． 【详解】，， . 故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $