专题01 函数及其图象、性质的应用（复习讲义，4考点11题型）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 函数及其图象、性质的应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 指对运算 4 真题动向 必备知识 知识1指数基本运算 知识2对数基本运算 命题预测 题型1指对综合运算 考点二 函数的三要素 12 真题动向 必备知识 知识1求具体函数与抽象函数的定义域 知识2求函数解析式的5种方法 知识3求函数值域的4种方法 命题预测 题型1函数的定义域 题型2函数的值域 题型3根据值域求参数取值范围 考点三 函数的四大性质 24 真题动向 必备知识 知识1函数单调性的判断及单调性常见规律 知识2函数奇偶性的判断及常见的奇函数、偶函数 知识3函数周期性的判断 知识4函数对称的判断 命题预测 题型1函数单调性的判断 题型2 根据单调性比较大小 题型3根据单调性解不等式 题型4函数奇偶性的判断及根据奇偶性求参数值 题型5函数的周期性和对称性 考点四 函数与方程 55 真题动向 必备知识 知识1求零点个数的常用方法 知识2根据零点个数求参数取值范围的常用方法 命题预测 题型1零点个数的判断 题型2根据零点个数求参数取值范围 命题轨迹透视 近五年高考命题显示，本节内容为高考重点。指对运算和四大性质，多以单选题和填空题的形式出现，这两个板块均是5年4考，指对运算和实际生活结合，要求学生从情境中提取到数学知识，并用数学的语言表达现实世界；四大性质中，单调性考查居多，根据单调性求值域，根据单调性求参数取值范围，对知识的综合运用能力要求较高，并且多次出现在15题填空题的压轴题位置。函数图像、三要素和零点从这几年来看，考频相对较较低，三要素出题整体来说比较简单，以填空题为主，零点在压轴题15题的位置。这个部分的内容整体侧重考查学生的数学运算能力、逻辑推理能力和数学建模能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 指对运算 T9,4分 T7,4分 T9,4分 T11,5分 T7，4分 函数图像 T4,4分 三要素 T7,4分 T11,5分 四大性质 T15,5分 T4,4分 T15,5分 T4,4分 T3,4分 函数与方程 T15,5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，函数的四大性质及指对运算仍是必考点；指对运算常以单选题的形式出现；四大性质综合的内容会在填空压轴题的位置出现；零点问题在近5年高考中只出现了1次，围绕零点问题出题，依然会有很大的可能性。 考点一 指对运算 1．（2025年北京卷9，4分）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2024年北京卷7,4分）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2023年北京卷第11,5分）已知函数，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、求函数值、对数的运算 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 4．（2022年北京卷第7，4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、对数的运算 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 5．（2024年北京卷第9，4分）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 知识点一：指数基本运算 1、有理数指数幂的分类 ⑴正整数指数幂⑵零指数幂 ⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2、有理数指数幂的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 知识点二：对数基本运算 1、 对数运算法则 ①外和内乘：②外差内除： ③提公次方法：④特殊对数： ⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： 2、对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数 3、换底公式 ①常用换底②倒数原理 ③约分技巧④具体数字归一处理： 题型1指对综合运算 1．（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】求出，得到答案. 【详解】，，故. 故答案为：4 2．（2022·北京顺义·二模）已知函数，若，则 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为，则，则，即； 又. 故答案为：4. 3．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 4．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 5．（2021·北京丰台·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（    ） （参考数据：） A．550m B．1818m C．5500m D．8732m 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据以及指数的运算即可求解. 【详解】在某高山两处海拔高度为， 所以， 所以， 所以（m）. 故选：C 6．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 7．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】由题意得到，，相减即可求解； 【详解】由题意， ， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 8．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【难度】0.65 【知识点】对数运算、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可. 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 考点二 函数的三要素 1．（2022年北京卷，11，5分）函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 2．（2020年北京卷11，5分）函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．（2025年北京卷7,4分）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】抽象函数的值域、判断命题的充分不必要条件 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2022年北京卷14,5分）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 知识1求具体函数与抽象函数定义域 1.基本的函数定义域限制 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次方根下的数(或式)大于或等于0; (3)零指数幂的底数不为0; (4)对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0; (5)正切函数且. 2.抽象函数的定义域求法 此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变,若的定义域为,求中的解的范围,即为的定义域. 知识2求函数解析式常用的5种方法 1.待定系数法求函数解析式 已知函数解析式的类型时,可用待定系数法求其函数解析式. 2.换元法求函数解析式 已知复合函数的表达式时,可用换元法,此时要注意“元”的取值范围. 3.配凑法求函数解析式 当出现大基团换元转换繁琐时,可考虑配凑法求解. 4.方程组法求函数解析式 若已知成对出现或类型的抽象函数表达式,则常用解方程组法构造另一个方程,消元的方法求出. 5.迭代法求函数解析式 当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时,可采用递推迭代的方法求出. 知识3求函数值域的4种方法 由函数的定义知,自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域. 1.函数值域的常规求法 (1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域); (2)形如的函数,可用换元法.即设,转化成二次函数再求值域(注意); (3)形如的函数可借助反比例函数求其值域,若用分离常数法求值域,这种函数的值域为; (4)形如中至少有一个不为零的函数求值域,可用判别式求值域,也可以分离常数后换元. 2.函数值域的单调性求法 适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值.(原理:同增异减) 3.函数值域的换元求法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型. 换元法是数学方法中最主要的几种方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用. 适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等. 4.函数值域的数形结合求法 其题型是函数解析式具有某种明显的几何意义,如两点的距离公式,直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目. 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 【易错提醒】 1. 对于实际问题，根据实际情况计算x的取值范围； 2. 用换元法和配凑法求解析式，一定要注意换元后的范围，并写出函数的定义域； 3. 求值域之前一定的要先看定义域。 题型1定义域 1．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 2．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 3．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 题型2求函数值或值域 5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数函数的判定与求值 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 6．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 故选：B 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 8．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断或证明函数的对称性 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 题型3根据值域求参数取值范围 9．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 10．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、根据对数函数的值域求参数值或范围、求指数型复合函数的值域 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 11．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、分段函数的性质及应用 【分析】先分析函数在时的单调性与值域，再结合既不存在最大值也不存在最小值这一条件，分析函数在时的情况，进而得出，的关系. 【详解】当时，，对其求导可得. 因为恒成立，所以在上单调递增. 此时. ，，则，故在上函数值的取值范围为. 当时，，的值域是，所以的值域是. 因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且. 选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误. 选项B：前面已推出，所以B选项正确. 选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误. 选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误. 故选：B. 12．已知的值域为，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】求出函数在上的取值集合，再根据给定的值域确定函数在上的取值集合，列式求解作答. 【详解】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，因此函数在上的取值集合包含， 当时，函数在上的值为常数，不符合要求， 当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求， 于是得，函数在上单调递增，取值集合是， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 13．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】分和两种情况讨论，再根据二次函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 故选：C. 14．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 考点三 函数的四大性质 1．（2021年北京卷3,4分）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2023年北京卷4,4分）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3．（2022年北京卷4,4分）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数的对称性，指数幂的化简、求值、指数函数的判定与求值 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 4．（2025年北京卷第15题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】求抽象函数的解析式、诱导公式二、三、四 【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误. 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 5．（2023年北京卷第15题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【难度】0.15 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 知识1函数的单调性的判断及常见单调性规律 1.函数单调性定义的等价形式 设，. ①若有或，则在闭区间上是增函数； ②若有或，则在闭区间上是减函数. 2.复合函数分析单调性：同增异减 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 3.常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. 知识2函数的奇偶性的判断及常见的奇函数、偶函数 1.定义法判定函数的奇偶性 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步: 得出结论. 2.根据函数奇偶性的规律判定 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×/奇＝偶，偶×/偶＝偶，奇×/偶＝奇．奇±偶（不确定） 3.常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 4.特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. 知识3函数周期性的判断 常见的结论包括： 1.若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 2.定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 3.定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 4.若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 5.若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 知识4函数对称性的判断 常见函数的对称性包括： 1.函数的图像关于点对称的充要条件是.或或 推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是. 2.函数的图像关于直线对称的充要条件是，即. 推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是. 【易错提醒】 1.求单调性以及根据单调性求参数取值范围，解不等式，一定在定义域范围内； 2.判断函数的奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称。 题型1单调性的判断 1．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 2．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解. 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误， 故选：C 3．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先由题意得到的单调性，再利用函数的解析式直接判断其单调性即可得解. 【详解】因为对任意，当时，都有， 所以在上单调递减， 对于A，在上单调递减，故A正确； 对于B，在上单调递增，故B错误； 对于C，在上单调递增，故C错误； 对于D，在上单调递增，故D错误； 故选：A. 4．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 题型2根据单调性比较大小 5．（2021·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得结论. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即； 又函数在上为增函数，所以； 函数在上为增函数，所以， 综上可得：. 故选：B. 6．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 8．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】因为， 所以函数为偶函数， ， 令，则， 所以函数， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 9．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数， 因为，可得，即，可得； 又由，可得， 由函数为单调递减函数，可得，即， 所以. 故选：A. 10．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用导数证明不等式当时，，进而得，再讨论与的关系即可判断. 【详解】解：令，，则在上恒成立， 所以，函数在上单调递减， 所以，当时，，即，； 令，，则， 所以，函数在上单调递减， 所以，当时，，即，， 所以，当时， 所以，， 因为， 所以 所以，，即 ，即 所以， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，，结合二倍角公式，比较与的关系判断. 题型3根据单调性解不等式 11．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、指数函数图像应用 【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：， 故选：B.    12．（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先判断充分性，即判断当时，是否成立；再判断必要性，即判断当时，是否成立． 【详解】设函数，其定义域为． 对求导，根据求导公式，可得． 因为，所以，则． 这表明函数在上单调递增． 当时，，即，移项可得． 所以由能推出，充分性成立． 当时，即． 因为，且在上单调递增，所以时，． 这说明当时，不一定有，必要性不成立． 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 13．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】充分条件、由基本不等式比较大小、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据、分别有、，结合基本不等式有，再根据推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有， 由，则，可得， 又，根据基本不等式有， 若且，则有，即是的充分条件， 若，则，此时满足，但不成立， 所以是的非必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可. 【详解】 画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或， 由可得；由可得，综上可得. 故选：C. 题型4函数的奇偶性的判断及根据奇偶性求参数值 15．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇偶性的定义和函数的单调性可逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称，但， 故函数不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域为，但， 故函数不是奇函数，即C错误； 对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数， 且因，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 16．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 17．（22-23高三上·北京丰台·期末）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析. 【详解】选项A由令的定义域为， 且， 由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴， 所以在单调递减，故函数在区间上单调递减， 故A错误， 由的定义域为，关于原点对称 且， 所以为奇函数，故选项B错误， 由的定义域为， 且， 所以为奇函数，故C错误， 由的定义域为， 且，所以 为偶函数， ，且， 所以 ， 因为，且， 因为在上单调递增， 所以，， 所以， 故， 所以在区间上单调递增， 故选：D. 18．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 19．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件； 对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件； 对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件； 对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件. 故选：A. 20．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 【答案】 4（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性可求得的值；先求得，函数的单调性，进而可得的单调性，进而可求得的取值范围. 【详解】因为函数是上的奇函数，且时，， 所以. 当时，由，可得， 令，即，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以时，，， 由为函数是上的奇函数，可得时，，又， 由，可得或， 所以的取值范围为. 故答案为：；4（答案不唯一）. 21．（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合奇函数的定义推理判断. 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 22．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、求对数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设. 【详解】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合. 故选：A 23．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据图像判断函数单调性、画出具体函数图象、函数奇偶性的定义与判断、函数图象的变换 【分析】作出函数图象判断即可. 【详解】 对于A选项：如图，不符， 对于B选项：如图，符合， 对于C选项：如图，不符， 对于D选项：如图，不符， 故选：B. 24．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出，再结合指数函数性质即可判断. 【详解】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误； 对BC，又∵，根据，在R上均单调递增， 则在在R上单调递增，且， 则当时，则，当时，则， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误； 则，即的最小值为，B错误； 对D，令,， 再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确. 故选：D 25．已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据奇偶函数的定义域关于原点对称建立的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得. 经检验，符合题意， 所以. 故答案为： 26．设函数（为常数）．若为偶函数，则实数 ；若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【解析】(1)根据偶函数满足判断即可. (2)参变分离求解最值计算即可. 【详解】(1)由题.故. (2) 因为恒成立,故恒成立.设,则在时恒成立.又.故. 故答案为：(1). 1    (2). 【点睛】本题主要考查了指数型函数的奇偶性与二次复合函数的值域问题等.属于中等题型. 题型5函数的周期性对称性 27．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、分段函数的性质及应用 【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 28．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ） A． B．周期 C．在单调递减 D．满足 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意化简得到，得到的周期为,结合，求得，得到A正确，B错误；再由的对称性和单调性，得出在单调递减，可判定C正确；根据的周期求得，，，结合特殊函数的值，可判定D不正确. 【详解】由，可得的对称轴为，所以 又由知：， 因为函数图像关于对称，即，故， 所以，即， 所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误； 因为在上单调递增，且，所以在上单调递增， 又图像关于对称，所以在上单调递增， 因为关于对称，所以在上单调递减， 又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确； 根据的周期为，可得， 因为关于对称，所以且， 即， 由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增， 确定的单调区间内均不包含，若， 所以不正确. 故选：AC. 【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 29．（2025·北京大兴·三模）已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先求证是的一个周期，以及关于直线对称即可判断AB选项；利用导函数判断在上的单调性，再结合周期性和对称性即可判断CD选项. 【详解】因，则，则， 即是的一个周期； 因，，则， 即关于直线对称， 对于A，因等价于， 即关于中心对称，故A错误； 对于B，等价于，即为偶函数，故B错误； 对于C，，， 则， 则在上单调递增， 因为为奇函数，则在上单调递增， 因为关于直线对称，则在上单调递减， 因是的一个周期，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，故C错误； 对于D，因，则，结合单调性可知，故D正确. 故选：D 30．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、二次函数的图象分析与判断、分段函数的性质及应用 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 31．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 考点四 函数与方程 1．（2021年北京卷第15题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 2．（2015·北京·高考真题，15,5分）设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)-1，(2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的值域或最值 【详解】①时，，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1； （2）①若函数在时与轴有一个交点，则， ，则，函数与轴有一个交点，所以； ②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或. 考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论. 知识1函数零点个数的判断 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 知识2根据零点个数求参数取值范围 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 题型1零点个数的判断 1．（2025·北京·模拟预测）已知，则符合条件的k的个数为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数函数的性质求出的范围即可得解. 【详解】由，得，则， 解得，而，则符合条件的k的个数为53. 故选：C 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据判断A；利用导数判断函数单调性、求出函数最小值可判断BC；根据函数没有最大值判断D. 【详解】因为函数，， 所以函数至少有一个零点，A错误； 所以， 令，可得， 时，在上递减； 时，在上递增； 故在R上不单调递增，C错误； 所以时，有最小值，B正确； 因为的增长速度大于的增长速度，所以时，， 故不存在，对任意，有，D错误. 故选：B. 3．已知奇函数的定义域为，且以6为周期，若，则函数在区间内零点个数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由奇函数在处有定义得，由已知有，根据函数的奇偶性和周期性可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，所以， 因为以为周期，所以，，， 因为为奇函数，所以，， 所以，， 所以函数在区间内零点个数的最小值为. 故选：C 4．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 5．（2025·北京海淀·三模）已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】求cosx（型）函数的最值、函数周期性的应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图，则函数的最大值为2， 方程的解，即为与的交点横坐标， 计算可得：，所以在有一个交点， ，， 且当时，无交点. 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：； 题型2根据零点个数求参数取值范围 6．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案. 【详解】因为，则时，，在上单调递增， 此时 时，，在上单调递增，此时， 故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足， 结合，则， 故a的一个取值可为1； 时，，令， 则，解得或； 时，，令， 则，解得， 当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意； 当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意； 故实数a的取值范围是， 故答案为：1（答案不唯一）， 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【详解】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：    8．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 9．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 【答案】DD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意知，是函数的一个零点，时，，可得，令，分类讨论即可得出结论. 【详解】由题意知，是函数的一个零点， 时，，可得， 令，得到函数图象 当时；；； 当时；；； 由函数图象可知的值域为，注意到一定是函数的一个零点， 对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误； 对于选项B，有3个零点的充要条件是，故B错误； 对于选项C，不存在，有4个零点，故C错误; 对于选项D，当时,有5个零点，D正确. 故选：D. 10．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围. 【详解】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B 11．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】函数新定义 【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集；④令，，其中，，将问题转化为，找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积. 【详解】，且，则，则，即， 则在上单调递增，故①正确； 当，时，， 故当时，，有，，此时， 当时，，，，此时， 故②正确； 当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误； 设，，其中，，则，因，则， 则， 在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1， 由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8. 故答案为：①②④ 12．（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 【答案】①② 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、指数函数图像应用、对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数零点问题转化为方程，然后再构造两个函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合来解决问题. 【详解】对于①，当，时，由， 分别作出函数与的图象， 由图像可得两函数必有一个交点，则有唯一零点，故①正确； 对于②，若，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，但当时又作图可得： 此时由图像可得两函数也必有一个交点，则都有零点，故②正确； 对于③，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，都满足有一个零点，即满足条件的的取值并不唯一，故③错误； 对于④，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，不满足有三个零点， 所以当时，又分别作出函数与的图象，    此时由图像可得两函数可能没有交点，或只有一个交点，或有两个交点，但一定没有三个交点，所以不满足有三个零点，故④错误， 故答案为：①②. 13．（2022·北京·一模）已知函数，若，则不等式的解集为 ；若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 ； 【难度】0.4 【知识点】解分段函数不等式、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 14．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③， 【详解】取，得， 因为， 所以，使得关于直线对称；故①对； 由， 所以， 若， 当时，令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以 在单调递减， 当时，令，则， 所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时， 设切点横坐标为，此时，则， 得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示， 则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数及其图象、性质的应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 指对运算 4 真题动向 必备知识 知识1指数基本运算 知识2对数基本运算 命题预测 题型1指对综合运算 考点二 函数的三要素 7 真题动向 必备知识 知识1求具体函数与抽象函数的定义域 知识2求函数解析式的5种方法 知识3求函数值域的4种方法 命题预测 题型1函数的定义域 题型2函数的值域 题型3根据值域求参数取值范围 考点三 函数的四大性质 11 真题动向 必备知识 知识1函数单调性的判断及单调性常见规律 知识2函数奇偶性的判断及常见的奇函数、偶函数 知识3函数周期性的判断 知识4函数对称的判断 命题预测 题型1函数单调性的判断 题型2 根据单调性比较大小 题型3根据单调性解不等式 题型4函数奇偶性的判断及根据奇偶性求参数值 题型5函数的周期性和对称性 考点四 函数与方程 19 真题动向 必备知识 知识1求零点个数的常用方法 知识2根据零点个数求参数取值范围的常用方法 命题预测 题型1零点个数的判断 题型2根据零点个数求参数取值范围 命题轨迹透视 近五年高考命题显示，本节内容为高考重点。指对运算和四大性质，多以单选题和填空题的形式出现，这两个板块均是5年4考，指对运算和实际生活结合，要求学生从情境中提取到数学知识，并用数学的语言表达现实世界；四大性质中，单调性考查居多，根据单调性求值域，根据单调性求参数取值范围，对知识的综合运用能力要求较高，并且多次出现在15题填空题的压轴题位置。函数图像、三要素和零点从这几年来看，考频相对较较低，三要素出题整体来说比较简单，以填空题为主，零点在压轴题15题的位置。这个部分的内容整体侧重考查学生的数学运算能力、逻辑推理能力和数学建模能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 指对运算 T9,4分 T7,4分 T9,4分 T11,5分 T7，4分 函数图像 T4,4分 三要素 T7,4分 T11,5分 四大性质 T15,5分 T4,4分 T15,5分 T4,4分 T3,4分 函数与方程 T15,5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，函数的四大性质及指对运算仍是必考点；指对运算常以单选题的形式出现；四大性质综合的内容会在填空压轴题的位置出现；零点问题在近5年高考中只出现了1次，围绕零点问题出题，依然会有很大的可能性。 考点一 指对运算 1．（2025年北京卷9，4分）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2024年北京卷7,4分）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年北京卷第11,5分）已知函数，则 ． 4．（2022年北京卷第7，4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 5．（2024年北京卷第9，4分）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 知识点一：指数基本运算 1、有理数指数幂的分类 ⑴正整数指数幂⑵零指数幂 ⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2、有理数指数幂的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 知识点二：对数基本运算 1、 对数运算法则 ①外和内乘：②外差内除： ③提公次方法：④特殊对数： ⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： 2、对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数 3、换底公式 ①常用换底②倒数原理 ③约分技巧④具体数字归一处理： 题型1指对综合运算 1．（2025·北京房山·一模）已知函数，则 . 2．（2022·北京顺义·二模）已知函数，若，则 . 3．（2025·北京·二模）设，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 5．（2021·北京丰台·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（    ） （参考数据：） A．550m B．1818m C．5500m D．8732m 6．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 7．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 考点二 函数的三要素 1．（2022年北京卷，11，5分）函数的定义域是 ． 2．（2020年北京卷11，5分）函数的定义域是 ． 3．（2025年北京卷7,4分）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022年北京卷14,5分）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 知识1求具体函数与抽象函数定义域 1.基本的函数定义域限制 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次方根下的数(或式)大于或等于0; (3)零指数幂的底数不为0; (4)对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0; (5)正切函数且. 2.抽象函数的定义域求法 此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变,若的定义域为,求中的解的范围,即为的定义域. 知识2求函数解析式常用的5种方法 1.待定系数法求函数解析式 已知函数解析式的类型时,可用待定系数法求其函数解析式. 2.换元法求函数解析式 已知复合函数的表达式时,可用换元法,此时要注意“元”的取值范围. 3.配凑法求函数解析式 当出现大基团换元转换繁琐时,可考虑配凑法求解. 4.方程组法求函数解析式 若已知成对出现或类型的抽象函数表达式,则常用解方程组法构造另一个方程,消元的方法求出. 5.迭代法求函数解析式 当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时,可采用递推迭代的方法求出. 知识3求函数值域的4种方法 由函数的定义知,自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域. 1.函数值域的常规求法 (1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域); (2)形如的函数,可用换元法.即设,转化成二次函数再求值域(注意); (3)形如的函数可借助反比例函数求其值域,若用分离常数法求值域,这种函数的值域为; (4)形如中至少有一个不为零的函数求值域,可用判别式求值域,也可以分离常数后换元. 2.函数值域的单调性求法 适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值.(原理:同增异减) 3.函数值域的换元求法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型. 换元法是数学方法中最主要的几种方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用. 适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等. 4.函数值域的数形结合求法 其题型是函数解析式具有某种明显的几何意义,如两点的距离公式,直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目. 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 【易错提醒】 1. 对于实际问题，根据实际情况计算x的取值范围； 2. 用换元法和配凑法求解析式，一定要注意换元后的范围，并写出函数的定义域； 3. 求值域之前一定的要先看定义域。 题型1定义域 1．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 3．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 4．（2025·北京丰台·二模）函数的定义域为 ． 题型2求函数值或值域 5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 6．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 题型3根据值域求参数取值范围 9．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是 . 10．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 11．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．已知的值域为，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 14．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 考点三 函数的四大性质 1．（2021年北京卷3,4分）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023年北京卷4,4分）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022年北京卷4,4分）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 4．（2025年北京卷第15题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 5．（2023年北京卷第15题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 知识1函数的单调性的判断及常见单调性规律 1.函数单调性定义的等价形式 设，. ①若有或，则在闭区间上是增函数； ②若有或，则在闭区间上是减函数. 2.复合函数分析单调性：同增异减 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 3.常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. 知识2函数的奇偶性的判断及常见的奇函数、偶函数 1.定义法判定函数的奇偶性 第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称； 第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数； 第三步: 得出结论. 2.根据函数奇偶性的规律判定 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×/奇＝偶，偶×/偶＝偶，奇×/偶＝奇．奇±偶（不确定） 3.常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 4.特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. 知识3函数周期性的判断 常见的结论包括： 1.若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 2.定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 3.定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 4.若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 5.若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 知识4函数对称性的判断 常见函数的对称性包括： 1.函数的图像关于点对称的充要条件是.或或 推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是. 2.函数的图像关于直线对称的充要条件是，即. 推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是. 【易错提醒】 1.求单调性以及根据单调性求参数取值范围，解不等式，一定在定义域范围内； 2.判断函数的奇偶性必须先看定义域是否关于原点对称。 题型1单调性的判断 1．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 题型2根据单调性比较大小 5．（2021·北京海淀·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 10．设，则（    ） A． B． C． D． 题型3根据单调性解不等式 11．（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·北京通州·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·北京东城·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4函数的奇偶性的判断及根据奇偶性求参数值 15．（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 16．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23高三上·北京丰台·期末）下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 21．（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 23．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 25．已知为奇函数，则实数的值是 ． 26．设函数（为常数）．若为偶函数，则实数 ；若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型5函数的周期性对称性 27．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 28．已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ） A． B．周期 C．在单调递减 D．满足 29．（2025·北京大兴·三模）已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 30．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·北京·模拟预测）定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点四 函数与方程 1．（2021年北京卷第15题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．（2015·北京·高考真题，15,5分）设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 知识1函数零点个数的判断 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 知识2根据零点个数求参数取值范围 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 题型1零点个数的判断 1．（2025·北京·模拟预测）已知，则符合条件的k的个数为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 3．已知奇函数的定义域为，且以6为周期，若，则函数在区间内零点个数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 5．（2025·北京海淀·三模）已知函数满足，且，则函数的最大值为 ；方程的实数解的个数为 ． 题型2根据零点个数求参数取值范围 6．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 8．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京门头沟·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（   ） A．不存在，使得有无数个零点 B．有3个零点的充要条件是 C．存在，使得有4个零点 D．存在，使得有5个零点 10．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C．（，1） D． 11．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 12．（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 13．（2022·北京·一模）已知函数，若，则不等式的解集为 ；若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 14．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $