专题01 三角函数的图象与性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数概念、三角恒等变换、图象性质三大核心考点，按“概念-变换-性质”逻辑层次构建知识体系，通过考情精解、知能框架、题型攻坚三大模块，实现考点梳理、方法指导与真题训练的有机结合，帮助学生系统突破重点难点。 资料以北京卷考情为导向，创新采用“真题动向+命题预测”双轨复习策略，如通过终边对称问题培养几何直观（数学眼光），借助角的配凑训练逻辑推理（数学思维）。设置基础题型到综合应用的分层练习，配合即时反馈机制，能在有限时间内提升学生数学表达与解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01三角函数的图象与性质 目录 01析考情精解…1个 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一三角函数概念… 3 真题动向 知识1终边相同的角 知识2孤度制 知识3孤长公式、扇形面积公式 必备知识 知识4三角函数概念 知识5三角函数符号 知识6特殊角的三角函数值 知识7三角函数线 题型1角的概念的推广 命题预测 题型2三角函数概念 考点二三角恒等变换… 6 真题动向 知识1同角关系 知识2诱导公式 知识3和差角公式 必备知识 知识4二倍角公式 知识5常用公式变形 知识6角的陪凑 题型1同角关系 命题好预测 题型2诱导公式 题型3三角恒等变换 考点三三角函数图象性质… 10 真题动向 知识1函数y=Asin(ox十p)的图象 必备知识 知识2函数y=Asin(aox十p)的性质 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 题型2三角函数的单调性与最值 命题好预测 题型3三角函数的图象及变换 题型4三角函数的零点 第1页共20页 学科网·上好课 上好每一堂课 N0.1 析·考情精解 命题 从近三年高考试题来看，三角函数主要考基础考点，多以5分选择题或填空题形式呈 现。解答题中考三角函数运算与性质的很少且难度较低，但2025全国丨卷解答题压轴 轨迹 题考查了三角函数与其它知识的交汇，难度大。 透视 北京卷近5年三角函数均以基础为主。 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 三角函数概念 北京T12,5分 北京T13,5分 三角恒等变换 北京T13,5分 总结 三角函数图象 北京T8,4分 北京T6,4分 北京T17,13分 2026 预计在2026年北京卷高考中，三角函数仍会考三角恒等变换与图象性质，大概率以 4分单选题形式出现，侧重图象变换、周期、奇偶性、对称性、单调性、最值、零点。 命题 难度简单与难题均可出现。 预测 N0.2 构·知能框架 知识点1终边相同的角 知识点2弧度制 考点一三角 知识点3弧长、扇形面积公式 函数概念 知识点4三角函数概念 题型1角的概念地推 题型2三角函数概念 知识点5特殊角的三角函数值 知识点6三角函数符号 知识点7三角函数线 知识点1同角关系 考点二三角 知识点2诱导公式 题型1同角关系 专题1三角函数的图象与性质 恒等变换 知识点3和差角公式 题型2诱导公式 知识点2二倍角公式 题型3三角恒等变换 知识点2常用公式变形 知识点2角的配凑 知识点1y=Asin(wx+列 题型1三角函数的周期性、奇偶 考点三三角函 的有关概念 性与对称性 数的图象性质 知识点1函数 题型2三角函数的单调性与最值 题型3三角函数的图象及变换 y=Asin(wx+p) 题型4三角函数的零点 的性质 NO.3 破·题型攻坚 第2页共20页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 考点一三角函数概念 题 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系x0y中，角与角B均以0x为始边，它们 的终边关于原点对称若a∈[店，引，则osB的最大值为一 2.(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)己知命题p:若%，B为第一象限角，且a>B,则tana>tanB.能 说明p为假命题的一组%，B的值为α=」 ,B= 备 知 识 知识1终边相同的角 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S={B=k360°+a,k∈Z}. 知识2弧度制 1.弧度的角：在.圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示. 2正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3角度制与弧度制的换算 (11=0rad 21rad=(g0)°≈57.3=5718 知识3孤长，扇形面积公式 如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l,那么，角a的弧度数的绝对值是d= 相关公式：Q)扇形的弧长公式：1一品-d②扇形的面积公式：S争一需： 知识6三角函数符号 一全二正三切四余 知识4三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,),那么： sin a-y. cos a=x. tana=(x≠0)， 2利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x,),IOP|=r那么： sin a= cosa= tana=r≠0). 第3页共20页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识5特殊角的三角函数值 角度 0° 15 30° 45° 60 75 90° 120 135 150 180 270° 360 弧度 5π 2π 5π 2π 12 6 4 3 12 2 3 4 6 2 sin a 0 6-2 互 V3 √6+V2 1 5 V2 0 -1 0 2 4 2 2 2 cos a √6+√2 3 v2 6-√2 0 -1 √3 -1 0 4 2 2 2 4 2 2 2 tan 0 2-V3 √3 √3 2+V3 不存在 -V3 -1 V3 0 不存在 0 3 3 知识7三角函数线 三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. A y (1,0 (1,0 A1,0) MNA(1,0) a位于第一象限 a位于第二象限 a位于第三象限 a位于第四象限 其中：sina=MP,cosa=OM,tana=AT: 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角c的正弦值和正切值都为0； 当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在 【易错提醒】 ①一定要清楚角的正负； ②一定要清楚是角度还是孤度表示的角 则 ●●● 题型1角的概念的推广 1.(25-26高三上·北京·阶段练习)一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高三上·北京房山月考)扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半 径为16cm,圆心角为3严，则这把扇子的弧长为 题型2三角函数概念 1.(25-26高三上北京朝阳期中)已知角α的终边经过点(6，-)，则cosu=() A.2 B.-2 c.9 D.、② 第4页共20页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2.25-26高三上北京顺义月考)已知P0m,受)为角a终边上一点，“m=是siu=受的(） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系xOy中，角%，B均以0x为始边，它们的终边关于直线y=x 对称且sina+cosa=- 5若角B的终边与单位圆交于点P(m,D),且n<0,则m为() A. B.- C. D.- 4.(25-26高三上·北京·期中)在平面直角坐标系x0y中，角a以0x为始边，其终边经过点P(1,2),则ta2a=() A.- B. C.2 D.月 5.(25-26高三上北京·月考)角的终边过点P(2,4),则tan(日+=() A.-月 B.-3 c.3 D.3 6.(25-26高三上·北京海淀·期中)已知角a,B是象限角，则“存在k∈Z,使得a+B=kπ'是“tan+tanB=0 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知角a、B为第一象限角，“a>B是“tana>tanB的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(25-26高三上·北京·月考)己知角a的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上，终边上有一点(tana,3), 则sina=() A.月 B.- c.号 D.- 2 9.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系x0y中，已知角a的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的 正半轴上，终边经过点A(V2,1),则cos2=一 10.(25-26高三上·北京·期中)如图，单位圆与x轴的正半轴交于点A(1,0),以x轴的非负半轴为始边作锐角a、 B(@>),终边分别与单位圆相交于点P1、A1,角&-B的终边与单位圆交于点P. ()若a=受B=景则扇形0A1P1的面积为一： 2)若u=号，点P的纵坐标为时，则A1点的纵坐标为 第5页共20页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 a的终边 P/ 4的终边 一a-B的终边 A(1,0) 11(25-26高三上北京期中)若点M(cos,sin）在角a的终边上，则tan2a=一 12.(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数f(x)=x+tanx的定义域是 13.(25-26高三上北京·月考)已知角a的终边经过点(-1,1)，则sin(π+)的值是 考点二三角恒等变换 题 动 向 传春意 1.(2025年高考北京卷数学真题T13填空题5分)已知a,BE[0,2四]，且sin(a+)=sin(a-),cos(a+B)≠ cos(a-B).写出满足条件的一组ax,B的值=，B= 备 知 识 知识1同角关系 1.平方关系：sin2a十cos2a=1. 2商数关系：二tna(a≠km+k∈2刀. 3.变形：(1)(sinc吐cosc)2=1±2 sin acos a=1±sim2a, (2)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); (3)cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); ④)sina=tan acos(a≠km+z,k∈刀. 知识2诱导公式 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 第6页共20页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 公式 二 三 四 五 六 角 2kπ+a(k∈Z) π+a -a 兀-c 2-a ita 正弦 sin a sin a -s1n0 sin a cos a cos a 余弦 cos a cos a cos a -cos a sin a -sin a 正切 tan a tan a -tan a -tan a 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 1.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限 “奇偶”指的是“k十a(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数. “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变 “符号看象限”指的是在“k匹+ak∈Z”中，将a看成锐角时，k元+αk∈Z)的终边所在的象限. 2通用公式：sin(g+)= ((-1)2sina,(n为偶数) cos(+= (-1)2cosa,(n为偶数) {(-1)号coa,为奇数) (-1)号sinm,(a为奇数) 知识3和差角公式 cos(a-B)=cos acos B+sin asin B(C(a): cos(a+B)=cos acos B-sin asin B(C(a+)) sin(a-B)=sin acos B-cos asin B(S(a)); sin(a+B)=sin acos B+cos asin B(S() tan(c-B)=taa (T-)(B.kikEZ 1+tanctanβ tan(a+B)= tama+tanβ 1-tanqtanβ (Ta+）(cB,a+B≠5+kkEZ) 知识4二倍角公式 sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tan2a= (a≠k如+且a≠受+ke刀. 2tang 拓展：万能公式：sin2a= 1+tan2a,Cos2d =1-tan2a 2tana 知识5 1+tan2a 知识5常用公式变形 (1)降幂公式：sin2a=1-cos2 2 cos2a=1+cos2a 2 sinacosa=sin2a (②升幂公式：1+cosa=2c0s2号1-c0sa=2sim2受 1+sin a=(sin+cos)2;1-sin a=(sin-cos)2. (3)正切和差角公式变形：tanc吐tanB=tan(c-)(1干tan atan) ④辅助角公式：asinx十bo=a2+b6in(+X其中sin4=布，os0=了示）， b 特别的：sima肚cosa=V2sin(a±)：sin a3cosa=2sin(a±)：V3 sin=2sin(a±g) 第7页共20页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识6角的配凑 ①a=2· ②a=(a+)-B:a=B-(β-m): ③a=[(a+B)+(a-B]:B=Ia+B)-(a-B]: ④(4+)=-(-)：a=4-(-四. 【易错提醒】 ①如果涉及到开平方，注意符号， ②对于交的陪凑，要理解清楚， 24 测 意意● 题型1同角关系 1.(25-26高一上·北京平谷·月考)如果tana=3,那么sima·cosa= 2(25-26高三上·北京-月考)已知tana=-子则sinacosa-+cos2u=一 3.(25-26高三上·北京密云月考)若sina=,a是第二象限的角，则cosa=一，tan2a=一 4.(25-26高三上·北京开学考试)若-<a<0,sin(m+)=号，则tana=一，sin(m-2网= 题型2诱导公式 1.(河北省邯郸市等3地2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题)已知角a以0x为始边，它的终边与单 位圆0相交于点P,共中点P在第一象限，且点P的横坐标为号盟的值是() cos(-π-a) A.- B.目 C. D.- 2.(25-26高三上北京·月考)k∈Z,a=B+5+2k是“cosu+simB=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上·北京密云·月考)在平面直角坐标系x0y中，锐角的顶点与0重合，始边与x轴的非负半轴 重合，终边与单位圆交点的纵坐标为将角α沿逆时针旋转π角后，得到角6，则sin0=() A. B.- C.② 3 D.-22 3 第8页共20页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 题型3三角恒等变换 1.(25-26高三上：北京月考)在平面直角坐标系x0y中，角α与角B的终边关于y轴对称若c0s受=子则 cosβ=() A.月 C.4v5 9 D.-45 9 2.(25-26高三上：北京顺义·期中)已知a,B∈R,则sina+sinB=0”是“B=a+km,k∈Z的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上北京月考)在平面直角坐标系中x0y中，角α以0x为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是号， 把的终边绕端点0逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是β，则cos2B=() A.月 B.- C.-4 9 D.5 4.(25-26高三上·北京平谷·开学考试)在平面直角坐标系x0y中，角α与角B均以0x为始边，它们的终边关于 x轴对称.若sina=子则cos(a-B)=() B.9 C.1 D. 5. 新考法25-26高三上北京顺义期中)如图所示，在平面直角坐标系x0y中，设第一象限角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x1,y),将射线0P绕坐标原点0按逆时针方向旋转后与单位圆 交于点Q(x2,y2),则y1+y2的最大值为 0 6.(25-26高三上北京大兴·月考)若cos2a=sina,且ae[-艺习，则a的值为 7.(25-26高三上北京月考)若tana=子则sim2(G-a)+2sin(m-2a个）= 第9页共20页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 8.(25-26高三上·北京·月考)若sina=子且ue(0,)则cos(G+a）= 9.(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系x0y中，将点A(√2,1)绕点0顺时针旋转90°到点B,那么点B 的坐标是 ,若角终边过点A,则cos2a的值是 10.25-26高三上：北京：开学考试已知cos(a+B)c0sa-号-号-sim(a+B)sima,则cos26= 考点三 三角函数图象性质 动 向 1.(2025年高考北京卷数学真题T8选择题4分)设函数f(x)=sinωx+coswx(ω>0)，若f(x+D)=f(x) 恒成立，且f(x)在[0，习上存在零点，则ω的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.3 2.(2024年北京高考数学真题T6选择题4分)设函数f(x)=sinwx(w>0).己知f(x1)=-1,f(x2)=1,且 x1-x2的最小值为2，则ω=() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系xOy中，角与角B均以Ox为始边，它 们的终边关于原点对称若a[引，则0sB的最大值为 4.(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)已知命题P:若0，B为第一象限角，且C>B,则 tana>tanB.能说明p为假命题的一组o,B的值为a= ,B= 5.(2022年北京卷数学真题T5选择题4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则() 2 ππ Af(x)在 2 6 上单调递减 B.f(x)在 上单调递增 412 C.f)在0，四 上单调递减 D.f(x)在 π7π 上单调递增 4'12 6.(2022年北京卷数学真题T13填空题5分)若函数f()=Asix-V3cosx的一个零点为好，则A=一一一-： 第10页共20页 专题01三角函数的图象与性质 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 三角函数概念 3 真题动向 必备知识 知识1终边相同的角 知识2弧度制 知识3弧长公式、扇形面积公式 知识4三角函数概念 知识5三角函数符号 知识6特殊角的三角函数值 知识7三角函数线 命题预测 题型1角的概念的推广 题型2三角函数概念 考点二 三角恒等变换 6 真题动向 必备知识 知识1同角关系 知识2诱导公式 知识3和差角公式 知识4二倍角公式 知识5常用公式变形 知识6角的陪凑 命题预测 题型1同角关系 题型2诱导公式 题型3三角恒等变换 考点三 三角函数图象性质 10 真题动向 必备知识 知识1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 知识2函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 命题预测 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 题型2三角函数的单调性与最值 题型3三角函数的图象及变换 题型4三角函数的零点 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，三角函数主要考基础考点，多以5分选择题或填空题形式呈现。解答题中考三角函数运算与性质的很少且难度较低，但2025全国Ⅰ卷解答题压轴题考查了三角函数与其它知识的交汇，难度大。 北京卷近5年三角函数均以基础为主。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角函数概念 北京T12，5分 北京T13,5分 三角恒等变换 北京T13，5分 三角函数图象 北京T8，4分 北京T6，4分 北京T17，13分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，三角函数仍会考三角恒等变换与图象性质，大概率以4分单选题形式出现，侧重图象变换、周期、奇偶性、对称性、单调性、最值、零点。难度简单与难题均可出现。 考点一 三角函数概念 1．( 2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 2．(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 知识1终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 知识2弧度制 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示. 2.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad. (2)1 rad＝. 知识3弧长，扇形面积公式 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 知识6三角函数符号 一全二正三切四余 知识4三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 知识5特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 知识7三角函数线 三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 【易错提醒】　 ①一定要清楚角的正负； ②一定要清楚是角度还是弧度表示的角. 题型1角的概念的推广 1．(25-26高三上·北京·阶段练习)一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.(25-26高三上·北京房山·月考)扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为 ． 题型2三角函数概念 1．(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知角的终边经过点，则(   ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知为角终边上一点，“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为( ) A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京·期中)在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则( ) A． B． C． D． 5.(25-26高三上·北京·月考)角的终边过点，则(   ) A． B． C． D．3 6．(25-26高三上·北京海淀·期中)已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知角、为第一象限角，“”是“”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.(25-26高三上·北京·月考)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则( ) A． B． C． D． 9.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，则 . 10.(25-26高三上·北京·期中)如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． (1)若，，则扇形的面积为 ； (2)若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为 ． 11.(25-26高三上·北京·期中)若点在角的终边上，则 . 12.(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数的定义域是 . 13.(25-26高三上·北京·月考)已知角的终边经过点，则的值是 . 考点二 三角恒等变换 1．( 2025年高考北京卷数学真题T13填空题5分)已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 知识1同角关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1． 2.商数关系：＝tan α． 3.变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α． 知识2诱导公式 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 1.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变． “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 2.通用公式：； 知识3和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 知识4二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ，知识5 知识5常用公式变形 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝；1－sin α＝． (3)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的：sin α±cos α＝sin；sin α±cos α＝2sin；sin α±cos α＝2sin． 知识6角的配凑 ①； ②；； ③；； ④；. 【易错提醒】 ①如果涉及到开平方，注意符号， ②对于交的陪凑，要理解清楚. 题型1同角关系 1.(25-26高一上·北京平谷·月考)如果，那么 2.(25-26高三上·北京·月考)已知，则 . 3.(25-26高三上·北京密云·月考)若，是第二象限的角，则 ， ． 4．(25-26高三上·北京·开学考试)若，，则 ， ． 题型2诱导公式 1.(河北省邯郸市等3地2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题)已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则的值是(    ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京·月考)“” 是 “” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(25-26高三上·北京密云·月考)在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则( ) A． B． C． D． 题型3三角恒等变换 1．(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则( ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则( ) A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京平谷·开学考试)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则( ) A． B． C． D． 5.(25-26高三上·北京顺义·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，设第一象限角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，则的最大值为 . 6.(25-26高三上·北京大兴·月考)若，且，则的值为 . 7．(25-26高三上·北京·月考)若，则 . 8.(25-26高三上·北京·月考)若，且．则 ． 9.(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转到点，那么点的坐标是 ，若角终边过点，则的值是 ． 10．(25-26高三上·北京·开学考试)已知，则 ． 考点三 三角函数图象性质 1．( 2025年高考北京卷数学真题T8选择题4分)设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为( ) A．8 B．6 C．4 D．3 2．( 2024年北京高考数学真题T6选择题4分)设函数.已知，，且的最小值为，则( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.( 2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 4.(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 5.(2022年北京卷数学真题T5选择题4分)已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 6.(2022年北京卷数学真题T13填空题5分)若函数的一个零点为，则________；________． 7.(2021年北京卷数学真题T7选择题4分)函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 8.(2021年北京卷数学真题T14填空题5分)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 9．( 2023年北京高考数学真题T17解答题12分)设函数． (1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第( 2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 知识1函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.图象变换： 知识2函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的性质 1．周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)| y＝|Acos(ωx＋φ)| y＝|Atan(ωx＋φ)| 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 周期T T＝ T＝ T＝ 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：. 2．奇偶性 函数 是奇函数的条件 是偶函数的条件 y＝Asin(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) φ＝kπ＋ (k∈Z) 为最大值(或最小值) y＝Acos(ωx＋φ) φ＝kπ＋ (k∈Z) φ＝kπ(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) 无 3．对称性 函数 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y＝Asin(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) y＝Acos(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) 无 ωx＋φ＝(k∈Z) 4．单调性 函数 递增区间 递减区间 条件 区间 条件 区间 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 5．最值 函数 取最大值的条件(k∈Z) 最大值 取最小值的条件(k∈Z) 最小值 ωx＋φ＝2kπ＋ A+m ωx＋φ＝2kπ＋ -A+m ωx＋φ＝2kπ A+m ωx＋φ＝2kπ+π -A+m 无最值 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 1．(25-26高三上·北京·月考)已知函数 ，则( ) A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 2．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知，则的最小值为( ) A． B．2 C．3 D．4 3．(25-26高三上·北京·期中)下列函数中满足定义域为且为偶函数的是( ) A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知函数，则下列说法不正确的是( ) A． B． C． D． 5．(25-26高三上·北京房山·月考)函数的图象的一个对称中心是( ) A． B． C． D． 6．(25-26高三上·北京·月考)已知函数，给出下列四个统论： ①是奇函数：②是周期函数：③当时，： ④，使得且． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．(25-26高三上·北京·月考)若点，关于原点对称，则的一个取值为 ． 8．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)若对任意的实数，()恒成立，则满足条件的一组A，的值为 ， . 题型2三角函数的单调性与最值 1．(25-26高三上·北京·月考)下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是( ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京·期中)已知函数在上递增，则的最大值为( ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京·月考)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京顺义·月考)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 ( ) A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京西城·期中)已知函数()在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 . 5．(25-26高三上·北京·月考)如图为函数的部分图象，则函数解析式为 ，若，则的最大值为 . 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 7．(25-26高三上·北京·月考)已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 8．(25-26高三上·北京·月考)已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 9．(25-26高三上·北京·开学考试)若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ． 10.(25-26高三上·北京·月考)函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:；条件②:；条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 11．(2025高三上·北京·专题练习)函数，，部分图像如图所示，已知．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求函数的解析式； (2)求的单调减区间． 条件①：；条件②：；条件③：． 12．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知函数. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 13．(25-26高三上·北京·期中)已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； (1)求函数的单调增区间； (2)已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分. 题型3三角函数的图象及变换 1．(2026高三·北京·专题练习)设函数，若存在，使得，则的值不可能是( )． A． B． C． D． 2．(25-26高一上·北京·开学考试)要得到函数的图象，需要把函数的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．(2025·北京海淀·一模)已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则( ) A．1 B． C． D． 4．(25-26高三上·北京·月考)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( ) A．1 B．2 C． D． 5．(25-26高三上·北京·月考)先将函数(且)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为( ) A．1 B． C．2 D． 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为( ) A． B． C． D． 7．(25-26高三上·北京·月考)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 8．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知函数. (1)求的值； (2)将的图象向左平移后得到的函数图象关于轴对称，求的最小值和此时在上的取值范围. 题型4三角函数的零点 1．(25-26高三上·北京·月考)下列函数中，是奇函数且存在零点的是( ) A． B． C． D． 2．(25-26高三上·北京·期中)已知函数()，若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．(25-26高三上·北京顺义·月考)函数，则下列所有正确命题的序号是 . ①函数图象关于直线对称；②在上有4个零点； ③在上单调递减；④的值域是 4．(25-26高三上·北京·月考)已知函数的一个零点为，则实数 ． 5．(25-26高三上·北京西城·期中)已知，是函数(，)的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01三角函数的图象与性质 目录 01析考情精解…1个 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一三角函数概念… 3 真题动向 知识1终边相同的角 知识2孤度制 知识3孤长公式、扇形面积公式 必备知识 知识4三角函数概念 知识5三角函数符号 知识6特殊角的三角函数值 知识7三角函数线 题型1角的概念的推广 命题预测 题型2三角函数概念 考点二三角恒等变换… 10 真题动向 知识1同角关系 知识2诱导公式 知识3和差角公式 必备知识 知识4二倍角公式 知识5常用公式变形 知识6角的陪凑 题型1同角关系 命题好预测 题型2诱导公式 题型3三角恒等变换 考点三三角函数图象性质… 18 真题动向 知识1函数y=Asin(ox十p)的图象 必备知识 知识2函数y=Asin(aox十p)的性质 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 题型2三角函数的单调性与最值 命题好预测 题型3三角函数的图象及变换 题型4三角函数的零点 第1页共44页 学科网·上好课 上好每一堂课 N0.1 析·考情精解 命题 从近三年高考试题来看，三角函数主要考基础考点，多以5分选择题或填空题形式呈 现。解答题中考三角函数运算与性质的很少且难度较低，但2025全国丨卷解答题压轴 轨迹 题考查了三角函数与其它知识的交汇，难度大。 透视 北京卷近5年三角函数均以基础为主。 考点 考点 2025年 2024年 2023年 频次 三角函数概念 北京T12,5分 北京T13,5分 三角恒等变换 北京T13,5分 总结 三角函数图象 北京T8,4分 北京T6,4分 北京T17,13分 2026 预计在2026年北京卷高考中，三角函数仍会考三角恒等变换与图象性质，大概率以 4分单选题形式出现，侧重图象变换、周期、奇偶性、对称性、单调性、最值、零点。 命题 难度简单与难题均可出现。 预测 N0.2 构·知能框架 知识点1终边相同的角 知识点2弧度制 考点一三角 知识点3弧长、扇形面积公式 函数概念 知识点4三角函数概念 题型1角的概念地推 题型2三角函数概念 知识点5特殊角的三角函数值 知识点6三角函数符号 知识点7三角函数线 知识点1同角关系 考点二三角 知识点2诱导公式 题型1同角关系 专题1三角函数的图象与性质 恒等变换 知识点3和差角公式 题型2诱导公式 知识点2二倍角公式 题型3三角恒等变换 知识点2常用公式变形 知识点2角的配凑 知识点1y=Asin(wx+列 题型1三角函数的周期性、奇偶 考点三三角函 的有关概念 性与对称性 数的图象性质 知识点1函数 题型2三角函数的单调性与最值 题型3三角函数的图象及变换 y=Asin(wx+p) 题型4三角函数的零点 的性质 NO.3 破·题型攻坚 第2页共44页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 考点一三角函数概念 题 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系x0y中，角与角B均以0x为始边，它们 的终边关于原点对称若u∈店，引则cos的最大值为 【答案】--0.5 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、求cosx(型)函数的值域 【分析】首先得出B=a+π+2kπ，k∈Z,结合三角函数单调性即可求解最值， 【详解】由题意B=a+π+2kπ，k∈Z,从而cosβ=cos(a+π+2k)=-cosa, 因为a∈后，引，所以cosa的取值范国是，cosp的取值范围是[马，-引 当且仅当a=子即B=号+2k红，k∈Z时，c0s8取得最大值，且最大值为- 故答案为： 2.(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)己知命题p:若a,B为第一象限角，且a>B,则tana>tanB.能 说明p为假命题的一组%，β的值为α= B= 【答案】 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、比较正切值的大小 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解 【详解】因为f()=tanx在(0，)上单调递增，若0<ao<Bo<号则tana<tanpo, 取a=2k1t+ao,B=2k2t+Bo,k1,k2∈Z, tana tan(2kIt+ao)=tando,tanp tan(2k2It+Bo)=tanpo:tana tanB, 令k1>k2,则a-B=(2k1+ao)-(2k2π+Bo)=2(k1-k2)m+(ao-Bo), 因为2(k1-k2)m≥2-<a0-B。<0,则a-B=2(k1-k2)m+(a-Bo)>>0, 2 即k1>k2,则a>B. 不妨取k=1,k=0,购=B=行即u=华B=满足腿意 故答案为：等号 知 识 ●●● 第3页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知识1终边相同的角 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是S={BB=k360°十a,k∈Z}. 知识2弧度制 1.弧度的角：在.圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号ad表示. 2.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3角度制与弧度制的换算 (1=7高rad 21rad=()°≈57.3=5718 知识3弧长，扇形面积公式 如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为1，那么，角a的弧度数的绝对值是d=, 相关公式：()扇形的弧长公式：1=80=d:(②)扇形的面积公式：S=="=r 360 知识6三角函数符号 一全二正三切四余 知识4三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,),那么： sin a=y. cos a=x tana=x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设a是一个任意角，它的终边过点P(x,),IOP|=r那么： sin a cosa=月 tana=x≠0). 知识5特殊角的三角函数值 角度 0 15° 30 459 60 75° 90° 120 135° 1509 180° 270° 360° 弧度 0 5π 2n 喝 2 37 2π 6 4 12 2 6 sin a 0 6-√2 y 互 √3 V6+W2 1 1-2 0 -1 0 4 2 4 2 2 cos a 1 6+V互 3 互 √6-√2 0 1 3 -1 0 1 4 2 2 2 4 2 2 2 tan a 0 2-V3 3 1 3 2+V3 不存在 -3 -1 √3 0 不存在 0 3 3 知识7三角函数线 三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 第4页共44页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A(1,0 41,0) A1,0) A1,0 0 x a位于第一象限 a位于第二象限 a位于第三象限 a位于第四象限 其中：sina=MP,cosa=OM,tana=AT; 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0： 当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角o的余弦值为0，正切值不存在 【易错提醒】 ①一定要清楚角的正负； ②一定要清楚是角度还是孤度表示的角. 题型1角的概念的推广 1.(25-26高三上·北京·阶段练习)一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果 【详解】设扇形的弧长为l,半径为r,中心角为a,面积为S, 根据扇形的面积公式S=r可得：6=×6×m,解得r=2, 再根据弧长公式l=|ar可得：6=la×2,解得1叫=3. 故选：C 2.(25-26高三上·北京房山·月考)扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半 径为16cm,圆心角为织，则这把扇子的弧长为 【答案】12πcm【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】由弧长公式可得1=a:T=16ד=12m, 故答案为：12πcm 题型2三角函数概念 1.(25-26高三上北京朝阳期中)已知角α的终边经过点（任，-）， 则cosa=()》 第5页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.月 B.-月 c.9 D.② 2 【答案】C【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案 1 【详解】因为角a的终边经过点（作，）所以cosa 周+( 故选：C 2.(25-26高三上北京顺义：月考)已知Pom,受)为角a终边上一点，“m=是sima=受的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点 或参数 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当m=时，P(号)，则sina 2 ,充分性成立， 月+9 2 当sina=时，则 2 √3 可得m=± 必要性不成立， 2 m2+9 所以“m=是"sima=的充分不必要条件 2 故选：A 3.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系x0y中，角，B均以0x为始边，它们的终边关于直线y=x 对称且sina+cosa=-号若角B的终边与单位圆交于点P(m,),且n<0,则m为) A. B.- c. D. 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、己知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据对称求出角a的终边与单位圆交于点p(n,m),然后得到m+n=-,再根据单位圆得到m2+ n2=1,进而求得m. 【详解】若角a的终边与角B的终边关于直线y=x对称，则角a的终边与单位圆交于点P(n,), 则sina+cosa=m+n=- 因为点P(m,n)在单位圆上，所以m2+n2=1: m= 3（m= 4 由n=--m,代入解得 或 n=-(n= 5(舍)：因此m= 3 故选：C 第6页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 4.(25-26高三上·北京·期中)在平面直角坐标系x0y中，角a以0x为始边，其终边经过点P(1,2),则tan2a=() A月 B. C.2 D.月 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得 【详解】由三角函数的定义可知tana=2, 所以tan2a=。=去=-黄 故选：A 5.(25-26高三上·北京·月考)角的终边过点P(2,4),则tan(8+羽=() A-月 B.-3 C. D.3 【答案】B【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义先计算tan0,再利用两角和的正切公式即可求解 【详解】由题意有：tan6=主2，所以tan(g+) tan+tan" 1-tandtan tam0+1=21=-3, 1-tan=1-2 故选：B 6.(25-26高三上·北京海淀·期中)已知角a,B是象限角，则“存在k∈Z,使得a+B=kπ'是“tana+tanB=0” 的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由正切函数的周期求值 【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得 【详解】因角a,B是象限角，且a+B=kπ，正切函数的最小正周期为π，且为奇函数 所以tana=tan(kr-)=-tanB,即tana+tanB=0.所以充分性成立. 反过来，当tana+tanB=0,即tana=-tanB=tan(-B), 根据正切函数的性质可得，存在k∈Z,使得a=kπ+(-)，即a+B=kT 所以必要性成立.所以“存在k∈Z,使得a+B=kπ'是“tana+tanB=0”的充要条件 故选：C 7.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知角a、B为第一象限角，“a>B'是“tana>tanβ的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、比较正切值的大小 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论， 【详解】因为角a、B为第一象限角， 第7页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 取a=号B=号则a>B,但ana=tam号=ta写=tanp, 即a>B'产tana>tanβ'： 取a-子B-g,则tana=tan号=V,tang=tanF-tan片=l, 则tana>tanB,但a<B,即“a>B”←tana>tanB'. 因此，“a>B'是tana>tanB的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8.(25-26高三上·北京·月考)己知角a的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上，终边上有一点(tana,3), 则sina=() A.月 B.-月 C. 2 D.-3 2 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解 【详解】因为终边上一点A(tan%,3), 所以由三角函数点定义得ama=品即tana=3 所以a 故选：C 9.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系x0y中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的 正半轴上，终边经过点A(V2,1),则cos2a=一 【答案】【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】先由角的终边过点A(√2,1)，根据任意角的三角函数的定义求出cosa,再由二倍角公式，即可得出 结果 【详解】因为角a的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上，终边经过点A(√2,1)， 所以cosa 2 √（☑2+12 号：所以cos2a=2cos2a-1=2× √6 -1=3 故答案为：青 10.(25-26高三上北京·期中)如图，单位圆与x轴的正半轴交于点A(1,0),以x轴的非负半轴为始边作锐角、 B(x>),终边分别与单位圆相交于点P1、A1,角a-B的终边与单位圆交于点P, 1)若a=受B=景则扇形0A1P1的面积为 2)若a=子点P的纵坐标为时，则A1点的纵坐标为 第8页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 a的终边 P/ 4的终边 一a-的终边 0 A(1,0) 【答案】品，【难度106的 10 【知识点】扇形面积计算、利用定义求某角的三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】(1)求出∠A1OP1,利用扇形的面积公式可求得结果： 2)求出cos(a-),结合两角差的正弦公式可求得A1点的纵坐标sinB的值， 【详解】)油题意可知∠A10P:=a-B=晋-：名此时扇形0A1P:的面积为发号×名×12=立 2)因为0<a<0<B<则-<-B<0,所以-<a-B<2 因为a>B,所以a-B>0,故0<a-B<2 由题意可知，点P的纵坐标为sin(a-B)=是则cos(a-)=√1-sin2(a-可=√1-()- 故点A1的纵坐标为sin6=sina-(a-】=sincos(a-)-cosasin(a-)=号x等x是= 10 故答案为：0哈Q 1.(25-26高三上·北京期中)若点M(os要，sin碧)在角a的终边上，则tan2a=一 【答案】-√5【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】利朋三角函数的定义，可求得ama=一气再用二倍角正切公式即可求值 、8in5r 【详】由点(os若血习在布a的绕边，可得ua一等=am受=号 6 2tana 2x( 2 则tan2a= 3 1-tan2a -V3 1-( 故答案为：-√3 12.(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数f(x)=x+tanx的定义域是 【答案】{xx≠+kmk∈Z【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【分析】f(x)定义域是两个函数定义域的交集 【详解】因为函数y=x的定义域为R,y=tax的定义域为{xx≠+kit.k EZ 所以函数f()的定义域为x≠乏+kπk∈Z 第9页共44页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 故答案为：{x≠+kmk∈Z 13.(25-26高三上·北京·月考)已知角的终边经过点(-1,1)，则sin(π+a)的值是 【答案】-9【难度】0.85 2 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义及诱导公式即可求解 【详解】由题意可得，x=-1,y=1,则r=√-1)P+1下-=V2,所以sina===三， r v2 所以sin(m+a)=-sina=- 21 故答案为： 2 考点二 三角恒等变换 动 向 1.(2025年高考北京卷数学真题T13填空题5分)已知a,B∈[0,2可，且sin(a+B)=sin(a-β)，cos(a+)≠ cos(a-β).写出满足条件的一组a,β的值a=」 ,B= 【答案】答案不唯一)：（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、诱导公式二、三、四 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解 【详解】因为sim(a+B)=sin(a-B),cos(a+)≠cos(a-B), 所以a+B,a-B的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故a+B+a-B=r+2kmk∈z且a+B≠+mlez, 即a=;+km,k∈Z,故取a=,B=可满足题设要求； 故答案为：子。（答案不唯） 识 ●● 知识1同角关系 1.平方关系：sin2a+cos2a=1. 2.商数关系：c=tana(a≠km+,kE), coso 3.变形：(1)(sina吐cosc)2=1±2 sin acos a-=1士sim2a, (2)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); 第10页共44页 专题01三角函数的图象与性质 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 三角函数概念 3 真题动向 必备知识 知识1终边相同的角 知识2弧度制 知识3弧长公式、扇形面积公式 知识4三角函数概念 知识5三角函数符号 知识6特殊角的三角函数值 知识7三角函数线 命题预测 题型1角的概念的推广 题型2三角函数概念 考点二 三角恒等变换 10 真题动向 必备知识 知识1同角关系 知识2诱导公式 知识3和差角公式 知识4二倍角公式 知识5常用公式变形 知识6角的陪凑 命题预测 题型1同角关系 题型2诱导公式 题型3三角恒等变换 考点三 三角函数图象性质 18 真题动向 必备知识 知识1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 知识2函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 命题预测 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 题型2三角函数的单调性与最值 题型3三角函数的图象及变换 题型4三角函数的零点 命题轨迹透视 从近三年高考试题来看，三角函数主要考基础考点，多以5分选择题或填空题形式呈现。解答题中考三角函数运算与性质的很少且难度较低，但2025全国Ⅰ卷解答题压轴题考查了三角函数与其它知识的交汇，难度大。 北京卷近5年三角函数均以基础为主。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角函数概念 北京T12，5分 北京T13,5分 三角恒等变换 北京T13，5分 三角函数图象 北京T8，4分 北京T6，4分 北京T17，13分 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，三角函数仍会考三角恒等变换与图象性质，大概率以4分单选题形式出现，侧重图象变换、周期、奇偶性、对称性、单调性、最值、零点。难度简单与难题均可出现。 考点一 三角函数概念 1．( 2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、求cosx(型)函数的值域 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 2．(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、比较正切值的大小 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 知识1终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 知识2弧度制 1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示. 2.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad. (2)1 rad＝. 知识3弧长，扇形面积公式 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 知识6三角函数符号 一全二正三切四余 知识4三角函数概念 1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 知识5特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 知识7三角函数线 三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 【易错提醒】　 ①一定要清楚角的正负； ②一定要清楚是角度还是弧度表示的角. 题型1角的概念的推广 1．(25-26高三上·北京·阶段练习)一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，中心角为，面积为， 根据扇形的面积公式可得：，解得， 再根据弧长公式可得：，解得. 故选：C. 2.(25-26高三上·北京房山·月考)扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为 ． 【答案】【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】由弧长公式可得， 故答案为： 题型2三角函数概念 1．(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知角的终边经过点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知为角终边上一点，“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】先根据对称求出角的终边与单位圆交于点，然后得到，再根据单位圆得到，进而求得. 【详解】若角的终边与角的终边关于直线对称，则角的终边与单位圆交于点， 则； 因为点在单位圆上，所以； 由，代入解得或(舍)；因此. 故选：C. 4．(25-26高三上·北京·期中)在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】由三角函数的定义可知， 所以. 故选：A. 5.(25-26高三上·北京·月考)角的终边过点，则(   ) A． B． C． D．3 【答案】B【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：B. 6．(25-26高三上·北京海淀·期中)已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由正切函数的周期求值 【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得. 【详解】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数. 所以，即.所以充分性成立. 反过来，当，即， 根据正切函数的性质可得，存在，使得，即. 所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件. 故选：C. 7.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知角、为第一象限角，“”是“”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、比较正切值的大小 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为角、为第一象限角， 取，，则，但， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8.(25-26高三上·北京·月考)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 9.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，则 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】先由角的终边过点，根据任意角的三角函数的定义求出，再由二倍角公式，即可得出结果. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点， 所以；所以. 故答案为：. 10.(25-26高三上·北京·期中)如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． (1)若，，则扇形的面积为 ； (2)若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为 ． 【答案】/；【难度】0.65 【知识点】扇形面积计算、利用定义求某角的三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】(1)求出，利用扇形的面积公式可求得结果； (2)求出，结合两角差的正弦公式可求得点的纵坐标的值. 【详解】(1)由题意可知，此时扇形的面积为； (2)因为，，则，所以， 因为，所以，故， 由题意可知，点的纵坐标为，则， 故点的纵坐标为. 故答案为：(1)；(2). 11.(25-26高三上·北京·期中)若点在角的终边上，则 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式 【分析】利用三角函数的定义，可求得，再用二倍角正切公式即可求值. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则. 故答案为： 12.(25-26高三上·北京朝阳·期中)函数的定义域是 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求正切(型)函数的定义域 【分析】定义域是两个函数定义域的交集. 【详解】因为函数的定义域为，的定义域为， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 13.(25-26高三上·北京·月考)已知角的终边经过点，则的值是 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】由题意可得，，则，所以， 所以， 故答案为：. 考点二 三角恒等变换 1．( 2025年高考北京卷数学真题T13填空题5分)已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】( 答案不唯一)；( 答案不唯一) 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、诱导公式二、三、四 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即，故取可满足题设要求； 故答案为：；( 答案不唯一) 知识1同角关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1． 2.商数关系：＝tan α． 3.变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α． 知识2诱导公式 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 1.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． “奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变． “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 2.通用公式：； 知识3和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 知识4二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 拓展：万能公式： ， ，知识5 知识5常用公式变形 (1)降幂公式： ； ． (2)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝；1－sin α＝． (3)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的：sin α±cos α＝sin；sin α±cos α＝2sin；sin α±cos α＝2sin． 知识6角的配凑 ①； ②；； ③；； ④；. 【易错提醒】 ①如果涉及到开平方，注意符号， ②对于交的陪凑，要理解清楚. 题型1同角关系 1.(25-26高一上·北京平谷·月考)如果，那么 【答案】/【难度】0.85 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2.(25-26高三上·北京·月考)已知，则 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】由即可求值 【详解】，. 故答案为：. 3.(25-26高三上·北京密云·月考)若，是第二象限的角，则 ， ． 【答案】/；/【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、已知弦(切)求切(弦)、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】根据的值以及角所在象限求出，再利用二倍角的正弦、余弦公式计算出与即可得出的值. 【详解】因为，是第二象限的角，所以， 所以，， 所以， 故答案为：；. 4．(25-26高三上·北京·开学考试)若，，则 ， ． 【答案】；【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知弦(切)求切(弦) 【分析】第一空利用诱导公式求出，再利用同角三角函数基本关系求出；第二空先利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】因为, ,所以，， 故；因为， 故答案为：；. 题型2诱导公式 1.(河北省邯郸市等3地2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题)已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解即可. 【详解】由三角函数定义可知，，，所以，． 故选:C 2．(25-26高三上·北京·月考)“” 是 “” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式和余弦函数定义，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当，时，， 所以， 当，时，， 所以， 所以由“” 可以推出 “”； 当时，， 所以，或，，即，， 所以由“” 可以推出 “”； 故“” 是 “” 的充分必要条件. 故选：C 3．(25-26高三上·北京密云·月考)在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义及诱导公式求解. 【详解】因为锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，由三角函数定义可知， 又将角逆时针旋转角后得到角，所以. 故选：B. 题型3三角恒等变换 1．(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据对称得，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意，即， 由于，故. 故选：A 2．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、既不充分也不必要条件 【分析】将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】充分性分析： ，，， ， ，或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析：，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 3．(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先根据已知条件求出，再根据与的关系得出，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】根据三角函数的定义可得：， 因为把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度后得到，所以，所以， 因为角终边与单位圆交点的纵坐标是，所以角的终边在第一象限或第二象限， 所以，即， 当时， ， 当时， ，综上所述，， 故选：B. 4．(25-26高三上·北京平谷·开学考试)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据条件，得，利用平方关系和余弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且，则， 若为第一象限角，则为第四象限角， 由，得，由，得， 此时， 若为第二象限角，则为第三象限角， 由，得，由，得， 此时，综上，. 故选：B. 5.(25-26高三上·北京顺义·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，设第一象限角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，则的最大值为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式、两角和的正弦展开式可得答案 【详解】由已知得， 由三角函数的定义：， 则， 因为，所以， 可得，即的最大值为. 故答案为：. 6.(25-26高三上·北京大兴·月考)若，且，则的值为 . 【答案】或【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式对等式进行化简，求出，然后根据的范围求出结果. 【详解】因为，所以， 化简得，解得， 所以或，因为，所以或. 故答案为：或. 7．(25-26高三上·北京·月考)若，则 . 【答案】/2.56【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】先利用诱导公式化简，结合诱导公式以及同角三角函数商数关系化为只含的式子，将值代入计算即可. 【详解】因为， 由 ， 故答案为：. 8.(25-26高三上·北京·月考)若，且．则 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由题意，且，故， 所以. 故答案为： 9.(25-26高三上·北京·月考)在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转到点，那么点的坐标是 ，若角终边过点，则的值是 ． 【答案】；【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义和诱导公式可求得B的坐标，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】由两点间距离公式得．由三角函数的定义可知 ， ， 由二倍角公式得，将点绕原点顺时针旋转到点， 由三角函数定义可得点的坐标为， 即，即． 故答案为：；. 10．(25-26高三上·北京·开学考试)已知，则 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角差的余弦公式以及二倍角余弦公式变形即可得到答案． 【详解】移项得， 根据两角差的余弦公式可得， 再根据二倍角余弦公式，． 故答案为：. 考点三 三角函数图象性质 1．( 2025年高考北京卷数学真题T8选择题4分)设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为( ) A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦( 型)函数的周期性求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，，所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 2．( 2024年北京高考数学真题T6选择题4分)设函数.已知，，且的最小值为，则( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85 【知识点】由正弦( 型)函数的值域( 最值)求参数、由正弦( 型)函数的周期性求值 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以. 故选：B. 3.( 2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为；故答案为：. 4.(2023年北京高考数学真题T13填空题5分)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】①. ；②. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则，即，则. 不妨取，即满足题意；故答案为：. 5.(2022年北京卷数学真题T5选择题4分)已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【解】因为. 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C. 6.(2022年北京卷数学真题T13填空题5分)若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】①. 1;②. . 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【解】∵，∴;∴， ;故答案为：1，. 7.(2021年北京卷数学真题T7选择题4分)函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求含cosx的二次式的最值、求含cosx的函数的奇偶性、二倍角的余弦公式 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 8.(2021年北京卷数学真题T14填空题5分)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可）【难度】0.85 【知识点】三角函数定义的其他应用 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】 与关于轴对称，即关于轴对称， ，则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 9．( 2023年北京高考数学真题T17解答题12分)设函数． (1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第( 2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1).(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.【难度】0.65 【知识点】已知三角函数值求角、利用正弦型函数的单调性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】( 1)把代入的解析式求出，再由即可求出的值； ( 2)若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】( 1)因为 所以， 因为，所以. ( 2)因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 知识1函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.图象变换： 知识2函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的性质 1．周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)| y＝|Acos(ωx＋φ)| y＝|Atan(ωx＋φ)| 周期T T＝ T＝ T＝ 函数 y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0) y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 周期T T＝ T＝ T＝ 注意：并非所有周期函数都有最小正周期，例如：. 2．奇偶性 函数 是奇函数的条件 是偶函数的条件 y＝Asin(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) φ＝kπ＋ (k∈Z) 为最大值(或最小值) y＝Acos(ωx＋φ) φ＝kπ＋ (k∈Z) φ＝kπ(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) φ＝kπ(k∈Z) 无 3．对称性 函数 对称轴的条件与对称轴方程 对称中心的条件与对称中心坐标 y＝Asin(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) y＝Acos(ωx＋φ) ωx＋φ＝kπ(k∈Z) ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) y＝Atan(ωx＋φ) 无 ωx＋φ＝(k∈Z) 4．单调性 函数 递增区间 递减区间 条件 区间 条件 区间 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 5．最值 函数 取最大值的条件(k∈Z) 最大值 取最小值的条件(k∈Z) 最小值 ωx＋φ＝2kπ＋ A+m ωx＋φ＝2kπ＋ -A+m ωx＋φ＝2kπ A+m ωx＋φ＝2kπ+π -A+m 无最值 题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性 1．(25-26高三上·北京·月考)已知函数 ，则( ) A．其最小正周期为，最小值为0 B．其最小正周期为，最小值为0 C．其最小正周期为，最大值为 D．其最小正周期为，最大值为 【答案】C【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求余弦(型)函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】首先将拆分为两个函数，通过它们的最小正周期得到的最小正周期，由倍角公式将进行变形，通过二次函数的性质求得最值. 【详解】因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为. ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值，为； 当时，取得最小值，为. 故选：C. 2．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知，则的最小值为( ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由，则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 3．(25-26高三上·北京·期中)下列函数中满足定义域为且为偶函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：设，定义域为全体实数， ，所以该函数是奇函数，不符合题意； B：设，定义域为，显然不是实数集，不符合题意； C：设，定义域为全体实数， ，所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：令，定义域为全体实数， ，所以该函数是偶函数，符合题意， 故选：D 4．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知函数，则下列说法不正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式，再结合三角函数的对称性和周期性来进行各选项判断即可. 【详解】由函数， 可知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是， 而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是， 而的对称轴是，故D正确； 故选：C 5．(25-26高三上·北京房山·月考)函数的图象的一个对称中心是( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的对称轴及对称中心 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 6．(25-26高三上·北京·月考)已知函数，给出下列四个统论： ①是奇函数：②是周期函数：③当时，： ④，使得且． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【难度】0.15 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对①直接用奇函数的定义判断即可；对②假设为周期函数，利用有界性推出矛盾；对③由正余弦函数的值域分析可得；对④由图象进行分析和推理可得. 【详解】对于①：函数定义域为，关于原点对称， 由；故函数f(x)是奇函数，故①正确； 对于②：假设函数是定义在上的周期函数，设周期为T，不妨设， 由，则，则函数也是周期函数，是函数的一个周期， 由，在闭区间上连续， 则存在常数，使得，，则函数是以为周期的周期函数， 则对任意，， 构造数列，，，则且， 则， 则，当， 这与存在常数，使得，矛盾.故假设错误，不是周期函数. 故②错误； 对于③：在上恒正，又，则， 所以，故③正确； 对于④：令，则，，不妨令，所以， 将其转化为函数的交点问题，是周期函数，值域为， 在上单调递减，且，，故两函数有无数个交点， 如图，不妨假设()为图象上靠近原点的两相邻交点(不为切点)，    设，则， 令，， 函数单调递增，，即随着趋向于无穷大，图象越陡峭， 故随着趋向于无穷大，两函数交点的间距可无限趋近于0，则也可无限趋近于0， 故，使得且，故④正确. 故答案为：①③④. 7．(25-26高三上·北京·月考)若点，关于原点对称，则的一个取值为 ． 【答案】(答案不唯一)【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据对称及诱导公式化简可得解. 【详解】由已知点，关于原点对称， 则，所以，，即，， 取，得. 故答案为：(，，任何一个符合此条件的角). 8．(25-26高三上·北京丰台·开学考试)若对任意的实数，()恒成立，则满足条件的一组A，的值为 ， . 【答案】1；(答案不唯一)【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六 【分析】应用诱导公式计算求解即可. 【详解】若对任意的实数，()恒成立， 则满足条件的一组A，的值为，. 故答案为：1；(答案不唯一). 题型2三角函数的单调性与最值 1．(25-26高三上·北京·月考)下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】逐一分析各函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】对A，设，显然定义域为，关于原点对称， 且，则其是偶函数，A错误； 根据正弦函数性质知为奇函数，但在区间上不单调，B错误； 对函数，定义域为，且， 所以函数是奇函数，又在区间上均单调递减， 所以函数在区间上均单调递减，C正确； 图象关于y轴对称，是偶函数，D错误. 故选：C 2．(25-26高三上·北京·期中)已知函数在上递增，则的最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故，解得，故的最大值为. 故选：D. 3．(25-26高三上·北京·月考)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先由题设得到进而求出关于的方程，再由计算分析取得的值得出函数解析式，再由正弦函数单调性列不等式计算即可求解. 【详解】若对恒成立，则， 所以， 又，所以，即， 则，由周期性可取， 所以函数， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C 3．(25-26高三上·北京顺义·月考)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数定义的其他应用 【分析】利用对称性结合三角函数定义出，结合正弦型函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】设角与单位圆的交点为，则点关于直线的对称点为， 由题意可知，点为角的终边与单位圆的交点，即，故，则， 因为，故当时，取最大值，此时取最小值. 故选：B. 4．(25-26高三上·北京西城·期中)已知函数()在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为 . 【答案】(答案不唯一，可取内任意实数)【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解. 【详解】， 当时，， 则有， 解得且，， 当时，无解； 当时，无解； 故，即有. 故答案为：(答案不唯一，可取内任意实数) 5．(25-26高三上·北京·月考)如图为函数的部分图象，则函数解析式为 ，若，则的最大值为 . 【答案】；6【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正(余)弦型函数解析式 【分析】由函数的部分图像，先求得，，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式；再结合二次函数的性质，求的最大值. 【详解】由题意，根据函数的部分图像，可得， 由，得，则，即， 又由，即， 解得，，即，， 又因为，所以，所以；， 由，所以时，有最大值6. 故答案为：. ；6 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 【答案】2；/0.6【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、利用正弦函数的对称性求参数、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值；进而得到，再由二倍角公式计算即得. 【详解】依题意，函数，其中锐角由确定， 且函数的最小值为，最大值为， 由，得函数的图象关于对称， 又两个不等的实数满足且， 则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期， ，又，则，解得， 于是，则，即， 所以 故答案为：2； 7．(25-26高三上·北京·月考)已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④【难度】0.65 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由图求得判断①，由解析式结合正弦函数性质判断②③④. 【详解】由图，，解得，①错误； 所以，又图象经过，所以，解得， 因为，所以，所以，所以， 当时，，此时且单调递减，所以，且单调递增，②正确； 因为，所以的图象过点，③错误； 由，得，在上，的第一个极大值点， 第二个极大值点，第三个极大值点， 因为在上有且仅有两个极大值点，所以，④正确； 故答案为：②④. 8．(25-26高三上·北京·月考)已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 【答案】1；【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空. 【详解】由，可得， 所以，即，所以， 由，可得或，， 即或，， 又在上单调递减，所以，， 可得：，解得：， 又或，，所以当时，满足题意， 故答案为：1； 9．(25-26高三上·北京·开学考试)若函数的最小值为，则常数的一个取值为 ． 【答案】(答案不唯一)【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出即可. 【详解】因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，即， 解得，取，得. 故答案为：(答案不唯一) 10.(25-26高三上·北京·月考)函数. (1)若，求及的单调递增区间； (2)在上单调递增，且存在，使在至少有3个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在唯一确定，求的最小正周期. 条件①:；条件②:；条件③:. 注:如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答计分. 【答案】(1)；；(2)【难度】0.65 【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案；(2)根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】(1) ， 由，则，可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. (2)由，则当时，即， 由函数在上单调递增，则，解得. 由函数在上至少存在个零点，则，解得. 选择条件①：由，解得，即， 令，化简可得，即或，不符合题意. 选择条件②：由，且，则直线为函数图像上的一条对称轴， 令，化简得，则，化简得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 选择条件③：由，且，则点为函数图像上的一个对称中心， 令，化简可得，则，化简可得， 令，解得，即，符合题意， 可得，则，此时最小正周期. 11．(2025高三上·北京·专题练习)函数，，部分图像如图所示，已知．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求函数的解析式； (2)求的单调减区间． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1)；(2)，，【难度】0.4 【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)根据，可得周期，进而结合图像特征以及三角函数的对称性，分三种情况讨论，逐一求解即可； (2)根据整体法即可由正弦函数的单调区间进行求解. 【详解】(1)已知，由图得，又知．所以． (1)若选择条件①②，即，，因为， 由图可知，，即， 因为，所以当时，，所以． 又因为，所以，所以． 若选择条件①③，即，．因为， 由图可知，，即， 因为，所以当时，．所以． 又因为，所以，所以． 选择条件②③，即，，因为， 由图可知，当时取得最大值， 即，，由，得，， 因为所以，又，所以， 所以． (2)因为函数的单调递减区间为,，． 由，，得，． 所以单调递减区间为,，． 12．(25-26高三上·北京顺义·期中)已知函数. (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)答案见解析过程【难度】0.65 【知识点】由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、辅助角公式 【分析】(1)根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； (2)若选条件①：根据函数的单调性进行判断即可； 若选条件②：根据函数的单调性，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； 若选条件③：根据函数的单调性判断函数的最小值，结合条件②的结论进行求解即可. 【详解】(1)， 若， 所以， 因为，所以令，即； (2)若选条件①： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件②：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， 由可知该函数的最小值为， 于是有，即， 又因为， 所以， 因为，所以令，即， 所以可以选择本条件，此时； 若选条件③：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数，此时， 所以由条件②可知可以选择本条件，此时； 13．(25-26高三上·北京·期中)已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； (1)求函数的单调增区间； (2)已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)由题意可得，若选①，计算并检验可得，即，根据正弦函数性质列式计算即可求解；若选②，计算可得，解法同①；若选③，计算可得，解法同①； (2)由(1)可得，由题意可知令，解得或，计算即可求解. 【详解】(1)因为， 若选①，的最大值为2， 因为(其中) 所以，解得或； 当时，， 当时，， 因为在上不单调，不符合题意； 当时，， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选②，则， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选③的图象关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； (2)由(1)可得， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且，所以. 题型3三角函数的图象及变换 1．(2026高三·北京·专题练习)设函数，若存在，使得，则的值不可能是( )． A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】先根据得到关于的表达式，再结合的取值范围求出的范围，最后据此判断选项. 【详解】因为，且存在，使得， 则，即，所以，， 当，时，得，， 因为，所以，. 当，时，得，， 因为，所以，. 综合以上情况得的所有可能取值的集合为，. 检验可知均在时对应的区间内，不在该集合对应的任何区间内，所以的值不可能为. 故选：A. 2．(25-26高一上·北京·开学考试)要得到函数的图象，需要把函数的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C【难度】0.94 【知识点】描述正(余)弦型函数图象的变换过程、求图象变化前(后)的解析式 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 3．(2025·北京海淀·一模)已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则( ) A．1 B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式) 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 4．(25-26高三上·北京·月考)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( ) A．1 B．2 C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】求图象变化前(后)的解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】先得到函数平移后的解析式，再由其图象关于直线对称，列出等式，进而可求出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象， 因为平移后的函数图象关于直线对称，所以， 则，又，所以的最小值是2. 故选：B. 5．(25-26高三上·北京·月考)先将函数(且)的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为( ) A．1 B． C．2 D． 【答案】D【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前(后)的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先根据三角函数图象的变换得出解析式，然后根据三角函数的图象性质分析满足题意的值，即可解出. 【详解】由题意可得，函数(且)， 所以由三角函数周期性性质可知， 方程有无数个解方程有解方程有解， 设，因为且， 所以当为奇数时，， 当时，， 综上，的值域为，所以的取值范围为. 故选：D. 6．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、求图象变化前(后)的解析式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出，再利用正弦函数性质求解. 【详解】函数，则， 由为奇函数，，得，解得，所以的最小值为. 故选：A 7．(25-26高三上·北京·月考)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】求图象变化前(后)的解析式 【分析】根据函数图象的平移过程写出解析式即可. 【详解】由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为： 8．(25-26高三上·北京海淀·月考)已知函数. (1)求的值； (2)将的图象向左平移后得到的函数图象关于轴对称，求的最小值和此时在上的取值范围. 【答案】(1)；(2)2，【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前(后)的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)方法1：先利用和角、差角、倍角的余弦公式和二倍角公式化简函数解析式，即可求得函数值；方法2：直接将代入函数解析式中求解即可. (2)先求出平移后的函数解析式，然后根据图象关于轴对称列出等式，求出的最小值，然后根据的范围求出函数值的范围即可. 【详解】(1)方法1： 所以. 方法2：. (2)平移后的解析式为， 因为平移后图象关于轴对称，则， 解得，因为，所以的最小值为2. 此时，因为，所以 题型4三角函数的零点 1．(25-26高三上·北京·月考)下列函数中，是奇函数且存在零点的是( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】结合奇函数定义与零点定义逐项判断即可得. 【详解】对A：，又定义域为， 故是奇函数，又，故存在零点，故A正确； 对B：，故不为奇函数，故B错误； 对C：，故不为奇函数，故C错误； 对D：，故不为奇函数，故D错误. 故选：A. 2．(25-26高三上·北京·期中)已知函数()，若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦(型)函数的周期性求值 【分析】先化简得，由及进行求解． 【详解】， 若恒成立，则函数的一个周期为，则，得 由，得， 而在内至少有3个零点，则， 得，由，得的最小值是， 故选：B 3．(25-26高三上·北京顺义·月考)函数，则下列所有正确命题的序号是 . ①函数图象关于直线对称；②在上有4个零点； ③在上单调递减；④的值域是 【答案】②③【难度】0.4 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用特殊值检验可判定①，根据的图象交点个数可判定②，分函数判定结合奇偶性的性质可判定③，利用三角函数的有界性结合二倍角公式化二次函数求值域即可. 【详解】显然，即函数为偶函数. 对于①，易知， 即，所以不关于对称，①错误； 对于②，作出的图象， 则函数的零点问题化为该两函数交点个数问题， 由图象可知在上有4个零点，故②正确；    对于③，易知时，单调递增，单调递减，则单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减，故③正确； 对于④，由偶函数的性质，我们只研究时函数的值域. 易知，，则，且时可以取得等号； 下面分析值域下限，， 显然时，，故④错误. 故答案为：②③ 4．(25-26高三上·北京·月考)已知函数的一个零点为，则实数 ． 【答案】【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】由求解. 【详解】因为的一个零点为， 所以，解得， 故答案为：. 5．(25-26高三上·北京西城·期中)已知，是函数(，)的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. (1)求的解析式； (2)若在区间上有且仅有2个零点，求m的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案详见解析；(2)【难度】0.65 【知识点】由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、三角函数图象的综合应用、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件②，由极值点定义计算可得；或条件①与条件③，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③计算可得；不能选择条件②与条件③，结合极值点定义计算可得，但使用条件③时会导致多解； (2)结合正弦型函数性质计算即可得. 【详解】(1) ； 若：选择条件①：与条件②：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 故； 若：选择条件①：与条件③：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件②与条件③，理由如下： 若：选择条件②：与条件③：： 由为极值点，可得， 则，则，又，则， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； (2)当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $