精品解析：河南省2025-2026学年上学期期末联考卷九年级数学试题

河南省2025—2026学年第一学期期末联考卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 一店铺的娃娃机设定程序为“12次保抓”，若亮亮前11次均抓空，则下次“抓到娃娃”的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案均不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．根据“12次保抓”的程序设定，前11次均抓空后，第12次必然抓到娃娃，因此该事件是必然事件． 【详解】解：∵ 程序设定为“12次保抓”，即前11次抓空后，第12次保证抓到娃娃， ∴ 亮亮前11次均抓空，则第12次抓到娃娃是必然事件． 故选：A． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图中的信息特征得到该几何体，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看， 主视图是直角三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形， 不难看出这个几何体是C选项． 故选：C． 3. 如图，圆上有，，，四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，， ∴． 故选：C． 4. 如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可得为等腰三角形，因此作于C点，然后利用三角形函数表示，根据“三线合一”的性质即可得到的长度，从而得出结论． 【详解】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点， 则由“三线合一”知，，， ∴在中，米， ∴米， 故选：D． 5. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：B． 点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 6. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 7. 已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，也考查了点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 先利用第四象限点的坐标特征得到，然后判断出，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得且，再证明可得，再证明进而即可解答． 【详解】解：∵平行四边形， ∴且， ∵点是中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 10. 如图，如果从半径为的圆形纸片（图1）上剪去一个的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（图2，接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与弧长公式的应用，理解扇形弧长与圆锥底面周长的关系是解题的关键． 由题意得，留下的扇形半径为，圆心角为，设圆锥的底面半径为，由留下的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程可得，扇形半径（即母线长）、底面半径、高构成一个直角三角形，利用勾股定理即可求圆锥的高． 【详解】解：由题意得，留下的扇形半径为，圆心角为， 设圆锥的底面半径为，由留下的扇形弧长等于圆锥的底面周长得： ，解得， ∴这个圆锥的高是：． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象不经过第一象限的函数的解析式____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可写出一个经过二、四象限或经过二、三、四象限的一次函数解析式即可． 【详解】解：∵直线经过二、四象限，不经过第一象限， ∴直线符合题意； 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图像的关系等． 12. 在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_________；（精确到） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在左右，由此可估计摸到白球的概率将会接近． 【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在左右， 所以摸一次，摸到白球的概率将会接近． 故答案为：． 13. 若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，不规则图形的面积，勾股定理，过作于，先求出，，再由旋转得到，，，则，得到，，最后根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是______． 【答案】2.5或3.2 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和分类讨论思想的应用． 根据题意可得和，，当时，则和，结合解直角三角形得，即有，求得，进一步证得，有，得到，即可解得；当时，则得，同理，即，可得，结合，即可解得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ①当时，如图， 则，， ∵在和， ∴， 则， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴； ②当时，如图， 则， ∴，即， 则， 同理，即 ， ∴， ∵， ∴，解得， 故答案为：2.5或3.2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算减法； （2）利用因式分解解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解得． 17. [传统文化]一脚踏尽五千年，从夏商周到唐宋元，从太行山到黄河岸，河南史书活灵活现．河南作为中华文明的重要发祥地，拥有着无数令人心驰神往的旅游景点．河南某旅行社推出四个热门景点“龙门石窟、少林寺、云台山、殷墟（依次记为，，，）”供客户选择．现在甲乙两个旅行团派代表随机选择一个景点参观． （1）甲旅行团代表选择少林寺的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲乙旅行团代表选择同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果，再从中选出符合要求的数目，然后利用概率公式求出概率． （1）根据题意利用概率公式求出概率即可； （2）用A、B、C、D分别表示龙门石窟、少林寺、云台山、殷墟四个旅游景点，画树状图表示出所有的等可能结果，再找出甲乙旅行团代表选择同一个景点的结果数，用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲乙两个旅行团派代表随机从四个热门景点选择一个景点参观， ∴甲旅行团代表选择少林寺概率是； 【小问2详解】 解：依据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲乙旅行团代表选择同一个景点的结果有4种， 甲乙旅行团代表选择同一个景点参观的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到对应，在轴上方画出； （2）若以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，计算点转过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，图形的旋转和弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用位似变换性质分别作出各顶点的对应点并顺次连接即可； （2）根据勾股定理求出，利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴点转过的路径长为． 19. 河南足球近年蓬勃发展，各种赛事成绩也愈发闪耀．图1是某次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点C，若，，求的半径长． 【答案】（1）点O见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，勾股定理求线段长度，熟练运用圆的对称性和切线性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，在圆上取一点C，连接，作的垂直平分线，则与的交点即为圆心O； （2）根据题意作图，连接，先求线段的长度，再求的长度，设半径为r，在中，由勾股定理建立关于r的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：点O如图所示： 证明如下： ∵直线垂直平分，点O在上， ∴， ∵直线垂直平分，点O在上， ∴， ∵点A，点B，点C不共线，且， ∴点O为圆心． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，是圆的切线，A，B为切点， ∴，，，则， 在中，由勾股定理得， 设半径为r，则 在中，由勾股定理得出，即， 解得， ∴的半径长为． 20. [新情境]2025年12月2日是第14个“122全国交通安全日”，文明交通，携手共创．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一汽车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为0.2米．（，，，四点在平行于斑马线的同一直线上） （1）该汽车高约多少米？ （2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该汽车停车是否符合上述安全标准？（参考数据：） 【答案】（1）该汽车高约32米 （2）该汽车停车符合规定的安全标准 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，可得，进一步求解可得答案． （2）先求解，再进一步分析即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 该汽车高约3.2米． 【小问2详解】 解：中，， ， ， 答：该汽车停车符合规定的安全标准． 21. 如图1所示，在面积为6的四边形中，对角线．设，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出y与x的函数图象； （3）若函数图象上最上方的格点为A，最下方的格点为B，直接写出点O到线段的距离． 【答案】（1） （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了探究函数关系，反比例函数的图象性质，点到线段的距离等知识点，准确地求出y与x之间的函数解析式是解题的关键． （1）根据，求出y与x之间的函数解析式； （2）根据反比例函数的图象性质及函数解析式，逐一描点，连线即可； （3）根据题意找到点A，点B，连接,先作出点O到线段的距离，再根据中点坐标公式和两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作图如下 【小问3详解】 解：如图所示，，， 取线段的中点C，连接，，， 由题意可知，， ∵线段的中点为C， ∴，即点O到线段的距离为线段的长度， ∵，，线段的中点为C， ∴， ∴， ∴点O到线段的距离为． 22. 已知抛物线经过点和点； （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线往下平移个单位长度得到新的抛物线，且当时，的最大值为，求的值． （3）若当时，抛物线的最小值为，求的值．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3）的值为-或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的性质，二次函数的平移； （1）通过代入已知点建立方程组求解和的值，得到抛物线解析式． （2）平移后的抛物线开口向上，分析的最大值位置，根据端点处的函数值求解． （3）分析原抛物线的顶点位置及区间与顶点的关系，分情况讨论最小值为时的值． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线，得： 解得： ∴抛物线的解析式为，即 【小问2详解】 原抛物线为，向下平移个单位后为． 抛物线开口向上，在中，顶点在时取得最小值； ∵ ∴当时，为最大值 ∴ ∴ 【小问3详解】 原抛物线的顶点为，开口向上．当包含顶点x=1时，最小值为0，但题目要求最小值为4，故不包含顶点； 需分两种情况： ①当，即时，此时函数最小值在处： ∴ ∴（舍去）或， ②，此时函数最小值在处： ， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或． 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，则与的数量关系为____________． （2）迁移探究 如图2，在中，，，点，分别在边，上，且，在证明“”的过程中，亮亮给出了如下的思路： 过点作交的延长线于点，然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）； ②求证：． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，得到，即可利用证明，得到结论 （2）过点C作交的延长线于点F，利用证明，进一步证明，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【小问1详解】 解：如图，在正方形中，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O， ∵， 则， ， 又， ， ∴； 【小问2详解】 证明：过点C作交的延长线于点F，如图， ， ∴， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ∴， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 故的长为或． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025—2026学年第一学期期末联考卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 一店铺的娃娃机设定程序为“12次保抓”，若亮亮前11次均抓空，则下次“抓到娃娃”的事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案均不对 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆上有，，，四点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米 A. B. C. D. 5. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 6. 若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，平行四边形中，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 10. 如图，如果从半径为的圆形纸片（图1）上剪去一个的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（图2，接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象不经过第一象限的函数的解析式____________． 12. 在一个不透明口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_________；（精确到） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 13. 若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，，，，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连接，当与相似时，线段的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. [传统文化]一脚踏尽五千年，从夏商周到唐宋元，从太行山到黄河岸，河南史书活灵活现．河南作为中华文明的重要发祥地，拥有着无数令人心驰神往的旅游景点．河南某旅行社推出四个热门景点“龙门石窟、少林寺、云台山、殷墟（依次记为，，，）”供客户选择．现在甲乙两个旅行团派代表随机选择一个景点参观． （1）甲旅行团代表选择少林寺的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲乙旅行团代表选择同一个景点的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到对应，在轴上方画出； （2）若以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，计算点转过的路径长（结果保留）． 19. 河南足球近年蓬勃发展，各种赛事成绩也愈发闪耀．图1是某次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点C，若，，求的半径长． 20. [新情境]2025年12月2日是第14个“122全国交通安全日”，文明交通，携手共创．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一汽车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为0.2米．（，，，四点在平行于斑马线的同一直线上） （1）该汽车高约多少米？ （2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该汽车停车是否符合上述安全标准？（参考数据：） 21. 如图1所示，在面积为6的四边形中，对角线．设，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出y与x的函数图象； （3）若函数图象上最上方的格点为A，最下方的格点为B，直接写出点O到线段的距离． 22. 已知抛物线经过点和点； （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线往下平移个单位长度得到新抛物线，且当时，的最大值为，求的值． （3）若当时，抛物线的最小值为，求的值．（直接写出结果） 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，则与数量关系为____________． （2）迁移探究 如图2，在中，，，点，分别在边，上，且，在证明“”的过程中，亮亮给出了如下的思路： 过点作交延长线于点，然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）； ②求证：． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $