5.1.2导数的几何意义（教学课件）高二数学沪教版选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义 第五章 导数及其应用 5.1.2导数的几何意义 学 习 目 标 1 2 3 了解以直代曲的数学思想. 体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点处的切线的过程. 会求曲线在某点处的切线方程. 1 复习回顾 平均变化率和瞬时变化率 1. f(x)在[x0，x0+h]区间上的平均变化率： 2. f(x)在x=x0处的瞬时变化率/导数： 取 极 限 2 研究物体变速运动时，我们把时间分成若干个小时间段，计算每个小时间段中物体的平均速度. 特别地，在一个时间点周边的时间段越来越小时，如果平均速度趋近于一个稳定值，这个稳定值就是物体运动在这个时间点的瞬时速度. 新知探究 在[t0，t0+h]内的平均速度 在t=t0时的瞬时速度 2 几何学中有类似的情境：为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段，把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这个小片段的近似，当曲线的划分越来越细时，用这些小线段连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线. 新知探究 刘辉“割圆术”： 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣. 多边形 逼近 圆 以曲代直 2 我们把连接曲线上任意两点的直线称为这条曲线的一条割线． 如图，给定曲线上的一点P，以点P为端点的一条小曲线 和割线PQ. 当曲线段 取得越来越短，即让点Q越来越靠近点P时，如果割线PQ 趋近于一条确定的直线，我们就将这条直线称为曲线在点P处的切线． 新知探究 割线 切线 3 举例分析 切线这个术语并不陌生，我们在平面几何的学习中定义过圆的切线，并讨论过它的性质．那里定义的圆的切线是否与这个新定义一致呢？ 例1 曲线 是圆 在x轴及其上方的部分，点P(1,1)和Q 是该曲线上的点． (1) 求割线PQ的斜率； 解：(1)割线PQ的斜率是 kPQ= 3 举例分析 例1 曲线 是圆 在x轴及其上方的部分，点P(1,1)和Q 是该曲线上的点． (2)对正整数n，令 均在 该圆周上，且随着n的增大越来越接近点P. 借助信息技术 工具，适当地计算一些割线PQn的斜率，观察并总结当n 逐渐增大时，割线PQn的斜率的变化趋势. 解：(2)割线PQ的斜率是 3 举例分析 解：借助计算器或计算机可以得到表中关于 的近似计算结果（精确到0.000000001）： 观察表可知，当n逐渐增大时，割线的斜率 逐渐减小，并趋近于-1. 3 举例分析 由例3可以看出，根据现在的定义， 曲线在点 P(1,1) 处的切线的斜率是﹣1， 容易求得它的点斜式方程是 y−1=−(x−1)，即 x+y−2=0. 另一方面， 因为平面几何所定义的圆的切线垂直于过切点的半径， 即向量 =(1,1) 是切线的法向量， 用直线的点法式方程可求出切线的方程也是 x+y−2=0. 这就说明，对于圆来说，两个切线的定义一致. 思考1：圆的切线的定义与刚才切线定义是否一致？ 3 举例分析 思考2：对于任意曲线 y=f(x)，如何从定义出发求它在点 P(x0, f(x0)) 处的切线？ 例3给我们的启示是先求切线的斜率，且进一步揭示了斜率的求法. 记 ，则 其中 x0=1， . 当 n 增大时，h 趋近于0， 的稳定值就是 对于一般情况，如图，在曲线上点P 的附近取一点 Q(x0+h, f(x0+h))， 割线PQ的斜率 就是为函数 y=f(x) 在区间上[x0, x0+h] 的平均变化率. 当点Q沿曲线趋近于点P 时，割线PQ的斜率趋近于某一稳定值，这个稳定值 4 新知讲授 就是函数 y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率 f '(x0). 因此，函数 y=f(x) 在x=x0处的导数 f '(x0)就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处切线的斜率. 从而，曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线方程为 4 新知讲授 5 举例应用 已知 f(x)=x2，求曲线 y=f(x) 在点 P(1,1) 处的切线方程. 解：先求曲线 y=f(x) 在点 P(1,1) 处切线的斜率 f' (1)： 当 h≠0 时， 当 h 趋近于0时， 因此，曲线 y=x2 在点 P(1,1) 处切线的斜率为2. 于是，所求切线方程为 y−1=2(x−1)， 即 y=2x−1. 例4 5 举例应用 已知 f(x)=x3，求曲线 y=f(x) 在点 P(0,0) 处的切线方程. 解：先求曲线 y=f(x) 在点 P(0,0) 处切线的斜率 f' (0)： 当 h≠0 时， 当 h 趋近于0时， 因此，曲线 y=x3 在点 P(0,0) 处切线的斜率为0. 于是，所求切线方程为 y=0. 例5 已知 f(x)=x3，求曲线 y=f(x) 在点 P(0,0) 处的切线方程. 例5 在例5中，函数y=x3在x=0处的导数为0， 即曲线y=x3在点P(0,0)处的切线斜率为0， 此时曲线的切线是一条水平直线. 通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点，曲线在其驻点处的切线是一条水平直线. 例如，x=0是函数y=x3的驻点. 驻点：x = 0 4 新知讲授 y=x3 5 举例应用 尝试寻找例3和例4中函数的驻点. f(x) = x2 驻点：x = 0 驻点：x = 0 6 巩固练习 已知f(x) = 3x2，分别求曲线 y=f(x) 在点P(−1,3)和点Q(1,3)处的切线方程. 1 解：先求曲线 y=f(x) 在点P(−1,3)处切线的斜率 f ' (−1)： 当 h≠0 时， 当 h 趋近于0时， 因此，曲线 y=x3 在点 P(−1,3) 处切线的斜率为﹣6. 于是，所求切线方程为 y−3=﹣6(x+1)， 即 y=﹣6x−3. 6 巩固练习 已知f(x) = 3x2，分别求曲线 y=f(x) 在点P(−1,3)和点Q(1,3)处的切线方程. 1 解：同理先求曲线 y=f(x) 在点 Q(1,3) 处切线的斜率 f ' (1)： 当 h≠0 时， 当 h 趋近于0时， 因此，曲线 y=x3 在点 Q(1,3) 处切线的斜率为6. 于是，所求切线方程为 y−3=6(x﹣1)， 即 y=6x−3. 6 巩固练习 借助函数图像，判断下列导数的正负（可利用信息技术工具）. (1) ，其中 ； (2) ，其中 2 课堂小结 导数的几何意义 1. f(x)在x=x0处切线的斜率： 2. f(x)在x=x0处切线的方程： 3. 函数的驻点：导数为零的点. 研究方法 无限逼近的极限思想. 补充强化练 7 1．已知函数 y=f(x) 的图象如图， 为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． B 补充强化练 7 2．设 y=f(x) 为可导函数，且满足 ，则曲线y=f(x) 在点 处的切线的斜率是（    ） A．﹣9 B．﹣9 C．3 D．9 A 3．函数 f(x)的导数为 f ' (x)，曲线y=f(x) 在点 处的切线与直线 垂直，则 f ' (2)=______. 感谢聆听!