5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数的概念及其意义，从物理学瞬时速度和几何学切线斜率的实际问题导入，通过“平均变化率逼近瞬时变化率”的思想，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接已有知识与导数概念。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合原油温度、汽车加速度等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过定义辨析和分步推导发展数学思维。课堂小结结构化呈现知识要点，学生能提升数学抽象与运算素养，教师可借助丰富案例高效开展教学。

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第一课时） 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养. 新知导入 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 前面我们研究了两类变化率问题： 无限逼近 无限逼近 新知探究 问题1 你能运用上述思想方法研究函数y=f (x)的“变化率”吗？ 追问1 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？ 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量Δx，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 计算自变量x从x0变化到 x0+Δx 这个过程中函数值的平均变化率. 新知探究 追问2 函数 y＝f (x) 的自变量 x 从 x0 变化到 x0+Δx 这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？ 自变量 x ： 函数值 y ： 函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 定义新知 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. 新知探究 思考 如何理解∆x、∆y？ 1． ∆x，∆y是一个整体符号，不是∆与x，y 相乘. 2．x1 ， x2是定义域内不同的两点，因此∆x≠0，但∆x可正、可负； 3.∆y是函数值的改变量，可正、可负，也可为0，因此平均变化率可正、可负，也可为零 4. 函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x)没有变化. 新知探究 追问3 对于函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？ 无限趋近于 无限趋近于 无限趋近于 定义新知 瞬时变化率 函数 f (x)在x=x0在处的瞬时变化率是函数 f (x)从x0到x0+∆x的平均变化率在∆x ⟶ 0时的极限，即 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 定义新知 导数的概念 说明： 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f ′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 . 新知探究 问题2 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 由导数的定义可知 问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f ′(1)，即 新知探究 问题3 根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？ 一差、二比、三极限 典例分析 例1 设 ，求 解： 典例分析 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需 要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度(单 位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是 f ′(2)和 f ′(6). 典例分析 表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降. 导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. 表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升. 导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势. 思考 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 课后练习 课本练习 1. 在例2中，计算第3 h与第5 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解： 在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第5 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率上升. 课本P66 典例分析 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位: m/s)为 y＝v(t)＝-t 2＋6t＋17，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 思考1 速度与瞬时加速度的关系是什么？ 瞬时加速度就是速度的瞬时变化率. 解： 在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 典例分析 思考2 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况. 表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s. 导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势. 表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势. 瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率. 课后练习 课本练习 课本P66 3. 一质点A沿直线运动，位移y(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s. 课后练习 课本练习 课本P66 4. 设函数f(x)=x2-1. 求: (1) 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； (2) 函数在x=1处的导数. 导数的概念 题型一 题型探究 【例1】 已知二次函数 ，求： (1)函数从到 的平均变化率； [解析] 由题意得，函数在 上的平均变化率为 ， 取， ， 则函数从到的平均变化率为 . 导数的概念 题型一 题型探究 【例1】 已知二次函数 ，求： (2)函数在 处的瞬时变化率； [解析] 由（1）知，函数在 处的瞬时变化率为 . (3)当为何值时，函数在处的瞬时变化率等于从到 的平均变化率. [解析] 结合可知， 函数在处的瞬时变化率等于从到 的平均变化率. 导数的概念 题型一 题型探究 提分笔记 求瞬时变化率的主要步骤 （1）计算函数值的改变量 ； （2）计算自变量的改变量 ； （3）求平均变化率 ； （4）求瞬时变化率 . 导数定义的应用 题型二 题型探究 【例2】(1)函数在 处的导数为___. [解析] ， 所以 ， 当 时，， 故函数在处的导数为 . 导数定义的应用 题型二 题型探究 【例2】(2)设函数在 上可导，则 ________. [解析] ， . 导数定义的应用 题型二 题型探究 解题感悟 利用导数的定义求函数在 处的导数的步骤 （1）求函数的增量 ； （2）求平均变化率 ； （3）求极限，即为函数在 处的导数. 导数在实际问题中的意义 题型三 题型探究 【例3】一根水管中流出的水量(单位：)关于时间(单位： )的函数为 .计算在第和第 时，水管流量的瞬时变化率，并说明它们 的实际意义. [解析] 在第和第时，水管流量的瞬时变化率就是和 . ， 所以 . 同理可得 . 在第与第时，水管流量的瞬时变化率分别为与 . 这说明在第附近，水流大约以的速度流出，在第 附近， 水流大约以 的速度流出. 课堂达标 1.质点运动的速度（单位：）是时间（单位： ）的函数，且，则 表示( ) B A. 时的速度 B. 时的加速度 C. 时的位移 D. 时的平均速度 2.设，若，则 ( ) A [解析] 因为，所以 . 故选A. 课堂达标 3.已知函数，则 的值为___. 3 [解析] . 课堂达标 4. 对于函数，若 ，则 ___. 4 [解析] . 又 ， ， . 课堂小结 2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 1.导数的定义： 感谢聆听! $