精品解析：山东省烟台市招远市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向左 C. 向下 D. 向右 2. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（ ） A B. C. D. 0 6. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴于点，交于点，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 13. 在直径为10m的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m． 14. 小明将一张矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接、，若，则的值为______． 15. 如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 16. 如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为______． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知：点和直线 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 19. 某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题： （1）该校共有______名学生； （2）图②中“不合格”所对应扇形的圆心角的度数为______；并将图①补充完整； （3）已知该市共有12000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀． （4）该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率． 20. 如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，小明的爸爸正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛在笔记本“底座边缘”正上方（眼睛、身体在一条线上，与屏幕中心在一个平面内），视线与电脑屏幕垂直，垂足为屏幕中心，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕与笔记本电脑底座（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即，笔记本开合角度，求笔记本电脑屏幕中心到小明爸爸眼睛的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 22. 如图，斜坡长8米，按图中的直角坐标系可用表示，点，分别在轴和轴上，在坡上的处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到处，抛物线可用表示． （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）请直接写出水柱离坡面的最大高度； （3）在斜坡上距离点2米点处有一棵2.5米高的树，水柱能不能越过这棵树？请说明理由． 23. 带着对山区儿童的深切关爱，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给边远山区留守儿童．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元／件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表： （元／件） 13 14 15 16 17 （件） 1000 900 800 700 600 （1）求与的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜3元，且线上的月销量固定为300件．试问：当线下售价为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 24. 图①和图②中，优弧所在半径为，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点． （1）点到弦的距离是______，当经过点时，弧的度数为______； （2）当与相切时，如图②，求折痕的长； （3）若线段与优弧只有一个公共点，设，请直接写出的取值范围． 25 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点、，连接，．设面积为，面积为，若点的坐标为，请直接写出的值； （3）如图2，若点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧，连接、，交于点，连接．若，求点的坐标； （4）如图3，在（3）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向左 C. 向下 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，开口方向由系数a的符号决定，通过简化表达式得到二次函数的标准形式，根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】解：， ， ， 抛物线开口向上， 故选：A． 2. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解． 【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意； B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意； C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意； D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，得，然后变形计算即可． 本题考查了锐角三角函数正弦的应用，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵米， ∴（米）， 故选：D． 4. 如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理以及三角形外角的性质． 根据是的外角可求解，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求解． 【详解】解：是的外角， ， ， ． 故选：． 5. 图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 6. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质，得， 故，结合，故，故对的圆心角为，利用弧长公式计算即可． 本题考查了切线的性质，四边形内角和，弧长公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接，根据切线的性质，得， 故， 又， 故， 故对的圆心角为， 根据题意，得的长是， 故选：B． 7. 如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴于点，交于点，若，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，设，则，，则，，，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握性质和比例是解题的关键． 【详解】解：过点C作轴于点E， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵点，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴与的面积比为， 故选：B． 8. 一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、三棱柱的三视图及体积公式，熟练掌握勾股定理和三棱柱的体积公式是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再利用三棱柱的体积公式求出液体的体积，从而求出液体的深度． 【详解】解：、 ， 液体的体积为： 当将该正方体平放时，液体的深度为， 故选：C． 9. 如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段的长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，得时，线段的长度是，此时，继而得到半径，根据垂径定理，解答即可． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得时，线段的长度是，此时， 又是中点， 故， 当时，连接， 则， ， 故， 根据题意，得运动一周的时间为4秒，路程为， 故点Q的运动速度为：， 此时，运动时间； 当Q运动到时，， 此时，运动时间， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点、．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，增减性，解答即可． 本题考查了抛物线的最值，增减性，待定系数法，抛物线与一元二次方程，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，根据图象，得当时，； 故①正确； 是方程的一个解； 故②正确； 根据题意，抛物线过，， 故， 解得， 故抛物线的解析式为， 故抛物线的对称轴是， 根据抛物线的开口向上， 故抛物线上的点，距离对称轴越大函数值越大， ，是抛物线上的两点， 且 故； 故③正确； 对于抛物线，时， 且 故时，取得最大值，且为； 又在中， 故时，取得最小值，且为 的取值范围是， 故④错误， 故选：A． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移和二次函数与x轴的交点问题，理解题意是解决本题的关键． 平移后抛物线的解析式为，根据与x轴只有一个交点，判别式等于零，求解的值即可． 【详解】解：由题意得，将抛物线向上平移个单位后，解析式为． ∵与轴只有一个交点， ∴方程只有两个相等的实数根， ∴ ， 解得． 故答案为：5． 13. 在直径为10m的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m． 【答案】1或7##7或1 【解析】 【分析】根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解． 【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G， ∵AB=6m， ∴AG=AB=3m， ∵油槽直径为10m， ∴OA=5m， ∴OG=4m，即弦AB的弦心距是4m， 同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m， ∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m； 当油面超过圆心O时，油上升了7m． 故答案为：1或7． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解． 14. 小明将一张矩形纸片沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接、，若，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识．设，，根据折叠的性质，矩形的性质以及勾股定理可求出，则，在中，根据勾股定理可求出，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径与轴围成的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，扇形的面积，熟练掌握性质和面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 正方形的边长为2，则对角线长为， 点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积， 根据正方形的性质，得到三个扇形的圆心角都是，半径分别为2，，2， 故图形的面积为： ， 故答案：． 16. 如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值，根据勾股定理，直角三角形的面积性质解答即可． 本题考查了切线的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据切线的性质，得， 故， 又的半径是1， 故， 故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值， 又直线， 故与y轴的交点为，与x轴的交点为， 故两个交点间的距离为， 根据题意，， 故， 故，负的舍去， 故的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据二次根式、零指数幂的运算法则、绝对值的性质及进行计算即可； （2）根据、、及进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：点和直线 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图． 【详解】解：先过点作直线的垂线，垂足为点，再在直线上截取，连接、， ∵要在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆， ∴圆与、相切时，面积最大，即该半圆的半径为边上的高，也是的角平分线， 则，接着作的角平分线交于点，然后以点为圆心，为半径在内部作半圆即可． 如图，和半圆为所作． 19. 某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全校学生答题成绩进行了统计，将成绩分为优秀、良好、一般、不合格四个等级，并绘制成如下不完整的统计图．请根据图①、②中所给的信息解答下列问题： （1）该校共有______名学生； （2）图②中“不合格”所对应扇形的圆心角的度数为______；并将图①补充完整； （3）已知该市共有12000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次活动中成绩优秀． （4）该校德育处从全校答题成绩为前四名的学生甲、乙、丙、丁中随机抽取2名参加全市现场禁毒知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出必有“丁”参加的概率． 【答案】（1）500 （2），图见解析 （3）3600名 （4） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用圆心角计算公式计算即可；利用频数之和等于样本容量×所占百分数，计算补图即可． （3）利用样本估计总体计算即可． （4）根据列表或画树状图法，解答即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得良好有200人，占比为， 故， 故答案为：500． 【小问2详解】 解：根据题意，得不合格的频数为， 故其所在扇形的圆心角为， 一般组的人数为：（人），补全统计图如图； ． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该市大约有3600名学生在这次活动中成绩优秀． 【小问4详解】 解：画树状图如图． 由图中可知，共有12种等可能的结果，其中必有丁参加的结果有6种， 所以． 20. 如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的判定定理证明即可； （2）利用平行线的性质，等边三角形的判定和性质，分割法计算面积解答即可． 本题考查了切线的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，分割法计算面积，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接， 是中点， ． 又， ，即， ． ， ， ． 即 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ． ， ， ∴， 又． ， 为等边三角形， ， ， 在中， 答：阴影部分的面积为． 21. 笔记本电脑的发展趋势是体积越来越小，重量越来越轻，功能越来越强，它在人们的办公和生活上有着巨大的贡献．如图1，小明的爸爸正在使用笔记本电脑办公，此时他的身体与地面垂直，眼睛在笔记本“底座边缘”正上方（眼睛、身体在一条线上，与屏幕中心在一个平面内），视线与电脑屏幕垂直，垂足为屏幕中心，其结构示意图如图2所示．已知笔记本电脑屏幕与笔记本电脑底座（笔记本电脑水平放于桌面上）长度相等，即，笔记本开合角度，求笔记本电脑屏幕中心到小明爸爸眼睛的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，过点作，垂足为点、，证得四边形是矩形，进而得到，根据线段中点的性质得到，在中，根据求出的长，在中，根据求出的长即可． 【详解】解：过点作，过点作，垂足为点、， ， 由题意得：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为的中点， ， 在中，， ， ， ， 又， ， 在中，， 因此，笔记本电脑屏幕中心到小明爸爸眼睛的距离为． 22. 如图，斜坡长8米，按图中的直角坐标系可用表示，点，分别在轴和轴上，在坡上的处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到处，抛物线可用表示． （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）请直接写出水柱离坡面的最大高度； （3）在斜坡上距离点2米的点处有一棵2.5米高的树，水柱能不能越过这棵树？请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）水柱能越过这棵树，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握利用待定系数法求解析式、二次函数的图像性质、锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据与轴和轴的交点，求出点A、B的坐标，再待定系数法求解抛物线的表达式即可； （2）根据题意可得水柱离坡面的距离为，整理成顶点式，据此解答即可； （3）过点C作于点D，在中，由于，则，进而得到、，则，将代入抛物线得到，据此解答即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 将代入得 解得， 则点、， 将点、代入得 解得， 因此，抛物线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：水柱离坡面的距离为 ， 因此，水柱离坡面的最大高度为4； 【小问3详解】 解：如图，过点C作于点D， 根据题意得，， 由（1）知点、， 则，， 在中，， 则， 在中，，， 则， 当时，， 因此，水柱能越过树． 23. 带着对山区儿童的深切关爱，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给边远山区留守儿童．已知该商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元／件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表： （元／件） 13 14 15 16 17 （件） 1000 900 800 700 600 （1）求与的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜3元，且线上的月销量固定为300件．试问：当线下售价为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【答案】（1） （2）当为18元／件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为5500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质是解题的关键． （1）设，用待定系数法求解即可； （2）设线上和线下月利润总和为元，表示出关于的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：与满足一次函数的关系， ∴设一次函数解析式为， 将，；，代入得：， 解得， ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设线上和线下月利润总和为元， 由题意得： ， ，，当时， ∴当为18元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为5500元． 24. 图①和图②中，优弧所在的半径为，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点． （1）点到弦的距离是______，当经过点时，弧的度数为______； （2）当与相切时，如图②，求折痕的长； （3）若线段与优弧只有一个公共点，设，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2； （2） （3）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）过点O作于点H，连接，利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出的度数. （2）过点O作于点D， 根据折叠的性质，得，由切线性质，得，故，故，故，由垂径定理，得． （3）根据点位置的不同，分点在内和外两种情况进行讨论解答即可. 本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，切线的性质，折叠的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点O作于点H，连接， 由优弧所在的半径为，， 得，， 故， 故答案为：2； 当经过点时，根据题意，得， ∴ ， 根据折叠性质，得， ∴弧的度数为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点O作于点H，连接， 由优弧所在的半径为，， 得，， 故， ∴ ， ∴ ， 过点O作于点D， 根据折叠的性质，得， 由切线性质，得， 故， 故， 故， 故， 由垂径定理，得． 【小问3详解】 解：点P、点A不重合，.由(1)得，当增大到时，点在优弧上. 故当时，点在内，线段与优弧只有一个公共点. 由(2)，当增大到时，与相切，即线段与优弧只有一个公共点B．当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P、点B不重合， 故． 根据题意，得. 故当时，线段与优弧只有一个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 25. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点、，连接，．设面积为，面积为，若点的坐标为，请直接写出的值； （3）如图2，若点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧，连接、，交于点，连接．若，求点的坐标； （4）如图3，在（3）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）的值为 （3）点坐标为 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据，计算面积后求的值即可； （3）过点P作轴，交于点D，过点A作轴，交于点H，则，得到，，确定直线的解析式为：，当时，，得到，设，则，， 根据，建立等式解答即可． （4）在y轴上取一点Q，使得，连接，确定点的坐标为，继而得到如下结论，证明，得到，根据,得当三点共线时，取得最小值，且最小值为，勾股定理解答即可． 此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点． 把，代入抛物线解析式，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，得， 故， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 由，得，整理，得， 解得， 故， 故 ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 由，得，整理，得， 解得， 故， 故 ， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴，交于点D，过点A作轴，交于点H，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设， ∵直线的解析式为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∵点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：在y轴上取一点Q，使得，连接， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $