精品解析：2026年浙江杭州市拱墅区初中学业水平模拟考试(一模)数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义。 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数. 【详解】解：∵的符号为正，改变符号后得到 ∴的相反数是 2. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质得出，由邻补角的定义即可求出． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴． 3. 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，若的三边长，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 5. 一枚均匀的骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6．抛掷一次，朝上的点数是6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中朝上点数为的结果只有种， ∴根据概率公式，所求概率为． 6. 如图，在中，弦，交于点E，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、若，则或，不能得到，故此选项不符合题意； B、若，则，即，不能得到，故此选项不符合题意； C、若，则或，不能得到，故此选项不符合题意； D、若，则，故此选项符合题意． 8. 某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中一球得5分（称“五分球”），在较近位置投中一球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小慧同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分．若设小慧同学投中了个五分球，则可列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据总投篮次数和未投中次数求出投中球的总次数，再得到投中三分球的个数，结合得分规则和“不低于70分”的条件列出不等式即可． 【详解】小慧共投篮20次，3次未投中， 投中球的总次数为 次， 投中五分球共个， 投中三分球的个数为 个， 根据得分规则，总得分五分球得分三分球得分，即总得分表示为， 最终得分不低于70分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式． 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 10. 已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 如图，某小区有一个半径为的圆形花坛，现将其均分成三部分分别种植月季，杜鹃，萱草，种植月季的面积是________．（取3） 【答案】36 【解析】 【分析】先算出半径为的圆面积，再求圆面积的即可． 【详解】解：半径为的圆面积为， 将其均分成三部分， ∴种植月季的面积为． 13. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：在二次函数中，，，则对称轴为直线． 14. 某小组7名同学1分钟跳绳次数为：175，180，185，185，190，220，240．这组数据的中位数是________． 【答案】185 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，数据个数为奇数时，位于最中间的数即为这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列如下：，，，，，，， 这组数据共个，个数为奇数，最中间的数是， 因此这组数据的中位数是． 15. 数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意直接求解即可． 【详解】解：∵，即， ． 16. 如图，矩形内接于，点，点分别是，上的点，连接，分别交，于点，．若，，，则的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】由推出 ，设，则 ，根据 建立方程，可得，最后用勾股定理求解直径即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ 设，则， 故 ，即， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 矩形内接于， 矩形的对角线即为的直径， ， 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组）： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ，得 ， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时， ， ∴原方程的解为. 19. 如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明为等边三角形，得出，再结合直角三角形的性质即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵D是的中点， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. 一个箱子中共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求两次摸出的球都是白球的概率； （2）小慧向这个箱子中再放入m个红球，若此时从箱子中随机摸出一个球是红球的概率为，求m的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）把个白球分别记为白球和白球，画树状图，从图中可以看出摸两球一共可以出现种情况，其中两次都是白球的情况有种，从而可得两次都摸出白球的概率； （2）根据摸出一个红球的概率是可以列出关于的分式方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：把个白球分别记为白球和白球， 画树状图如下： 从树状图中可以看出摸两球一共可以出现种情况，其中两次都是白球的情况有种， 所以两次摸出的球都是白球的概率是； 【小问2详解】 解：小慧向箱中放入个红球后箱子中共有个球，其中白球有个， 摸出红球的概率为， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 的值是． 21. 如图是某小区电瓶车车库入口的示意图，斜坡的坡比（即），水平宽度米，入口处限高杆，米．延长交斜坡于点E． （1）求的长度； （2）按规定车库入口需标明限高数值，即点D到斜坡的垂直距离，求出该限高值． 【答案】（1）2.6米 （2）2.4米 【解析】 【分析】（1）根据求出米，再结合计算即可得出结果； （2）过点D作，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴（米）， ∵米， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，过点D作， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（米）， 即限高值为2.4米． 22. 【阅读理解】定义：我们把满足的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在中，，平分交于点D，过点D作．设，，，（其中m，n，p，q都为正整数）．易得，．由，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论： ． 【尝试探究】 （1）当，时，求． （2）设，，，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数：也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数，，，求m，n的值． 【答案】（1） （2）a，b，c是一组勾股数，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题干所给的关于直角三角形三边关系的漂亮结论计算即可得出结果； （2）利用勾股数的定义判断即可； （3）由题意可得，，，从而得出，，再结合m，n为正整数，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵当，时，，，， ∴； 【小问2详解】 解：a，b，c是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， 即a，b，c是一组勾股数． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴由题意可得：，，， ∴，， ∵m，n为正整数， ∴，． 23. 设二次函数，（b，c是常数）．已知函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）设二次函数的最小值为，二次函数的最小值为s，求证：； （3）若函数的图象过点，函数的图象过点，且满足，探索n与q之间满足的等量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可得出结果； （2）分别求出的顶点坐标，的顶点坐标，从而可得，，由此即可得证； （3）由题意可得，，再结合，得出，将代入，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入，可得：， 解得：； 【小问2详解】 证明：由（1）可得， ∴ ， ∴的顶点坐标， ∵ ， ∴的顶点坐标， ∵二次函数的最小值为，二次函数的最小值为s， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：将点代入可得，， 将点代入可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，求证：． 【答案】（1）30° （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，确定，再由角平分线及等量代换即可得出结果； （2）根据圆周角定理得出，然后结合图形即可等量代换确定，利用等角对等边即可证明； （3）延长至点F，使得，连接，得出，利用等量代换得出，再由圆周角定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【小问2详解】 由题意，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图，延长至点F，使得，连接． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题纸上写考号、学校、姓名、班级。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义。 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 2026年清明假期期间，京杭大运河杭州景区接待游客约409000人次，数据409000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若的三边长，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一枚均匀的骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6．抛掷一次，朝上的点数是6的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，弦，交于点E，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中一球得5分（称“五分球”），在较近位置投中一球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小慧同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分．若设小慧同学投中了个五分球，则可列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 10. 已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 如图，某小区有一个半径为的圆形花坛，现将其均分成三部分分别种植月季，杜鹃，萱草，种植月季的面积是________．（取3） 13. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 14. 某小组7名同学1分钟跳绳次数为：175，180，185，185，190，220，240．这组数据的中位数是________． 15. 数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 16. 如图，矩形内接于，点，点分别是，上的点，连接，分别交，于点，．若，，，则的直径为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）化简：． 18. 解方程（组）： （1）． （2）． 19. 如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 一个箱子中共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求两次摸出的球都是白球的概率； （2）小慧向这个箱子中再放入m个红球，若此时从箱子中随机摸出一个球是红球的概率为，求m的值． 21. 如图是某小区电瓶车车库入口的示意图，斜坡的坡比（即），水平宽度米，入口处限高杆，米．延长交斜坡于点E． （1）求的长度； （2）按规定车库入口需标明限高数值，即点D到斜坡的垂直距离，求出该限高值． 22. 【阅读理解】定义：我们把满足的正整数a，b，c叫做一组勾股数．如3，4，5就是一组勾股数．小智同学利用图形探索勾股数的一般形式． 如图，在中，，平分交于点D，过点D作．设，，，（其中m，n，p，q都为正整数）．易得，．由，可得，即，化简后，获得了关于直角三角形三边关系的漂亮结论： ． 【尝试探究】 （1）当，时，求． （2）设，，，根据前面的定义判断a，b，c是否为一组勾股数，说明理由． 【变式提升】 （3）小智发现，变换m，n的值，能得到无数组勾股数：也可以根据勾股数还原m，n的值，构造相应的图形．若已知一组勾股数，，，求m，n的值． 23. 设二次函数，（b，c是常数）．已知函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）设二次函数的最小值为，二次函数的最小值为s，求证：； （3）若函数的图象过点，函数的图象过点，且满足，探索n与q之间满足的等量关系． 24. 如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E． （1）若，，求的度数； （2）求证：； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $