第一 章三角形的证明 02等腰三角形 寒假预习讲义 2025-2026学年北师大版八年级 数学下册

第一章三角形的证明02等腰三角形寒假预习讲义（北师大版） 01预习目标 1. 理解等腰三角形的定义与性质：掌握等腰三角形的定义，理解“等边对等角”“三线合一”等核心性质，并能通过逻辑推理证明这些性质。 2. 掌握等腰三角形的判定方法：学会通过“等角对等边”判定等腰三角形，理解判定定理与性质定理的互逆关系。 3. 理解等边三角形的特殊性：明确等边三角形是特殊的等腰三角形，掌握其性质（如三个内角均为60°）及判定方法。 4. 应用性质解决几何问题：能利用等腰三角形的性质进行角度计算、线段相等证明及几何作图，培养逻辑推理能力。 5. 体会数学思想方法：通过折叠、测量等直观操作与逻辑证明的结合，体会“数形结合”“转化”等数学思想。 02知识点梳理 知识点1等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：相等的两条边。 底边：第三条不相等的边。 顶角：两腰之间的夹角。 底角：底边与每一腰所形成的夹角，两个底角相等。 知识点2等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 性质定理2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。 应用：这一性质常用于简化几何证明，同时证明角平分线、中线和高线的重合性。 对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边中线、高线）所在的直线。 知识点3等腰三角形的判定 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 符号语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 定义判定：直接通过已知或测量得出两边相等来判定。 知识点4等边三角形 定义：三条边都相等的三角形。 性质： 三个内角都相等，且每个角都为60°。 具有等腰三角形的所有性质（如“三线合一”）。 是轴对称图形，有三条对称轴（每条边的垂直平分线）。 判定方法： 1. 三边相等。 2. 三个角相等。 3. 有一个角是60°的等腰三角形。 知识点5反证法初步 基本思想：假设命题的结论不成立，然后通过逻辑推理得出与已知条件、定义、公理或定理相矛盾的结果，从而证明原假设不成立，即原命题成立。 应用示例：证明“在一个三角形中，不能有两个角是直角”。 证明思路：假设三角形中有两个角是直角，则这两个角的和为180°，再加上第三个角，三角形的内角和将大于180°，这与“三角形内角和定理”相矛盾。因此，假设不成立，原命题得证。 03题型解读 题型解读1等边对等角 例1．如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 故选：D． 变式1．如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 变式2．如图，在中，，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和定理，熟练掌握其性质定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求得，由三角形内角和定理求得的度数，根据三角形外角和定理，求得的度数即可． 【详解】解：， 是的一个外角， ． 题型解读2三线合一 例2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 变式1．如图，在中，，是的中线，过点A作交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 【答案】/61度 【分析】本题考查垂直的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 由垂直的定义得到，根据三角形外角的性质得到，根据“三线合一”得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴． 故答案为： 变式2．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型解读3等边三角形的性质 例3 ．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．对于边长为2的等边，以点C为坐标原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，是等边的中线，在延长线上取点E，使得，过点C作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质； （1）根据等边三角形的性质可知，由三线合一可知，结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，是中线， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵， ， 是中线， ． ∴周长． 题型解读4根据等角对等边证明等腰三角形 例4．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到即可判断①；同理可证即可判断②；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断③；根据现有条件无法证明，即可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故①符合题意； 同理， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ ，故③符合题意； 若，则，根据条件无法证明这一点， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 变式1．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识，掌握平行四边形的性质是关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的判定得到，，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 变式2．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 题型解读5根据等角对等边证明边相等 例5．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边得出，结合已知则可求出，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴的周长是， 故选：A． 变式1．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 变式2．如图，是的外角的平分线，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可． 【详解】证明：， ，， ∵是的平分线， ， ， ． 题型解读6根据等角对等边求边长 例6．已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边； 由，根据等角对等边得，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． 故与相等的线段是； 选项A中不一定等于； 选项C中； 选项D中的值不确定，不一定等于； 故选：B． 变式1．如图，已知交于E，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2)周长是6.5 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质，以及角平分线的定义，可得，则是等腰三角形，即可求的周长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）平分， ． ， ，． ． ． 的周长． 题型解读7等腰三角形的性质和判定 例7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键． 由题意可知，结合可得，进而得到，则即可判断B正确，而ACD无法判断． 【详解】的平分线交于点，交的延长线于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ，故B正确；而ACD无法判断． 故选：B． 变式1．如图，在四边形中，，，平分，平分交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是通过作垂线，将长转化为长进行求解．过点作交于点，通过平行线的性质，结合角平分线的性质，进行等量代换，证明，得到，证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理求得长，最后根据即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ，，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及等边三角形的判定是关键．根据等腰三角形的性质，求得，所以，可进一步求得，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等边三角形； 题型解读8格点图中画等腰三角形 例8．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 变式1．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 变式2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 题型解读9找出图中的等腰三角形 例9．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 变式1．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 变式2.．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 题型解读10直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例10．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据题意三种情况：，，，作图解答即可． 【详解】解：由题意可分三种情况：，，， 作图可得： 由图可得点一共有个， 故选：A． 变式1．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 变式2．如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 【答案】见解析 【分析】本题考查作等腰三角形，根据“两圆一线”作图即可，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线的交点以及作的垂直平分线与的交点即为点A，使以为一边的是等腰三角形． 【详解】解：所有满足条件的点A如图所示： 题型解读11求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例11．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 变式1．已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 变式2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3)见解析 (4) 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图1：即为所求，    （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图2：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求；    ∴， 此时值最小； （4）如图：以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 题型解读12反证法证明中的假设 例12．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 【答案】D 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 变式1．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 变式2．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法证明的方法，同学们应学会证明的思路，从结论的反面出发，通过推理论证得出与已知或定理的矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确，这是运用反证法证明必须遵循的步骤． 首先假设所有相邻的三个数，它们的和都小于，则它们的和小于等于，由个数的和的最值比较，得出矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确． 【详解】证明：假设所有相邻的3个数，它们的和都小于33，即它们的和小于等于32， 将所有21组相邻的3个数相加，总和不大于。由于每个数在求和过程中均被计算3次，故这21个数的和不大于． 所以假设不成立，则命题得证． 题型解读13用反证法证明命题 例13．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 变式1．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 变式2．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 题型解读14等边三角形的判定 例14．下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法，逐一分析每个描述是否满足等边三角形的条件． 【详解】解：∵①有两个角等于， ∴第三个角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于的等腰三角形， ∴若顶角为，则底角为； 若底角为，则另一个底角为，顶角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等， 设每个外角为，则每个内角为， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，边上的高也是中线，则）， 同理，从其他边可得、， ∴三边相等，为等边三角形， ∴①②③④都是等边三角形． 故选：D． 变式1．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 变式2．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 题型解读15等边三角形的判定和性质 例15 ．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 变式1．如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，从正面看的样子如图所示，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．观察图片可以看出构成等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：、、是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，为等边的高， ， 且， 在中，由勾股定理得：， 遮雨棚起码高为：， 故答案为：． 变式2.．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 题型解读16含30度角的直角三角形 例16．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 变式1.．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先求出，再由直角三角形的性质求出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 变式2．如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的判定与性质，30度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解点D到边与边的距离相等，即作出的平分线，交于一点，即为点，即可作答． （2）先求出，结合角平分线的定义，得出，根据等角对等边，得，运用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：∵，． ∴， 由（1）的作图痕迹，得出是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴． 04巩固提升 一、单选题 1．如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 2．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 3．将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义、等边三角形的性质等知识点，掌握三角形外角的定义是解题的关键． 如图：由等边三角形的性质可得，根据三角形外角的定义可知，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵等边， ∴， ∵， ∴，即的度数可能是． 故选D． 4．在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理及特殊三角形的判定．利用内角和为及比例关系、等腰三角形和等边三角形的判定逐一分析各选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； C、，，则是等边三角形；结论正确，不符合题意； D、，则，故是等腰三角形，无法得到是等边三角形，结论错误，符合题意； 故选D． 5．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是9，，则周长为（   ） A．9 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边， 根据角平分线定义和平行线的性质得，再根据“等角对等边”得，然后根据周长得出答案． 【详解】解：∵的平分线交于点E， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵周长． ∵， ∴的周长为． 故选：B． 6．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在中，，是边上的高，，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用等腰三角形的边相等关系，结合勾股定理建立方程求解． 设，利用表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ． 又是边上的高， 是直角三角形． 根据勾股定理：，代入已知条件，得： 解得： ． 故选：D． 8．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 9．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理． 由角度比确定为等腰直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 12．已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 13．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于等于 C．有一个内角大于等于 D．每一个内角都小于 【答案】B 【分析】此题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于． 故选：． 14．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查平方的性质，等边三角形的判定，熟记平方的性质是解题的关键． 由平方和为零可得，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， 即且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A 15．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A．11 B．13 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可． 【详解】解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 故选：B． 16．如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质由题意可知米，，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可得米，这棵树在折断前的高度为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知米，，， 米， 这棵树折断前的高度为米． 故选：D． 二、填空题 17．如图，已知的外角，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，然后分三种情况讨论：；；，根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 18．如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一及直角三角形两锐角互余．先通过已知条件利用等腰三角形三线合一定理得出，平分，再由已知条件求出的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质得出结果． 【详解】解：∵为等腰三角形，为的中线， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质，可得垂直于，且．分类讨论为等腰三角形的三种情况：、、，其中不可能，故只考虑前两种情况，分别计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， 当时， 则， ∴； 当时， 计算得， ∴； 当时，点不在边上，舍去； 综上，或． 故答案为：或． 20．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 21．如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 22．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 23．如图，四边形中，，且，满足关系，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是正确运用勾股定理建立方程求解． 由题意可得为等腰直角三角形，设，则，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：1． 24．如图，每个单位正方形的顶点称为格点，以其中任意3个格点为顶点，构成等腰直角三角形的个数为 ．    【答案】50 【分析】此题考查了等腰直角三角形的定义，勾股定理，二次根式的运算等知识， 根据题意分4种情况讨论，然后根据等腰直角三角形的定义求解即可． 【详解】解：（1）当斜边长为时，直角边长为1时，这样的等腰直角三角形共有（个）， （2）当斜边长为2时，直角边长为时，这样的等腰直角三角形共有（个）． （3）当斜边长为时，直角边长为2时，这样的等腰直角三角形共有（个）， （4）当斜边长为时，直角边长为时，这样的等腰直角三角形共有4（个）， 综上所述，满足要求的等腰直角三角形共有（个）． 故答案为：50． 25．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 26．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 27．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有 个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 28．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设 ． 【答案】三角形三个内角都小于 【分析】本题考查反证法．写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：用反证法证明：“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时， 应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都小于． 故答案为：三角形三个内角都小于． 29．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 30．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理． 利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： ∵为等腰三角形，， ， ∴为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 31．如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定，解题的关键是利用平移性质得到相等线段，结合角度条件分析三角形形状并计算． 求出，结合证明为等边三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ， ，， 是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 32．已知为等腰三角形，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 33．如图，中，，于点E，于点D，，与交于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等边对等角求出，，根据角的和差关系求出，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 34．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则或． 35．（1）如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接．求证：． （2）如图2，和都是等边三角形，，连接．求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理； （1）和都是等边三角形，可得，，即可证明； （2）证明得到，再通过勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵点B，C，D在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，如图所示： ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ， ， ． 36．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 37．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 38．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从、望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离． 【答案】从海岛到灯塔的距离为30海里 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．由题意可知，，，海里，由三角形外角的性质，得到，从而得到海里，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∴从海岛到灯塔的距离为30海里． 39．如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 【答案】 【分析】先在中用勾股定理求出的长度，再结合等腰三角形的性质，设为未知数，用该未知数表示，最后在中通过勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：， ． 在中，． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质，掌握结合等腰三角形的边的等量关系，设未知数并利用勾股定理列方程求解边长是解题的关键． 40．图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了轴对称图形，等腰三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）根据题意作图即可． （3）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． ． （3）解：如图，四边形即为所求． 图①和②中， 图③中，． 41．如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 42．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 43．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)3秒、秒、6秒、秒 (3)2或6秒 【分析】（1）本题考查勾股定理，根据运动得到结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查动点围成等腰三角形问题，分类讨论等腰三角形的腰，结合勾股定理及动点路程问题根据腰相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查勾股定理及动点三角形周长问题，根据题意得到动点位置结合运动表示出线段的长度根据周长相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：如图1，由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ； （2）解：①如图2，若在边上时，，此时用的时间为为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： ⅰ）如图3，若使， 此时，运动的路程为， ∴用的时间为，为等腰三角形； ⅱ）如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为，作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ）如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为时，为等腰三角形； （3）解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 44．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 45．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 【答案】见解析 【分析】假设不大于，即或，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质分别证明假设不成立，由此得出原命题成立． 本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 证明：假设不大于，即或． 当时，，这与已知条件相矛盾； 当时，如图，在边上截取， 则， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 即， 这与已知条件相矛盾； 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ∴， 即在三角形中，大角对大边． 46．如图在中，，为线段的中点，，，平分，交于点，交于点． (1)证明：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定； （1）根据已知可得，根据角平分线的定义可得 ，根据等角对等边可得，进而根据三线合一的性质，即可得证； （2）根据已知得出，，进而可得 ，即可得出是等边三角形． 【详解】（1）， ， ， 平分 ， ， ， 是的中点， ， （2）是等边三角形， 理由如下：，， ， 又， ， ， ， ， 是等边三角形． 47．如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由推得，根据边角边推得三角形全等； （2）由推得，从而得到，结合推得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形． 48．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章三角形的证明02等腰三角形寒假预习讲义（北师大版） 01预习目标 1. 理解等腰三角形的定义与性质：掌握等腰三角形的定义，理解“等边对等角”“三线合一”等核心性质，并能通过逻辑推理证明这些性质。 2. 掌握等腰三角形的判定方法：学会通过“等角对等边”判定等腰三角形，理解判定定理与性质定理的互逆关系。 3. 理解等边三角形的特殊性：明确等边三角形是特殊的等腰三角形，掌握其性质（如三个内角均为60°）及判定方法。 4. 应用性质解决几何问题：能利用等腰三角形的性质进行角度计算、线段相等证明及几何作图，培养逻辑推理能力。 5. 体会数学思想方法：通过折叠、测量等直观操作与逻辑证明的结合，体会“数形结合”“转化”等数学思想。 02知识点梳理 知识点1等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：相等的两条边。 底边：第三条不相等的边。 顶角：两腰之间的夹角。 底角：底边与每一腰所形成的夹角，两个底角相等。 知识点2等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 性质定理2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。 应用：这一性质常用于简化几何证明，同时证明角平分线、中线和高线的重合性。 对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线（或底边中线、高线）所在的直线。 知识点3等腰三角形的判定 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 符号语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC。 定义判定：直接通过已知或测量得出两边相等来判定。 知识点4等边三角形 定义：三条边都相等的三角形。 性质： 三个内角都相等，且每个角都为60°。 具有等腰三角形的所有性质（如“三线合一”）。 是轴对称图形，有三条对称轴（每条边的垂直平分线）。 判定方法： 1. 三边相等。 2. 三个角相等。 3. 有一个角是60°的等腰三角形。 知识点5反证法初步 基本思想：假设命题的结论不成立，然后通过逻辑推理得出与已知条件、定义、公理或定理相矛盾的结果，从而证明原假设不成立，即原命题成立。 应用示例：证明“在一个三角形中，不能有两个角是直角”。 证明思路：假设三角形中有两个角是直角，则这两个角的和为180°，再加上第三个角，三角形的内角和将大于180°，这与“三角形内角和定理”相矛盾。因此，假设不成立，原命题得证。 03题型解读 题型解读1等边对等角 例1．如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2所示的图形．若是等腰三角形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 变式2．如图，在中，，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F，，求的度数． 题型解读2三线合一 例2．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，是的中线，过点A作交的延长线于点D，若，则的度数为 ． 变式2．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 题型解读3等边三角形的性质 例3 ．如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式1．对于边长为2的等边，以点C为坐标原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标为 变式2．如图，是等边的中线，在延长线上取点E，使得，过点C作，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 例4．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 变式2．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 题型解读5根据等角对等边证明边相等 例5．如图，在中，点在边上，连接，且，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 变式1．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 变式2．如图，是的外角的平分线，；求证：． 题型解读6根据等角对等边求边长 例6．已知中，，则下列线段长度与相等的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知交于E，且，则 ． 变式2．如图，为的外角． (1)求作射线，使其平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若所作射线与平行，且，，求的周长． 题型解读7等腰三角形的性质和判定 例7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 变式1．如图，在四边形中，，，平分，平分交于点．若，，则的长为 ． 变式2．如图，在中， 点D在边上， 过点D作， 垂足为E， 的延长线交 的延长线于点F， 且， ，求证：是等边三角形． 题型解读8格点图中画等腰三角形 例8．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 变式2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 题型解读9找出图中的等腰三角形 例9．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 变式2.．如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 题型解读10直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例10．如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 变式2．如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 题型解读11求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 例11．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 变式1．已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 变式2．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 题型解读12反证法证明中的假设 例12．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（    ） A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角 C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角 变式1．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 变式2．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 题型解读13用反证法证明命题 例13．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 变式1．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 变式2．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 题型解读14等边三角形的判定 例14．下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 变式1．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    变式2．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 题型解读15等边三角形的判定和性质 例15 ．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 变式1．如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，从正面看的样子如图所示，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 cm． 变式2.．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型解读16含30度角的直角三角形 例16．如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式1.．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的面积是 ． 变式2．如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 04巩固提升 一、单选题 1．如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（   ） A． B． C． D．或 2．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则的度数可能是（   ） A． B． C． D． 4．在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 5．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是9，，则周长为（   ） A．9 B．15 C．21 D．24 6．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在中，，是边上的高，，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 8．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．在中，，则的长为（    ） A．4cm B．8cm C． D． 10．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 12．已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 13．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都大于等于 C．有一个内角大于等于 D．每一个内角都小于 14．若的三边长，，满足，则这个三角形一定是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 15．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A．11 B．13 C．12 D．10 16．如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 17．如图，已知的外角，若是等腰三角形，则的度数为 ． 18．如图，等腰中，为底边中线，若，则的度数为 ． 19．在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 20．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 21．如图，在中，角平分线和相交于点，，，，则的周长为 ． 22．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为 ． 23．如图，四边形中，，且，满足关系，若，则的长为 ． 24．如图，每个单位正方形的顶点称为格点，以其中任意3个格点为顶点，构成等腰直角三角形的个数为 ．    25．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    26．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 27．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有 个． 28．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设 ． 29．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 30．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 31．如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为 ． 32．已知为等腰三角形，，，若，则 ． 三、解答题 33．如图，中，，于点E，于点D，，与交于点F，连结． (1)求证：； (2)求的度数； 34．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 35．（1）如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，连接．求证：． （2）如图2，和都是等边三角形，，连接．求的长． 36．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 37．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 38．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从、望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离． 39．如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 40．图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； (2)在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； (3)在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 41．如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 42．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 43．如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 44．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 45．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 46．如图在中，，为线段的中点，，，平分，交于点，交于点． (1)证明：； (2)判断的形状，并说明理由． 47．如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 48．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 学科网（北京）股份有限公司 $