精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2025级 1月月考数学试卷 命题人：冯韵 审题人：冷劲松 考试时间：2026年1月15日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2 化简得（ ） A. B. C. D. 3. 在内，函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 6. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的角是一个锐角 B. 与的终边相同 C. 将时钟拨快分钟，则分钟转过角度是 D. 若是第一象限角，则为第一或第三象限角 10. 已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 三、填空题 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 13. 函数的值域是_____. 14. 已知函数存在直线与的图象有4个交点，则______，若存在实数，满足，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数，最小正周期是． （1）求函数在的单调递减区间； （2）解不等式 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的对称轴、对称中心； （2）已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 18. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2025级 1月月考数学试卷 命题人：冯韵 审题人：冷劲松 考试时间：2026年1月15日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：D． 2. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系化简可得结果. 【详解】因为 . 又因为2为第二象限角，所以，. 所以. 故选：C 3. 在内，函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数奇函数，故AC错误； 又因为当时，则，可知， 此时的符号性与的符号性一致，故D错误； 故选：B. 5. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 6. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令，其中，分析函数的单调性与奇偶性，将不等式变形为，结合函数的单调性判断可得出结论. 【详解】令，其中，该函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上增函数， 由可得，即， 则，即， 所以，“”“”， 所以，是的充要条件. 故选：A. 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的值域，利用换元法令 ，则，则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题，作函数图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合的图象，即可确定的零点个数. 【详解】已知，当时， ， 当时，， 作出其图象如图示： 可知值域为，设 ，则， 则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题， 而，作出函数的图象如图示： 可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间， 不妨设交点横坐标为， 当时，由图象和直线可知，二者有两个交点， 即此时有两个零点； 当时，由图象和直线可知，二者有3个交点， 即此时有3个零点， 故函数的零点个数是5， 故选：B. 【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题. 8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的角是一个锐角 B. 与的终边相同 C. 将时钟拨快分钟，则分钟转过的角度是 D. 若是第一象限角，则为第一或第三象限角 【答案】CD 【解析】 【分析】根据弧度和角度之间的换算关系判断A；根据终边相同的角的表示判断B；根据任意角的概念判断C；根据角的范围判断D项. 【详解】A项，，是钝角，A错误； B项，，与终边相同， ，是第三象限角，而是第一象限角，B错误； C项，时钟拨快分钟，则分钟转过角为负角，且是整个表盘的一半，则为，C正确； D项，是第一象限角，，， ，是第一或第三象限角，D正确． 故选：CD． 10. 已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，画函数的图象，根据图象判断结论，对于B，根据结合图象平移判断结论，对于C，结合周期的定义举反例判断即可，对于D，根据，结合余弦型函数周期公式求周期可判断. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 11. 设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 方程仅有10个不同实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数和为偶函数得，即是周期为8的周期函数即可判断AC，作出函数在和的函数图象，利用数形结合即可判断BD. 【详解】由为奇函数，可得，即（*）， 又为偶函数，则，即， 由（*），，即， 则，故， 所以是以8为一个周期的周期函数， 对于A，，故A正确； 对于C，， 又为奇函数，所以为奇函数，故C正确； 对于B，因方程的根的个数，即与的交点个数， 作出函数在和的函数图象： 由图可知在上单调递增，故B错误； 由图可知，与有10个交点，即方程仅有10个不同实数解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 13. 函数的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 故答案为： 14. 已知函数存在直线与的图象有4个交点，则______，若存在实数，满足，则的取值范围是______. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】画出分段函数的图象，利用数形结合的思想求m，再根据二次函数的性质及求出的范围. 【详解】作出的图象如下， 因为直线与的图象有4个交点，所以； 记， 则直线与的图象有5个交点，，如图所示： 由图可知，，由二次函数的对称关系可得，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：4；. 四、解答题 15. 已知函数，最小正周期是． （1）求函数在的单调递减区间； （2）解不等式 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先由周期确定,把看成一个整体结合三角函数性质求出递减区间即可； （2）等价于结合正弦函数的图像与性质求解不等式即可. 【小问1详解】 因为，最小正周期是，所以，即，所以， 所以函数的单调递减区间为解得， 当时；当时， 又因为，所以函数在的单调递减区间为和. 【小问2详解】 因为,所以,即,所以, 由正弦函数的图像可知,解得, 因此不等式的解集为 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由. 【小问3详解】 解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的对称轴、对称中心； （2）已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的性质、正弦型函数的最值性质、存在性和任意性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，故，即， 令. 令. 所以函数的对称轴为、对称中心为； 【小问2详解】 令，由得： ，，该函数的图象的对称轴， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 即函数，即， 当时，， 所以，即. 当时，，不合题意舍去， 当时，， 由题意得，即，解得， 当时，， 由题意得，即，解得， 综上可得：. 18. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质化简不等式，结合换元法、一元二次不等式的解法、对数函数的单调性进行求解即可； （2）根据指数的运算性质，结合定值的特征运用倒序相加进行求解即可； （3）根据所给的两个等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 已知，则， ， 所以不等式可化为， 令，则不等式变为， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以，不等式的解集为. 【小问2详解】 已知，则，， 所以为定值， 令， 则， 两式相加得，所以， 即的值为. 小问3详解】 已知满足，即， 已知满足，即， 令， 则原方程组可化为和， 而可化为， 设，因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 由，， 所以有， 因为函数是实数集上的增函数 所以，即，， 所以. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $