精品解析：山西省太原市娄烦县部分学校2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学业质量监测 数学试卷（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若点在反比例函数的图象上则的值是（ ） A. B. C. 1. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将A坐标代入反比例函数进行计算，可得答案． 【详解】将A（﹣2，3）代入反比例函数，得k＝﹣2×3＝﹣6，故选A． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是将点A代入反比例函数． 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 围棋起源于中国，中国古代称围棋为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是一个无盖的围棋罐，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是解答此题的关键． 根据简单几何体三视图的画法得到它的左视图即可． 【详解】解：其左视图为： 故选：A． 4. 小宁打算制作一个设计图如图所示花架，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键． 设，则，进而求得，再根据平行线分线段成比例定理得出即可得出答案． 【详解】解：，设，则， ，， ∵， ∴． 故选：D． 5. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误； B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误； C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确； D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根． 6. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，将稳定的频率转化为概率，并利用概率公式建立方程求解是解题的关键． 设布袋中黄球有个，利用频率估计概率，摸到黄球的概率稳定在，根据概率公式列方程解答即可． 【详解】解：设布袋中黄球有个， ∵ 摸到黄球的频率稳定在， ∴ 概率为， 解得， ∴ 布袋中黄球可能有个． 故选：C． 7. 根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坡比的概念，勾股定理及解一元一次方程，理解题意，设未知数，构建方程是解题的关键． 先求得，设，再由勾股定理得，解得，即可求解. 【详解】根据题意，， 扶梯的坡度， ，设， ， 解得， ． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设的中点分别为，连接，可证为的中位线，得到，，，再由勾股定理即可得到，同理可得即可求解． 【详解】解：设中点分别为，连接， 在矩形中，O是对角线的中点， 为的中位线，即， ，， 又， ， 又为中点，， ， ， 同理可得， ， ． 故选：A． 9. 2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为元/个，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是一元二次方程的应用，根据“利润(售价成本)销量”建立方程，再结合成本和利润的要求列出方程即可． 【详解】解：设此时售价为元， 根据题意，成本为元/件，原售价元时月销量件，售价每提高元月销量减少件， 售价从元提高到元，提高了元，销量减少量为件， ∴当前销量为：件， ∵利润(售价成本)销量， ∴可列方程：． 故选：B． 10. 已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将、代入公式，得到二次函数，再利用顶点公式求最大值． 【详解】解：将、代入公式，得， ∴顶点横坐标， ∵， ∴当时，h取最大值，最大值为， 即该小球达到的离地面的最大高度为， 故选：C． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的． 根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式_____． 【答案】y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）． 【解析】 【分析】因为开口向上，所以a＞0；根据对称轴为x＝3，可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式． 【详解】依题意取a＝1，顶点坐标（3，﹣3）， 由顶点式得y＝（x﹣3）2﹣3． 即y＝x2﹣6x+6． 故答案为：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式，顶点坐标是，对称轴是时，开口向上，时，开口向下． 13. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1．若与，是以某个点为位似中心的位似图形，则它们的相似比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似比的概念，根据题意，求出边长计算相似比即可． 【详解】解：根据题意，， ， ， 则它们的相似比为． 故答案为：． 14. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，E是边的中点，F是上的一点，连接，．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质；过点A作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证，再证，再证得，根据相似比求解即可． 【详解】解:过点A作交的延长线于点M，过点E作于点N． ∵，，， ∴， 则． ∵，E为边BC的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则． ∴，． ∴． 解得． ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）运用公式法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：． ， ， 即； 【小问2详解】 解：原方程可变形为． ，即． ，或． ． 17. 中国邮政于2025年11月18日发行《2026年贺年邮资明信片，贺年邮资信封系列》．小刚收集了如图所示的极限型邮资片邮资图，全套4枚，分别为逐梦马、欢腾马、谦善马、成功马．现将这4枚邮资图（除正面图案外其余完全相同）背面朝上放在桌面，小刚先随机抽取1枚，记下名称后放回，洗匀后小亮再随机抽取1枚． （1）小刚抽到的邮资图图案是“欢腾马”的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮两次抽取的邮资图图案不相同的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查简单随机抽样，用列表法或树状图法求概率； （1）根据简单随机抽样求概率即可； （2）用列表法表示出所有可能性，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：全套共有4枚，“欢腾马”是其中1枚 ，则小刚抽到的邮资图图案是“欢腾马”的概率为； 【小问2详解】 解：分别用A，B，C，D表示逐梦马、欢腾马、谦善马、成功马．所有可能的结果列表如下： 小亮 小刚 A B C D A B C D 由列表可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性相同， 小刚和小亮两次抽取的邮资图图案相同的结果有4种： ， ，，， 所以，小刚和小亮两次抽取的邮资图图案不相同的概率为． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求点A，B的坐标及反比例函数的表达式； （2）连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1），； （2）8． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）把分别代入，求出m，n，再代入，求出k，即可得到两个函数的表达式； （2）设与x轴的交点为C，根据求得点C的坐标，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：把分别代入， 得． ． ． 把代入，得． ． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：与x轴的交点为C，如图， 令，则， ∴， ∴． 19. 如图，在菱形中，点E在边上，的平分线，交边于点F，连接并延长，交的延长线于点G． （1）试猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1），见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，三角形相似的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质及角平分线的定义可证，继而可得，进而可得； （2）由题易得，得到，即，再求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是菱形， ． 平分， ． 又， ． ． ， ． ． ， ． ． ； 【小问2详解】 解：由（1），得． ． ． ． 四边形为菱形， ． ． 由（1），得． ． ． 20. 项目学习 项目背景： 汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主，兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程．某综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离 活动内容 利用三角函数有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图，在同一水平线上的两岸边分别取A，B两点． ①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C； ②在点C处测得点A的俯角为； ③在点C处测得，点B的俯角为．图中各点都在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … （1）请根据上述数据，计算汾河水库两岸A，B两点间的距离．（结果精确到1m；参考数据：，，，，，） （2）该小组的同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为还需要补充哪些内容？（写出一个即可） 【答案】（1）汾河水库两岸A，B两点间的距离约为2491m； （2）答案不唯一，如测量工具、人员分工、指导教师、活动感受等． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角问题，过点C作于点F，构建直角三角形,利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点F，则． 根据题意，得． 在中，， 在中，， ． 答：汾河水库两岸A，B两点间的距离约为2491m． 【小问2详解】 答案不唯一，如测量工具、人员分工、指导教师、活动感受等． 21. 阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； （2）参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； （3）类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 【答案】（1）4，4，图象见详解； （2）①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； （3）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【解析】 【分析】本题考查画函数图象，图象的平移，解题的关键是综合运用相关知识解题． （1）求出a，b，利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：观察表格数据发现，当时，；当时，； 所以，； 函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：函数的性质为：①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； 【小问3详解】 解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，出手点为，再用待定系数法即可求出解析式； （2）设新抛物线的表达式为，再把点代入得到新抛物线的表达式为，令，解方程即可； （3）根据题意设新抛物线为，把篮筐坐标代入即可得到新抛物线的表达式，令，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为， 又出手点距地面，即出手点坐标为， ，解得， 即抛物线表达式为， 所以顶点，抛物线表达式为； （2）由题意可知，设新抛物线的表达式为， 又过点， ，解得， 即新抛物线的表达式为， 令，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，水平距离的长为； （3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为 则可设运球后起跳投篮的新抛物线为， 篮筐在距点O水平距离，垂直高度处， 即新抛物线过， 代入得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 即新抛物线的表达式为， 令，， 整理得， 解得或（舍去）， 该球员向篮筐方向沿直线运球． 23. 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或1． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，得，再证明即可求解； （2）连接，先证，得到，再解三角形即可求解； （3）分、、三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得． 四边形是正方形， ． ． ． ． （2）解：． 理由如下：如图，连接， 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得． ． 又， ． ． ， ． 又三点在同一条直线上，且， ． ． ． ． ． （3）解：或1． 分三种情况讨论： ①当时，如解图1，过点作于点N，延长交CD于点M，连接， 则． ， ． 又， ． ． ， ． 是等边三角形． ． ． ． ②当时，如解图2，过点作于点H，则． 是等边三角形． ． ． 在中，． ． ③当时，点与点B重合，此时，不符合题意． 综上所述，的面积为或1． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等 三角形及相似三角形的判定定理，并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期末学业质量监测 数学试卷（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若点在反比例函数的图象上则的值是（ ） A. B. C. 1. 5 D. 6 2. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 围棋起源于中国，中国古代称围棋为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是一个无盖的围棋罐，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 小宁打算制作一个设计图如图所示的花架，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（ ） A B. 2 C. D. 9. 2025年8月，第七届山西文博会在山西潇河国际会展中心成功举办，文创产品“大眼琉璃鸱（ci）吻”扩香摆件引发抢购热潮．已知“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件的成本为50元/个，当售价定为80元/个时，每月可售出2000件，市场反馈显示，售价每提高2元/个，月销量就会减少50件．某企业希望通过销售“大眼琉璃鸱吻”扩香摆件实现每月61250元的利润．设此时的售价为元/个，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 12. 请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1．若与，是以某个点为位似中心的位似图形，则它们的相似比为__________． 14. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 15. 如图，在矩形中，，E是边的中点，F是上的一点，连接，．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 中国邮政于2025年11月18日发行《2026年贺年邮资明信片，贺年邮资信封系列》．小刚收集了如图所示的极限型邮资片邮资图，全套4枚，分别为逐梦马、欢腾马、谦善马、成功马．现将这4枚邮资图（除正面图案外其余完全相同）背面朝上放在桌面，小刚先随机抽取1枚，记下名称后放回，洗匀后小亮再随机抽取1枚． （1）小刚抽到的邮资图图案是“欢腾马”的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮两次抽取的邮资图图案不相同的概率． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求点A，B的坐标及反比例函数的表达式； （2）连接，，请直接写出的面积． 19. 如图，在菱形中，点E在边上，平分线，交边于点F，连接并延长，交的延长线于点G． （1）试猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，求的长． 20 项目学习 项目背景： 汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主，兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程．某综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离 活动内容 利用三角函数有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图，在同一水平线上的两岸边分别取A，B两点． ①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C； ②在点C处测得点A的俯角为； ③在点C处测得，点B的俯角为．图中各点都在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … （1）请根据上述数据，计算汾河水库两岸A，B两点间的距离．（结果精确到1m；参考数据：，，，，，） （2）该小组的同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为还需要补充哪些内容？（写出一个即可） 21. 阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； （2）参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； （3）类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 23 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $