精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2024级 1月月考数学试卷 命题人：余会林 审题人：方雅馨 考试时间：2026年1月15日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以，即焦点到准线的距离是. 故选：B. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 3. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【详解】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 4. 已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 5. 已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 8. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由一般式直线方程平行的条件求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以其系数满足，解得， 故答案为：. 13. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 14. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算可得，再由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 在中，， 由余弦定理得 ， 又， 所以， 设双曲线的左焦点为，，在中，由余弦定理得 ，得， 由得，，． 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出其通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合裂项相消法求出前项和. 【小问1详解】 在等差数列中，由，得，则， 解得，而，因此数列的公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 依题意，， 则， 所以 . 16. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 【小问1详解】 因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 17. 在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足． （1）当时，求证平面 （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量结合题设列方程求解即可. 【小问1详解】 连接，因为，，可得点E是的中点， 又因为M是的中点，所以， 又面，面， 所以面. 【小问2详解】 因为正方形，所以，且平面， 以为原点，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， .. 因为，所以， 则， 设平面的法向量为， 则，令， 可得法向量为， 所以， 因为平面与平面所成角的正弦值为，所以， 可得，所以或． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求证: ，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项定义证明可得结论，再利用等差数列通项公式即可求得数列的通项公式； （2）对数列中各项的正负，讨论并取绝对值求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. 【小问2详解】 由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的范围求出面积的最大值表达式，再利用给定的最大值及取得最大值的条件求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求出的表达式，再判别式及利用韦达定理列出不等式求出范围；（ii）由（i）的信息，利用向量的坐标运算，结合点在椭圆上列式求得答案. 【小问1详解】 设，椭圆的半焦距为，则，， ，当且仅当，即点为椭圆短轴端点时取等号， 而当时，的面积取得最大值，则，， 因此， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由消去并整理得， 由，得，设， 则，显然同号，则， 由，得， 由，得，则，设， 于是，解得， 由点在点之间，得，则， 所以的取值范围. （ii）由（i）知， 由，得， 由，得，点， 而点在椭圆上，因此，解得，满足题意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2024级 1月月考数学试卷 命题人：余会林 审题人：方雅馨 考试时间：2026年1月15日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则_____. 13. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 14. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是________． 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 17. 在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足． （1）当时，求证平面 （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求证: ，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $