精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县第三中学2025-2026学年上学期九年级期末考试模拟预测数学试题

2025年秋季学期期末自主评估作业 八年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地举行．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 芯片作为制造业的核心技术，内部有着数以亿计的晶体管，使用体积小、功耗低．某公司上市的某款手机上采用了自主研发的手机芯片，其制程工艺为（5纳米），数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点在同一直线上，，且，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，若的周长为，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 10. 在直角坐标系中，已知点，在轴上确定一点，使为等腰三角形，符合条件的点共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若分式的值为0，则x的值是_____． 14. 分解因式：_____________． 15. 已知点关于轴的对称点的坐标为，则点的坐标为_____． 16. 如图，边长为8的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则的长度是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）请在x轴上找出一点，使的值最小，标出点的位置（保留作图痕迹）． 21. 如图，是一边上的高，垂直于且与交于点，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 23. 【问题情境】已知是边长为8的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． 【初步探究】（1）如图1，当为边的中点时，求证：； 【类比探究】（2）如图2，连接，求证：； 【衍生拓展】（3）如图3，为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末自主评估作业 八年级数学（R） （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地举行．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题关键．根据轴对称图形定义，进行分析判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意． D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：A、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； B、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； C、的分母不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； D、的分母含字母，是分式，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 芯片作为制造业的核心技术，内部有着数以亿计的晶体管，使用体积小、功耗低．某公司上市的某款手机上采用了自主研发的手机芯片，其制程工艺为（5纳米），数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数；据此即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 4. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的运算和合并同类项法则． 逐一判断各选项是否正确即可． 【详解】解：A． ，错误，本选项不符合题意； B． ，错误，本选项不符合题意； C． ，正确，本选项符合题意； D． ，错误，本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，已知点在同一直线上，，且，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由平行得到，然后由得到，再结合已知条件，根据即可证明． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴，即， ∵ ∴， 故选：A． 6. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的化简和变形规则是解题关键． 根据分式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：A．，∴A错误； B．，∴B正确； C．，∴C错误； D．不能约分为，因为，∴D错误． 故选：B． 7. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性，需根据因式分解的公式和法则逐一判断． 【详解】解：A．∵，∴A错误． B．∵，∴B错误． C．∵，∴C正确． D．∵，∴D错误． 故选：C． 8. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，若的周长为，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，然后利用三角形的周长计算方法解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为18， ∴ ∴， ∴， ∵, ∴， 故选：B． 9. 如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键． 由等边三角形可得，，即，进而可求出的长． 【详解】解：是等边三角形，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：C． 10. 在直角坐标系中，已知点，在轴上确定一点，使为等腰三角形，符合条件的点共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；解答本题极易漏解，所以解答时，应利用“分类讨论”的数学思想．分类讨论：①以为底时；②以为底时；③以为底边时．在直角坐标系中利用辅助线即可得到点的位置． 【详解】解：如图， 因为为等腰三角形，所以可分成三类讨论： ①（有一个）， 此时只要以为圆心长为半径画圆，可知圆与轴交于点和另一个点，另一个点就是； ②（有两个）， 此时只要以为圆心长为半径画圆，可知圆与轴交于两个点，这两个点就是的两种情况； ③（一个）， 作的中垂线，与轴有一个交点，该交点就是点的最后一种情况． 综上所述，共有4个． 故选B. 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 12. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若分式的值为0，则x的值是_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由分式的值为0，得 x+1＝0且x﹣1≠0． 解得x＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 14. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 15. 已知点关于轴的对称点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，结合关于轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点关于轴的对称点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，边长为8的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则的长度是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，利用含的直角三角形的性质定理可求的值． 【详解】解：为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式及实数的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算有理数的乘法及零指数幂，再相加减即可； （2）先利用多项式乘多项式法则及同底数幂的除法法则进行计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用提公因式法，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用提公因式法，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再求值． （2）按照解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握解方程，化简求值是解题的关键． 【详解】解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝， 当时， 原式＝＝． （2）解：去分母，得： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 检验：时，， ∴原方程的解是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）请在x轴上找出一点，使的值最小，标出点的位置（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，所以，根据两点之间，线段最短，知此时值最小，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为． 【小问2详解】 解：的面积． 【小问3详解】 解：如图，取点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时的值最小， 则点P即为所求． 21. 如图，是一边上的高，垂直于且与交于点，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是一边上的高，， ， 在和中， （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）证明由全等三角形的性质得出； （2）由直角三角形的性质可得再证明是等腰直角三角形，可得最后再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是等腰直角三角形， 22. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 【答案】（1）甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元 （2）最多可购买个乙种品牌的篮球 【解析】 【分析】本题考查分式方程和不等式的应用； （1）设甲种品牌篮球的单价是x元，乙种品牌的单价是元，根据“用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍”，列出关于x的分式方程，解之经检验后即可． （2）设本次购买m个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，根据“甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元”，列出关于m的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可． 【小问1详解】 设甲种品牌篮球的单价是元，乙种品牌的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， ， 答：甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元， 【小问2详解】 设本次购买个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球， 根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为， 答：最多可购买个乙种品牌的篮球． 23. 【问题情境】已知是边长为8的等边三角形，是边上的动点（点不与点重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． 【初步探究】（1）如图1，当为边的中点时，求证：； 【类比探究】（2）如图2，连接，求证：； 【衍生拓展】（3）如图3，为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）的长为4 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论； （2）根据证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形，为边的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：为边的中点，， ， 由知：， 点在过点与平行的射线上运动， ， ， 如图3，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ． 即线段的长为4． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $