第六章 数据的分析讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第六章 数据的分析 考点1: 算术平均数与加权平均数 概念：算术平均数：一组数据的总和除以数据个数，公式：x (__)＝ 加权平均数：考虑各数据“权重”的平均数，公式：x (__)＝(w为权重) 例：算术平均数：求数据3，5，7的平均数→x (__)＝＝5 加权平均数：某科成绩中，平时作业占20%、测验占30%、期末占50%，若小明三项得分分别为80、90、85 则最终成绩→80×0.2＋90×0.3＋85×0.5＝85.5 · 易错点：①计算加权平均数时，混淆“权重”的形式(如把“份数”“百分比”直接当数据相加)； ②忽略数据个数，漏算或多算数据导致算术平均数错误。 考点2: 中位数与众数 概念： 中位数：将数据从小到大(或从大到小)排序后，中间位置的数(数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数)； 众数：一组数据中出现次数最多的数(可多个). 例：中位数：求数据2，4，5，7，9的中位数→排序后中间数为5；求2，4，6，8的中位数→＝5. 众数：数据3，3，5，5，5，7的众数是5；数据2，2，4，4，6的众数是2和4. · 易错点：①求中位数前未对数据排序(如直接取原始数据的中间数)； ②误认为“众数只有一个”，忽略多众数的情况. 考点3: 极差、方差与标准差 概念：极差：一组数据中最大值与最小值的差，公式：极差＝最大值－最小值； 方差：刻画数据波动程度的统计量，公式：s2＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋＋(xn－x (__))2]； 标准差：方差的算术平方根，公式：s＝ 例：极差：数据4，6，8，10的极差→10－4＝6 方差：求数据1，2，3，4，5的方差→x (__)＝3，s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2 · 易错点：①计算方差时，漏除数据个数n； ②混淆“方差与稳定性的关系”(方差越小，数据越稳定)，误认为方差大更稳定. 练习1. 1. 《奇迹再现》是一首充满激情与正能量的歌曲，歌词激励人心，旋律欢快激昂.以下是摘自歌曲简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是( ). A．1 B．2 C．5 D．7 2. 某校开展视力检查，某班45名同学视力检查数据如下表: 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的众数是( ). A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为s2甲＝0.65，s2乙＝0.45，s2丙＝0.55，s2丁＝0.50，则射箭成绩最稳定的是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( ). A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5. 学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数(次) 0 1 2 3 4 5 人数(人) 1 ● 10 17 ● 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是( ). A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 6. 射击运动队进行射击测试,甲、乙两名选手的测试成绩如图,其成绩的方差分别记为s2甲和s2乙,则s2甲和s2乙的大小关系是( ). A.s2甲＞s2乙 B.s2甲＜s2乙 C.s2甲＝s2乙 D.无法确定 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分，投球技能得80分.李林综合成绩为( ). A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 8. 小明根据方差公式s2＝[(x1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是( ). A．x1＝1 B．众数是3 C．n＝5 D．s2＝2.4 9. 一组数据2，3，5，6，x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝ .  10. 已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为 .  11. 已知数据x1，x2，x3…的平均数是5，方差是2，则数据3x1＋4，3x2＋4，3x3＋4…的平均数是 ，方差是 . 12. 已知数据x1，x2，x3…的平均数为3，方差为2，则数据2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3…的平均数为 ，方差是 . 13. 某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯泡的平均使用寿命是 h． 使用寿命x/h 60≤x＜100 100≤x＜140 140≤x＜180 灯泡只数 30 30 40 考点4: 箱线图 概念：箱线图通过“五值”(最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值)展示数据分布， 其中：下四分位数Q1：排序后前半部分数据的中位数； 上四分位数Q3：排序后后半部分数据的中位数； 四分位距：Q3－Q1(刻画中间50%数据的波动). 例：对数据1，3，5，7，9，11，13画箱线图： 最小值＝1，最大值＝13；中位数Q2＝7； Q1(前半部分1，3，5的中位数)＝3；Q3(后半部分9，11，13的中位数)＝11； 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13. · 易错点： ①计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”(如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数)； ②误将箱线图的“箱的长度”等同于极差(实际是四分位距). 练习2. 1. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值)，中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数，异常值是明显偏离样本的个别值.已知(1)班和(2)班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是( ). A．(1)班成绩比(2)班成绩集中 B．(1)班成绩的上四分位数是80 C．(1)班有同学的成绩超过140分 D．(1)班的平均分高于(2)班的平均分 2. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为( ). A.140 B.150 C.163 D.180 3. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩(分)的箱线图如图所示，则下列说法正确的是( ). A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 4. 下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的( ) A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 5. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是( ). A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 考点5: 频数、频率与统计图表 概念：频数：某组数据出现的次数； 频率：频数与总数据个数的比值(频率＝)； 常见统计图表：频数分布表、频数分布直方图、箱线图等。 例： 一组数据5，5，6，7，7，7，8中，“7”的频数是3，频率是. · 易错点： ①频率计算时，混淆“组频数”与“总数”； ②解读直方图时，误将“矩形高度”当频数(实际是“矩形面积”对应频数，若组距相等则高度对应频数). 考点6: 用样本估计总体 概念：通过样本的统计量(平均数、方差等)估计总体的对应特征(适用于样本具有代表性的情况). 例： 某校八年级抽取50名学生的数学成绩，计算样本平均数为82，则估计该校八年级学生数学平均成绩约为82 · 易错点：用“不具有代表性的样本”(如样本容量过小、抽样偏向)估计总体，导致结果偏差. 练习3. 1. 某中学八(1)班在一次数学测试中，某题(满分为5分)的得分情况如图所示，请据图回答： (1)这题得分的众数是 分，中位数是 分； (2)求这题得分的平均数； (3)八(1)班和八(2)班在该题中的平均得分相同，但八(1)班成绩的方差s2甲＝a，八(2)班成绩的方差s2乙＝b，且a＞b＞0，那么该题成绩比较稳定的班级是八( )班．(填“1”或“2” ) 2. 某银行有A和B两个理财经营团队．上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下： A：4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数(单位：%) 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b   请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中a＝ ，b＝_ _； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 3. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86　88　90　91　91　91　91　92　92　98 b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组:第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100): c.评委打分的平均数、中位数、众数如下: 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息,回答下列问题: ①m的值为 ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 组；  ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x (__)，则x (__) 91(填“＞”“＝”或“＜”)；  (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下: 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中k(k为整数)的值为　 .  6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数据的分析 考点1: 算术平均数与加权平均数 概念：算术平均数：一组数据的总和除以数据个数，公式：x (__)＝ 加权平均数：考虑各数据“权重”的平均数，公式：x (__)＝(w为权重) 例：算术平均数：求数据3，5，7的平均数→x (__)＝＝5 加权平均数：某科成绩中，平时作业占20%、测验占30%、期末占50%，若小明三项得分分别为80、90、85 则最终成绩→80×0.2＋90×0.3＋85×0.5＝85.5 · 易错点：①计算加权平均数时，混淆“权重”的形式(如把“份数”“百分比”直接当数据相加)； ②忽略数据个数，漏算或多算数据导致算术平均数错误。 考点2: 中位数与众数 概念： 中位数：将数据从小到大(或从大到小)排序后，中间位置的数(数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数)； 众数：一组数据中出现次数最多的数(可多个). 例：中位数：求数据2，4，5，7，9的中位数→排序后中间数为5；求2，4，6，8的中位数→＝5. 众数：数据3，3，5，5，5，7的众数是5；数据2，2，4，4，6的众数是2和4. · 易错点：①求中位数前未对数据排序(如直接取原始数据的中间数)； ②误认为“众数只有一个”，忽略多众数的情况. 考点3: 极差、方差与标准差 概念：极差：一组数据中最大值与最小值的差，公式：极差＝最大值－最小值； 方差：刻画数据波动程度的统计量，公式：s2＝[(x1－x (__))2＋(x2－x (__))2＋＋(xn－x (__))2]； 标准差：方差的算术平方根，公式：s＝ 例：极差：数据4，6，8，10的极差→10－4＝6 方差：求数据1，2，3，4，5的方差→x (__)＝3，s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2 · 易错点：①计算方差时，漏除数据个数n； ②混淆“方差与稳定性的关系”(方差越小，数据越稳定)，误认为方差大更稳定. 练习1. 1. 《奇迹再现》是一首充满激情与正能量的歌曲，歌词激励人心，旋律欢快激昂.以下是摘自歌曲简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是( B ). A．1 B．2 C．5 D．7 2. 某校开展视力检查，某班45名同学视力检查数据如下表: 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的众数是( B ). A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为s2甲＝0.65，s2乙＝0.45，s2丙＝0.55，s2丁＝0.50，则射箭成绩最稳定的是( B ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的( C ). A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 5. 学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数(次) 0 1 2 3 4 5 人数(人) 1 ● 10 17 ● 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是( C ). A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 6. 射击运动队进行射击测试,甲、乙两名选手的测试成绩如图,其成绩的方差分别记为s2甲和s2乙,则s2甲和s2乙的大小关系是( A ). A.s2甲＞s2乙 B.s2甲＜s2乙 C.s2甲＝s2乙 D.无法确定 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分，投球技能得80分.李林综合成绩为( B ). A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 8. 小明根据方差公式s2＝[(x1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是( D ). A．x1＝1 B．众数是3 C．n＝5 D．s2＝2.4 9. 一组数据2，3，5，6，x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么x＝　－1，4或9　.  10. 已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为　5　.  11. 已知数据x1，x2，x3…的平均数是5，方差是2，则数据3x1＋4，3x2＋4，3x3＋4…的平均数是　 19 ，方差是 　18 . 12. 已知数据x1，x2，x3…的平均数为3，方差为2，则数据2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3…的平均数为　 9 ，方差是 　8 . 13. 某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯泡的平均使用寿命是　124　h． 使用寿命x/h 60≤x＜100 100≤x＜140 140≤x＜180 灯泡只数 30 30 40 考点4: 箱线图 概念：箱线图通过“五值”(最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值)展示数据分布， 其中：下四分位数Q1：排序后前半部分数据的中位数； 上四分位数Q3：排序后后半部分数据的中位数； 四分位距：Q3－Q1(刻画中间50%数据的波动). 例：对数据1，3，5，7，9，11，13画箱线图： 最小值＝1，最大值＝13；中位数Q2＝7； Q1(前半部分1，3，5的中位数)＝3；Q3(后半部分9，11，13的中位数)＝11； 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13. · 易错点： ①计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”(如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数)； ②误将箱线图的“箱的长度”等同于极差(实际是四分位距). 练习2. 1. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值)，中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数，异常值是明显偏离样本的个别值.已知(1)班和(2)班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是( C ). A．(1)班成绩比(2)班成绩集中 B．(1)班成绩的上四分位数是80 C．(1)班有同学的成绩超过140分 D．(1)班的平均分高于(2)班的平均分 2. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为( C ). A.140 B.150 C.163 D.180 3. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩(分)的箱线图如图所示，则下列说法正确的是( B ). A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 4. 下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的( D ) A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 5. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是( B ). A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 考点5: 频数、频率与统计图表 概念：频数：某组数据出现的次数； 频率：频数与总数据个数的比值(频率＝)； 常见统计图表：频数分布表、频数分布直方图、箱线图等。 例： 一组数据5，5，6，7，7，7，8中，“7”的频数是3，频率是. · 易错点： ①频率计算时，混淆“组频数”与“总数”； ②解读直方图时，误将“矩形高度”当频数(实际是“矩形面积”对应频数，若组距相等则高度对应频数). 考点6: 用样本估计总体 概念：通过样本的统计量(平均数、方差等)估计总体的对应特征(适用于样本具有代表性的情况). 例： 某校八年级抽取50名学生的数学成绩，计算样本平均数为82，则估计该校八年级学生数学平均成绩约为82 · 易错点：用“不具有代表性的样本”(如样本容量过小、抽样偏向)估计总体，导致结果偏差. 练习3. 1. 某中学八(1)班在一次数学测试中，某题(满分为5分)的得分情况如图所示，请据图回答： (1)这题得分的众数是 3 分，中位数是 3 分； (2)求这题得分的平均数； (3)八(1)班和八(2)班在该题中的平均得分相同，但八(1)班成绩的方差s2甲＝a，八(2)班成绩的方差s2乙＝b，且a＞b＞0，那么该题成绩比较稳定的班级是八( 2 )班．(填“1”或“2” )答案：(2)这题得分的平均数为2.86分 2. 某银行有A和B两个理财经营团队．上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(单位：%)如下： A：4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10 B：3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数(单位：%) 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b   请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中a＝___3.635___，b＝___4.125___； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 答案：(2)如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等， 故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大，即团队B的经营水平更稳健， 故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 3. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.教师评委打分：86　88　90　91　91　91　91　92　92　98 b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组:第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100): c.评委打分的平均数、中位数、众数如下: 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90.8 n 93 根据以上信息,回答下列问题: ①m的值为　91　，n的值位于学生评委打分数据分组的第　4　组；  ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x (__)，则x (__)　＜　91(填“＞”“＝”或“＜”)；  (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下: 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是　甲　，表中k(k为整数)的值为　92　.  6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $