专题 6.2 数据的分析全章复习（4大考点12类题型）- 2025-2026学年八年级数学上册基础知识专项突破讲练（北师大版 2024）

该初中数学讲义通过“基础篇-培优篇”的层级框架和5大考点12类题型的分类设计构建数据的分析知识体系，用表格归纳平均数、中位数等统计量的计算方法，结合例题变式呈现知识内在联系，突出集中趋势、离散程度等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从★基础计算到★★★统计量与统计图综合压轴题，如“根据方差判断数据稳定性”“利用箱线图做决策”等题型，培养数据意识与运算能力。基础题巩固知识，培优题提升综合运用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

专题 6.2 数据的分析全章复习（5大考点12类题型） 目录 一．基础篇 1 【考点一】集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数） 1 【★题型 1】算术平均数的基础计算 1 【★题型 2】加权平均数的计算 2 【★题型 3】中位数的求解 2 【★题型 4】众数的识别与应用 3 【考点二】离散程度的统计量 3 【★题型 5】离差平方和与方差的基础计算 3 【★题型 6】根据方差判断数据稳定性 4 【考点三】四分位数与箱线图基础 5 【★题型 7】四分位数（Q₁、Q₂、Q₃）与箱线图 5 二．培优篇 6 【考点四】统计量综合运用 6 【★★题型 8】平均数与方差综合 6 【★★题型 9】中位数与众数、方差综合 6 【★★题型 10】中位数、四分线、箱线图综合 9 【考点五】数据应用与决策设计 11 【★★题型 11】根据统计量结果做判断、预测与决策 11 【★★★题型 12】统计量与统计图综合压轴题 12 一．基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数） 【★题型 1】算术平均数的基础计算 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，求a、b两数的平均数． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给801班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则801班平均得分是 ． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 【★题型 2】加权平均数的计算 【例题2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）学校举行播音员选拔比赛，评委从读音吐字、节奏韵律两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，再按读音吐字占，节奏韵律占计算选手的综合成绩（百分制）．小丽同学读音吐字得90分，节奏韵律得80分．请你计算一下小丽同学的综合成绩． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期中）某检测中心分别从操作系统、硬件规格和电池寿命三个方面对一款电子产品进行测评打分，然后将操作系统、硬件规格和电池寿命三个方面的得分按照的比计算综合得分，若该款电子产品这三个方面的得分（百分制）依次是：80，90，90，则它的综合得分是（   ） A．84 B．85 C．87 D．88 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，从服装礼仪、语言表达、举止形态这三个方面来考查，所占比例分别为，，，某选手各项得分如表：则该选手的最终成绩是 分． 项目 服装礼仪 语言表达 举止形态 成绩/分 【★题型 3】中位数的求解 【例题3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）在从小到大排列的五个数3，x，6，8，10中加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 ． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这一成就在其著作《缀术》中记载，并领先世界约1000年．数学活动课上，云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的中位数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）4个数据的平均数和中位数相等，则 ． 【★题型 4】众数的识别与应用 【例题4】某班50名同学在网络安全平台参加知识问答比赛的成绩如表： 得分 32500 47500 62500 75000 人数 8 10 23 9 则将这组数据中的众数用科学记数法可表示为 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）某款女鞋不同尺码的销售情况如图所示，则所销售的女鞋尺码的众数是（   ） A．38码 B． C．36码和37码 D． 【变式2】（23-24八年级上·山东泰安·期末）若一组数据的方差为，则这组数据的众数为 ． 【考点二】离散程度的统计量 【★题型 5】离差平方和与方差的基础计算 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是 ，方差是 ，标准差是 ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知一组数据3，4，5，6，7，则这组数据的方差为 ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【★题型 6】根据方差判断数据稳定性 【例题1】（24-25八年级下·云南红河·期末）某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（   ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A．甲 B．乙 C．一样 D．不确定 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）为增强身体素质，小明妈妈报名参加了社区组织的健步走活动．小明记录了妈妈6月1日-14日连续两个星期健步走的步数并绘制成如图所示的统计图，若设6月1日-7日健步走步数的方差记作月8日-14日健步走步数的方差记作，则 （填“>”是”或“<”）． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示 分别求出两名同学测试成绩的平均数和方差，并判断哪名同学的成绩更稳定． 【考点三】四分位数与箱线图基础 【★题型 7】四分位数（Q₁、Q₂、Q₃）与箱线图 【例题7】（25-26八年级上·全国·期末）一组数据：，，，，，，，的下四分位数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）根据甲、乙两组的测试成绩绘制了如下的箱线图，根据箱线图，谈谈你对两组成绩的看法． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． （1）甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． （2）图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ （3）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 二．培优篇 【考点四】统计量综合运用 【★★题型 8】平均数与方差综合 【例题8】（2025·云南昆明·三模）云南某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是 ． 甲 乙 丙 丁 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）： 甲：4，6，6，6，8； 乙：3，5，6，7，9． （1）分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数； （2）通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）甲、乙两人在次打靶测试中命中的环数如下： 甲：，，，，；乙：，，，，； （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）教练根据这次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【★★题型 9】中位数与众数、方差综合 【例题1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8 高中组 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，搭建项目成绩更稳定的是______（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【★★题型 10】中位数、四分线、箱线图综合 【例题10】（25-26八年级上·山东青岛·月考）根据甲、乙两组的测试成绩绘制了如下的箱线图，根据箱线图，谈谈你对两组成绩的看法． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，70，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）不经过计算，哪组测试的成绩的方差更大？为什么？ 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合．小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数． A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50； B： 学校 平均数 众数 中位数 方差 48 48 58.01 48.4 354.01 （1）补全上表中缺失的数据； （2）小明计算出校预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出这学校预约人数的四分位数，并绘制出它的箱线图； （3）根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【考点五】数据应用与决策设计 【★★题型 11】根据统计量结果做判断、预测与决策 【例题11】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题： 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 86 100 98 119 97 500 （1）根据上表提供的数据填写下表： 优秀率 中位数 方差 甲班 46.8 乙班      （2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？ 简述理由． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）   日期队员   2月12日   2月17日   3月4日   3月13日   3月22日   4月8日   4月16日   4月27日   5月7日   5月19日   甲   75   80   73   81   90   83   85   92   95   96   乙   82   83   86   82   92   83   87   86   84   85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，；方差分别是58.4，m． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）， 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 89 90 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【变式2】（重庆市开州区德阳初中教育集团2025-2026学年上学期第三次学业水平测试九年级数学试卷）今年12月学校组织学生进行安全教育竞赛，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：；；；），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，85，85，85，85，86，88，89． 九年级20名学生竞答成绩是：65，67，72，79，83，85，87，87，88，89，89，89，89，90，91，94，97，99，100，100． 八、九年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87 a 85 九年级 87 88 b 八年级所抽取学生竞答成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生安全教育竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生600人，九年级有学生700人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【★★★题型 12】统计量与统计图综合压轴题 【例题12】（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： （1）请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． （2）观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ （3）如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【变式1】（2025·浙江温州·三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 （1）填空：______，______；______； （2）如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 （1）根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.2 数据的分析全章复习（5大考点12类题型） 目录 一．基础篇 1 【考点一】集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数） 1 【★题型 1】算术平均数的基础计算（含整数、小数、分数数据） 1 【★题型 2】加权平均数的计算（含权重为比例、次数的场景） 3 【★题型 3】中位数的求解（含数据个数为奇数、偶数的情况） 4 【★题型 4】众数的识别与应用 5 【考点二】离散程度的统计量 7 【★题型 5】离差平方和与方差的基础计算 7 【★题型 6】根据方差判断数据稳定性 8 【考点三】四分位数与箱线图基础 10 【★题型 7】四分位数（Q₁、Q₂、Q₃）与箱线图 10 二．培优篇 11 【考点四】统计量综合运用 11 【★★题型 8】平均数与方差综合 12 【★★题型 9】中位数与众数、方差综合 14 【★★题型 10】中位数、四分线、箱线图综合 19 【考点五】数据应用与决策设计 22 【★★题型 11】根据统计量结果做判断、预测与决策 22 【★★★题型 12】统计量与统计图综合压轴题 26 一．基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数） 【★题型 1】算术平均数的基础计算（含整数、小数、分数数据） 【例题1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，求a、b两数的平均数． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平均数的计算方法，牢记公式是解题的关键． 首先求得a、b的和，再求出a、b的平均数即可． 解：一组数据4、5、6、a、b的平均数为5， ， ， 、b的平均数为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给801班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则801班平均得分是 ． 【答案】分 【分析】本题考查了条形统计图，平均数，熟练掌握根据条形统计图获取信息及平均数的计算是解题的关键．先计算统计图中人数污损部分为8，再根据平均数的计算方法求解即可． 解：统计图中人数污损部分为 801班平均得分是（分）． 故答案为：分． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值．根据平均数×数量=总数可列关于x、y的等式，化简得出结果，即可作答． 解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 【★题型 2】加权平均数的计算（含权重为比例、次数的场景） 【例题2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）学校举行播音员选拔比赛，评委从读音吐字、节奏韵律两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，再按读音吐字占，节奏韵律占计算选手的综合成绩（百分制）．小丽同学读音吐字得90分，节奏韵律得80分．请你计算一下小丽同学的综合成绩． 【答案】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，正确进行计算是解题关键．根据加权平均数的定义列式计算可得． 解：小丽同学的综合成绩为： 答：小丽同学的综合成绩为86分． 【变式1】（24-25八年级下·云南红河·期中）某检测中心分别从操作系统、硬件规格和电池寿命三个方面对一款电子产品进行测评打分，然后将操作系统、硬件规格和电池寿命三个方面的得分按照的比计算综合得分，若该款电子产品这三个方面的得分（百分制）依次是：80，90，90，则它的综合得分是（   ） A．84 B．85 C．87 D．88 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算公式．数据的加权平均数：（其中分别为的权数）． 根据加权平均数的计算公式计算即可． 解：综合得分是． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛，从服装礼仪、语言表达、举止形态这三个方面来考查，所占比例分别为，，，某选手各项得分如表：则该选手的最终成绩是 分． 项目 服装礼仪 语言表达 举止形态 成绩/分 【答案】 【分析】本题考查加权平均数，将各项目得分乘以其对应的比例后求和，即为最终成绩． 解：（分）． 故答案为：． 【★题型 3】中位数的求解（含数据个数为奇数、偶数的情况） 【例题3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）在从小到大排列的五个数3，x，6，8，10中加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和平均数，熟悉相关性质是解题的关键．原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于x的方程，解方程即可求解． 解：从小到大排列的五个数3，x，6，8，10的中位数是6， ∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等， ∴加入的一个数是6， ∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这一成就在其著作《缀术》中记载，并领先世界约1000年．数学活动课上，云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的中位数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了中位数．将一组数据按大小顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，因为一共100个数字，故中位数为第50和第51个数字的平均值，据此进行列式计算，即可作答． 解：∵云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计， ∴一共100个数字，中位数为第50和第51个数字的平均值， 观察表格，得出数字的出现的次数是， ∴第50个数字起为数字5，数字5的数量有8个 ∴第50和第51个数字均为5， ∴ 中位数， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）4个数据的平均数和中位数相等，则 ． 【答案】8或12 【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，平均数等于数据总数除以总个数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．分和，两种情况讨论即可． 解：∵数据8，10，，10的平均数与中位数相等， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； 综上，或． 故答案为：或． 【★题型 4】众数的识别与应用 【例题4】某班50名同学在网络安全平台参加知识问答比赛的成绩如表： 得分 32500 47500 62500 75000 人数 8 10 23 9 则将这组数据中的众数用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了众数的定义，科学记数法，结合众数的定义得出这组数据中的众数是62500，将数据62500用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行解答即可． 解：∵62500出现了23次，出现的次数最多， ∴这组数据中的众数是62500， 则62500用科学记数法可表示为； 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）某款女鞋不同尺码的销售情况如图所示，则所销售的女鞋尺码的众数是（   ） A．38码 B． C．36码和37码 D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形统计图和众数，解题的关键是掌握众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义结合扇形统计图就可以求解． 解：由扇形统计图可得各尺码销售占比为36码 （）、37码（）、38码（）、39码（） ， ∵38码的销售占比（）是所有尺码中最高的，说明其销售数量最多，因此所销售女鞋尺码的众数是38码， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·山东泰安·期末）若一组数据的方差为，则这组数据的众数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 【考点二】离散程度的统计量 【★题型 5】离差平方和与方差的基础计算 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是 ，方差是 ，标准差是 ． 【答案】 10 2 【分析】本题主要考查离差平方和、方差和标准差的计算，先计算平均数，再计算离差平方和（数据与平均数差的平方和）、方差（离差平方和的算术平均数）和标准差（方差的算术平方根）即可． 解：这组数据的平均数为， 离差平方和为； 方差为； 标准差为； 故答案为：10；2；． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知一组数据3，4，5，6，7，则这组数据的方差为 ． 【答案】2 【分析】本题考查方差的计算，先求出数据的平均数，再根据方差公式计算． 解：数据的平均数为， 方差为： 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 【★题型 6】根据方差判断数据稳定性 【例题1】（24-25八年级下·云南红河·期末）某县区始终秉持“安全与健康第一”的教育理念，为积极推动大课间活动，开展了大课间创新大赛，从“创意与特色”、“节奏与配合”、“文明与安全”等三个方面计算成绩．下表是甲、乙两所学校的成绩，则成绩更稳定的是（   ） 学校 创意与特色 节奏与配合 文明与安全 平均分 甲 8 6 10 8 乙 9 8 7 8 A．甲 B．乙 C．一样 D．不确定 【答案】B 【分析】题目主要考查方差的计算，利用方差比较稳定性等，熟练掌握方差的计算方法是解题关键． 通过计算两所学校成绩的方差比较稳定性，方差小的更稳定． 解：∵平均分均为8，甲学校成绩：， ∴方差 ， 乙学校成绩：， ∴方差 ， ∵ ， ∴乙学校方差更小，成绩更稳定， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）为增强身体素质，小明妈妈报名参加了社区组织的健步走活动．小明记录了妈妈6月1日-14日连续两个星期健步走的步数并绘制成如图所示的统计图，若设6月1日-7日健步走步数的方差记作月8日-14日健步走步数的方差记作，则 （填“>”是”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图是解题关键， 根据折线统计图得到第一周步数和第二周步数的数据，再根据其波动程度进行比较即可． 解：根据折线统计图看出小明妈妈第一周步数在之间，第二周步数在之间， ∴小明妈妈第一周步数数值波动大于第二周步数数值波动， ． 故答案为：>． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示 分别求出两名同学测试成绩的平均数和方差，并判断哪名同学的成绩更稳定． 【答案】甲同学的测试成绩的平均数为个，方差为；乙同学的测试成绩的平均数为个，方差为；甲的成绩比乙稳定 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好；也考查了平均数，分别计算出两人成绩的平均数、方差并进行判断，即可得出答案． 解：甲同学的测试成绩的平均数为：个， 方差为， 乙同学的测试成绩的平均数为个， 方差为． 所以甲的成绩比乙稳定． 【考点三】四分位数与箱线图基础 【★题型 7】四分位数（Q₁、Q₂、Q₃）与箱线图 【例题7】（25-26八年级上·全国·期末）一组数据：，，，，，，，的下四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了下四分位数，掌握下四分位数是解题的关键．根据下四分位数的定义即可求解． 解：数据从小到大排序为：，，，，，， ，， ∴下四分位数为第和第个数平均值：， ∴下四分位数为， 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）根据甲、乙两组的测试成绩绘制了如下的箱线图，根据箱线图，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了四分位数和箱线图的解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． 解：根据箱线图和四分位数，可知甲、乙两组的中位数相同，但甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一） 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． （1）甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． （2）图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ （3）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】（1）128；128；（2）甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学；（3）甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 解：（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 二．培优篇 【考点四】统计量综合运用 【★★题型 8】平均数与方差综合 【例题8】（2025·云南昆明·三模）云南某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是 ． 甲 乙 丙 丁 【答案】甲 【分析】本题考查了平均数，方差，先比较平均数得到甲品种和乙品种产量更高，然后比较方差得到甲品种更稳定，则应选的品种甲品种，掌握平均数，方差的意义是解题的关键． 解：∵甲品种和乙品种的平均数均为千克，丙品种为千克，丁品种为千克， ∴甲品种和乙品种产量更高， ∵甲的方差为，乙的方差为，方差越小，越稳定， ∴甲品种更稳定， 故选答案为：甲． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中，各抽取5件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）： 甲：4，6，6，6，8； 乙：3，5，6，7，9． （1）分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数； （2）通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定． 【答案】（1）甲厂产品使用寿命的平均数为6年，乙厂产品使用寿命的平均数为6年；（2）甲厂家的产品使用寿命比较稳定． 【分析】此题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的求法． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算甲、乙两个厂家产品使用寿命的方差，然后比较判断即可． 解：（1）甲厂家产品使用寿命的平均数为， 乙厂家产品使用寿命的平均数为； （2）甲厂家产品使用寿命的方差为， 乙厂家产品使用寿命的方差为 ∵ ∴甲厂家的产品使用寿命比较稳定． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）甲、乙两人在次打靶测试中命中的环数如下： 甲：，，，，；乙：，，，，； （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）教练根据这次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）见分析；（2）甲与乙的平均成绩相同，但甲的方差比较小，说明甲的成绩比乙稳定；（3）变小 【分析】本题主要考查众数、平均数和中位数的求法，利用方差作决策，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键． （1）根据众数、平均数和中位数的定义求解； （2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定； （3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差变小． 解：（1）解：甲的众数为， 甲的方差为， 乙的平均数为， 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）因为甲、乙的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击1次，命中环，那么乙的射击成绩的方差为，故方差变小， 故答案为：变小． 【★★题型 9】中位数与众数、方差综合 【例题1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． c．甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 9 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，请算出各位同学的综合成绩，并写出谁的综合成绩最好． 【答案】（1），；（2）乙；（3）综合成绩最高的是乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 解：（1）解： 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：8，83； （2）解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； （3）解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． （1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） （2）补全条形统计图． （3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】（1）七；（2）见分析；（3）人 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 解：（1）解：， 学生代表成绩比较整齐的是七年级； 故答案为：七； （2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， 分和3分的人数分别有1人和4人， 补全条形统计图如下： （3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 8 高中组 10 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，搭建项目成绩更稳定的是______（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【答案】（1）10，9，初中组；（2）7分；（3）估计本次比赛高中组共有33支队伍在搭建项目中获得优秀． 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可； （3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比，然后乘以高中组参赛队伍总数即可解答． 解：（1）解：初中组共20个数据，则9分的队伍有，则初中组中获得10分的队最多，即众数； 由扇形统计图可得：8分所占的百分比为：，则将高中组搭建项目成绩从小到大排列，10分的有，9分的有， ∴第10、11个数据都在成绩为9分的组中，则中位数； 由初中组方差小于高中组方差，则搭建项目成绩更稳定的是初中组． 故答案为：10，9，初中组． （2）解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比确定平均成绩， 由A队的成绩表可得：A队伍编程8分、调试8分、搭建7分、讲解5分， 由题意可得A队的平均成绩：分． 所以A队的平均成绩是7分． （3）解：在抽取的20支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于9分的包括9分和10分的队伍，由扇形统计图可知：9分的占，10分的占，则不低于9分的队伍所占比例为， 由高中组共60支队伍参赛，则估计获得优秀（搭建项目成绩不低于分）的队伍有（支）． 答：估计本次比赛高中组共有33支队伍在搭建项目中获得优秀． 【点拨】本题主要考查了中位数、众数、方差的概念、加权平均数、用样本估计总体等知识点，解题关键是理解相关统计量的定义是解题的关键． 【★★题型 10】中位数、四分线、箱线图综合 【例题10】（25-26八年级上·山东青岛·月考）根据甲、乙两组的测试成绩绘制了如下的箱线图，根据箱线图，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了四分位数和箱线图的解读，解题的关键是掌握箱线图． 通过这些工具直观地分析数据的分布特征即可． 解：根据箱线图和四分位数，可知甲、乙两组的中位数相同，但甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一） 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·月考）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，70，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数； （2）根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； （3）不经过计算，哪组测试的成绩的方差更大？为什么？ 【答案】（1）；（2）图见分析；（3）甲组测试的成绩的方差更大，理由见分析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 解：（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 70，70，80，89，91，92，96，98， 所以； （2）解：如答图所示： （3）解：甲组测试的成绩的方差更大，理由如下： 根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中， 所以甲组测试的成绩的方差更大． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合．小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数． A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50； B： 学校 平均数 众数 中位数 方差 48 48 58.01 48.4 354.01 （1）补全上表中缺失的数据； （2）小明计算出校预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出这学校预约人数的四分位数，并绘制出它的箱线图； （3）根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【答案】（1）见分析；（2），，，图见分析；（3）应该预约学校，理由见分析 【分析】本题考查四分位数，箱线图，平均数和众数，利用方差判断数据稳定性，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出学校预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 解：（1）解：A学校预约人数的平均数为； 根据折线图， B学校预约人数为25的出现次数最多，因此众数为25； 将B学校预约人数从小到大顺序排列，第5个数为45，第6个数为50，因此中位数为． 补全表格如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 43.3 48 48 58.01 48.4 25 47.5 354.01 （2）解：学校预约人数的四分位数为，，； 绘制箱线图如下： （3）解：小明爸爸应该预约A学校，理由如下： 从平均数和方差看，两所学校的平均数相差不大，但A学校的方差小于B学校，即A学校预约人数比较稳定；基于四分位数或箱线图，可以发现A的中位数与B的中位数相差不大，但A学校预约人数明显比B的波动小．所以小明爸爸应该预约A学校． 【考点五】数据应用与决策设计 【★★题型 11】根据统计量结果做判断、预测与决策 【例题11】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题： 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 86 100 98 119 97 500 （1）根据上表提供的数据填写下表： 优秀率 中位数 方差 甲班 46.8 乙班      （2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？ 简述理由． 【答案】（1）甲班优秀率，中位数100；乙班优秀率，中位数98，方差114；（2）应该把冠军奖状发给甲班，理由见分析 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）优秀率是踢100个及以上学生所占比例；根据优秀率＝优秀人数÷总人数求得优秀率，中位数是将数据排序后中间位置的数；方差反映数据的波动程度．通过计算这些统计量， （2）比较两班的整体表现（优秀率、中位数）和稳定性（方差）即可． 解：（1）解：甲的优秀率为， 将数据由小到大排列，为，则中位数是100， 平均数为， 乙的优秀率为， 将数据由小到大排列，则中位数为98， 平均数为， 方差为． 由此填表如下： 班　　级 优秀率 中位数 方　　差 甲 100 46.8 乙 98 114 （2）解：应该把冠军奖状发给甲班，理由如下： ∵ 甲班的优秀率（）高于乙班（），说明甲班优秀学生更多； ∵ 甲班的中位数（100）高于乙班（98），说明甲班中间水平更高； ∵ 甲班的方差（46.8）小于乙班（114），说明甲班成绩更稳定； 说明甲班参赛学生的整体水平比乙班好，所以应该把冠军奖状发给甲班． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）甲、乙两人是某高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）   日期队员   2月12日   2月17日   3月4日   3月13日   3月22日   4月8日   4月16日   4月27日   5月7日   5月19日   甲   75   80   73   81   90   83   85   92   95   96   乙   82   83   86   82   92   83   87   86   84   85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，；方差分别是58.4，m． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）， 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 89 90 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算m的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1）；两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定；（2）选甲更合适，理由见分析；（3）选甲更合适，理由见分析 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握这些知识点是关键． （1）根据方差公式可得m的值，再根据平均数和方差的意义解答即可； （2）先求出当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，再根据两人10次成绩判断即可； （3）根据两人10次成绩判断即可． 解：（1）解：由题意得：， 两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定； （2）选甲更合适，理由如下： 因为当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为：（分）， 在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6，乙只有1次超过89.6，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适； （3）选甲更合适，理由如下： 从数据可以看出，甲的成绩呈明显上升趋势，而乙的成绩保持稳定，因此甲的发展潜能更大，所以选甲更合适． 【变式2】（重庆市开州区德阳初中教育集团2025-2026学年上学期第三次学业水平测试九年级数学试卷）今年12月学校组织学生进行安全教育竞赛，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：；；；），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，85，85，85，85，86，88，89． 九年级20名学生竞答成绩是：65，67，72，79，83，85，87，87，88，89，89，89，89，90，91，94，97，99，100，100． 八、九年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 87 a 85 九年级 87 88 b 八年级所抽取学生竞答成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生安全教育竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生600人，九年级有学生700人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1）87，89，15；（2）九年级学生安全教育竞赛的成绩较好，理由见详解；（3）485人 【分析】本题考查了众数、中位数的计算，统计量的意义及用样本估计总体． （1）根据众数、中位数的定义及扇形统计图的相关知识来求解即可； （2）通过比较两个年级成绩的中位数来判断哪个年级成绩更好； （3）利用样本中不低于90分的人数比例来估计总体中优秀的人数即可． 解：（1）解：在八年级所抽取学生中，成绩中位数为第10、11位学生成绩之和的平均数， ∴八年级A组成绩人数为：（人）， ∴第10、11位学生成绩分别为：88分、86分， ∴， 在九年级学生成绩中，出现成绩次数最多的是89分，共4次， ∴， 在八年级所抽取学生中，B组成绩人数占比为：， ∴C组成绩人数占比为：，即， 故答案为：87，89，15． （2）解：九年级学生安全教育竞赛的成绩较好， 理由：因为两个年级的平均数相同，但九年级学生的中位数大于八年级，所以九年级学生的安全教育竞赛成绩较好． （3）解：在九年级中成绩不低于90分的人数占比为：， ∴该校九年级成绩不低于90分的学生人数为：（人）， 该校八年级成绩不低于90分的学生人数为：（人）， ∴总人数为：（人）． 【★★★题型 12】统计量与统计图综合压轴题 【例题12】（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： （1）请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． （2）观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ （3）如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】（1）第一组：；；第二组：，；第三组：，；（2）因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小；（3）见分析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 解：（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 【变式1】（2025·浙江温州·三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 （1）填空：______，______；______； （2）如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）人；（3）八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见分析． 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据七年级人的得分可求出；根据扇形统计图和组得分可得出和； （）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可； （）根据平均数，众数和中位数的意义． 解：（1）解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普检测中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 （1）根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】（1）；（2）①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 解：（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $