精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学期末考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（ ） A 11.5 B. 12 C. 12.5 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的求法，可得值，根据百分位数的求法，即可得答案. 【详解】由题意平均数：，解得：， 则这组数按从小到大排列为：，共个， 则， 所以第百分位数为， 故选：C. 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 6. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数性质并且结合图象求解即可. 【详解】对于A，B，由图象结合指数函数性质得， 且对于，当时，， 则，故A正确，B错误， 对于C，由指数函数性质结合图象得， 则，与图象不符，故C错误， 对于D，由指数函数性质结合图象得， 对于，当时，，则， 与图象不符，故D错误. 故选：A 7. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【详解】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案. 【详解】由题意得，即，两边取对数得 ，故， 故的最小值为15. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. M的子集个数为4 D. M的子集个数为8 【答案】BD 【解析】 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若（）是关于x的方程的四个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 方程有6个不相等的实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数作出其图象，利用图象的对称性和翻折特点，利用函数与方程的思想，根据各选项逐一分析，推理计算即可. 【详解】 如图作出函数图象. 对于A，关于x的方程有四个不相等的实数根， 即函数与有四个不同的交点， 因为 ，故有，即A正确； 对于B，由图知，由可得 ， 即，整理得，故有，即B正确； 对于C，由图知，因为， 由可得， 当且仅当时等号成立，故，即，故C错误； 对于D，设，则，由图知该方程有三个实根为2和，满足， 又由图知方程无实根；方程有2个实根； 方程有4个实根，故方程有6个不相等的实数根，即D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式与韦达定理求解即可. 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 13. 若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 【答案】0或1 【解析】 【分析】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值． 【详解】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设，得到函数的值域，进而得到函数的值域，再根据正整数的最大值为5，列不等式求解实数的取值范围. 【详解】设函数， 因为，所以， 所以，则. 当时，，所以. 要使得正整数的最大值为5，则， 解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为方程有两个不相等的正数解，结合根与系数的关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，分和，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 【答案】（1），偶函数 （2）当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论；  （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【小问1详解】 由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 17. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【小问1详解】 由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 18. 记双曲正弦函数双曲余弦函数其中为自然对数的底数. （1）证明：； （2）已知函数， ①方程在上有且仅有一个实数解，求的取值范围； ②解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）将双曲正、余弦函数解析式分别代入式子左边与右边，计算化简得相同结果即证； （2）①利用整体换元，将问题转化为方程在 根的分布问题，结合函数图象开口、对称轴、判别式及区间端点值进行分类讨论求解；②仍利用整体换元、分解因式将不等式转化为，方程根的大小及与区间的关系，分类讨论根的变化求解不等式可得. 【小问1详解】 证明：左边； 右边 ， 故式子左边右边，得证. 【小问2详解】 ① ， 令，由（1）得：， 又因为， 所以， 则有，令 即，由在区间上单调递增， 可得，即， 由题意，关于的方程在上有且仅有一个或两相等实根， 令，则函数图象开口向上，对称轴， 判别式， 且有，，. 首先，由可得或. （i）当，即时，方程为， 解得，或，而，故不满足题意； （ii），即时，方程为， 解得，且，故不满足题意； （iii）当，即时， 则由，，且图象开口向上， 可知上有且仅有一个实根，另一根在内，满足题意； （iv）当且，即时， 当时，函数对称轴，且，即， 由零点存在性定理可知在与内各有一根，不满足题意； 当时，，， 故在内有两相等实根，满足题意； 当时，，， 故在内无实根，不满足题意； 当时，函数对称轴，且，即， 可知在内无实根，不满足题意； （v）当且，即时， 可知在内无实根，不满足题意； 综上所述，或，故的取值范围为. ②不等式即， 可化为不等式， 将，代入， 得， 化简得解不等式，令， 则不等式可化为， ， （i）当时，，则不等式 ， 解得或，由或，解得或； （ii）当时，，不等式 即， 解得，且，由解得； （iii）当时，，不等式 ， 解得或，由或，解得或； （iv）当时，不等式 ，由，解得， 由，解得； 综上所述，当时， 所求不等式的解集为或 ； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为或； 当时，所求不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于分类讨论思想的应用，如第（2）问中考查二次方程根的分布，需要综合考虑判别式、端点值符号及对称轴与区间的关系，对参数分类讨论求解. 19. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一的零点x0，且恒成立. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可； （2）由在上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的， 由化简后可得，利用均值不等式及等号成立条件即可得证. 【小问1详解】 当时，，由可得， 解得，即， 故不等式的解为. 【小问2详解】 因为与均为增函数， 所以在上单调递增， 当时，， ， 所以存在唯一的，使得， 即函数有唯一零点， 所以，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当与时等号成立. 当时，由知，即，所以等号不成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知一组数据：的平均数为.则该组数据的分位数为（ ） A. 11.5 B. 12 C. 12.5 D. 13 5. 已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. M的子集个数为4 D. M的子集个数为8 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知函数，若（）是关于x的方程的四个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 方程有6个不相等的实数根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 13. 若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 17. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 18. 记双曲正弦函数双曲余弦函数其中为自然对数底数. （1）证明：； （2）已知函数， ①方程在上有且仅有一个实数解，求的取值范围； ②解关于不等式：. 19. 已知函数，. （1）当时，解不等式； （2）证明：当时，函数有唯一零点x0，且恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $