1.1 三角形内角和定理 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第1节 三角形内角和定理 第1课时 三角形的外角 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.能准确识别三角形的外角,并画出三角形的所有外角. 2.理解三角形外角的两个推论,并能结合三角形内角和定理完成证明. 3.会运用三角形外角的推论，解决角的数量关系证明、平行关系判定等简单几何问题. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题：观察上面美丽的图案，能让你产生哪些思考？ 4 问题构建 问题1:图中的∠1和∠2满足怎样的关系？你的依据是什么？ 位置关系：相邻 数量关系：互补 依据是平角的定义，∠1和∠2是一对邻补角. 追问1:观察右边的图形，你能否找到和问题1中类似的角？ ∠1和∠4，相邻且和为180°. 追问2:我们知道∠4是△ABC的一个内角，从三角形的角度观察，对∠1的命名你有怎样的猜想？ ∠1是∠4的外侧的角，且与∠4具有互补关系 问题构建 追问3:再次观察这2组角，说说它们有怎样的区别与联系？ 从数量关系来着：两组图形中的两个角和都是180° 从位置来看：左图中∠1与∠2邻补角的定义只针对两条相交直线；右图中的∠1与∠4必须在三角形条件下，两个的位置有区别，一个在三角形内部，另一个在三角形外部. 问题构建 问题2：如图,∠1是△ABC的一个外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？ △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角. 三角形外角的定义 三角形三个内角，一共有6个外角.∠4的外角是∠1与∠5；∠2的外角是∠6与∠7；∠3的外角是∠8与∠9. 问题构建 问题3:观察下图，∠1与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流. ∠1 与图中其他角的关系主要有： 与∠4 的关系：∠1与∠4 互为邻补角，即∠1+∠4=180°. 与∠2、∠3 的关系：∠1等于∠2与∠3 的和，即∠1=∠2+∠3. 大小关系：∠1大于任何一个与它不相邻的内角，即∠1＞∠2,∠1＞∠3. 问题构建 追问：如图，在△ABC中，∠1是∠4的外角， 求证： （1）∠1=∠2+∠3 （2）∠1＞∠2，∠1＞∠3 证明：（1）在△ABC中 ∵∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和等于180°） ∵∠1+∠4=180°（平角的定义） ∴∠1=∠2+∠3 （2）由（1）得：∠1=∠2+∠3 ∴∠1＞∠2，∠1＞∠3 协作破冰 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 由此可得 推论 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,已知∠A=50°，∠B=65°,则∠ACD=_____°，不计算即可可判断∠ACD > _____° 115 65 像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫作这个基本事实或定理的推论. 协作破冰 例2:已知：如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC 求证:AD∥BC 分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC？ 证明：​∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C ∴ ∠C= ∠EAC ∵ AD平分∠EAC ∴ ∠DAC= ∠EAC ∴ ∠DAC=∠C ∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行) 你还有其他的证明方法吗？ 协作破冰 已知：在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC 证明：​ ∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C ∴ ∠EAC=2∠B ∵ AD平分∠EAC ∴ ∠EAD=∠EAC ∴ ∠EAD=∠B ∴ AD∥BC (同位角相等，两直线平行) ​ ​ 协作破冰 例3：已知：如图,P是△ABC 内一点,连接 PB，PC. 求证：∠BPC＞∠A. 问题4:你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？ 追问1:你遇到的困难是什么？ 三角形外角推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，不能直接使用. 困难在于∠BPC和∠A不在同一个三角形中，缺少能关联二者的角的桥梁. 教师示范 追问2:你能通过添加辅助线,构造出直接使用相关定理的图形吗？ 延长BP交AC于点D 构造外角 证明: 如图,延长BP交AC于点D, ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）, ∴ ∠BPC>∠PDC (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵ ∠PDC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴ ∠BPC＞∠A 你还有别的证明方法吗？ 教师示范 方法二： 辅助线:连接AP并延长,交BC于点 E 证明： 在△ABP中,∠BPE是外角（外角的定义） ∴∠BPE＞∠BAP(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) 在△ACP中,∠CPE是外角（外角的定义） ∴∠CPE＞∠CAP (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴∠BPE+∠CPE＞∠BAP+∠CAP ∵∠BPE+∠CPE=∠BPC,∠BAP+∠CAP=∠BAC=∠A ∴∠BPC＞∠A 巩固拓展 如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,那么∠1,∠2,∠3的和是多少度？ ∠1+∠2+∠3=360° 问题5:观察上面的结论，你有怎样的猜想？ 三角形的外角和等于360°. 追问1:你是怎样计算的？ 方法一：同一组内角和外角的和是180°，3组共计180°×3=540°，内角和为180°，外角和等于：540°-180°=360°. 巩固拓展 三角形外角的两个推论是初中几何证明角相等、角的和差关系的关键工具——这是邻补角知识完全无法替代的. 方法2： 每一个外角都等于不相邻两内角的和，三个外角之和等于一组内角和的两倍. 如右图： ∵∠1=∠A+∠C ∠2=∠A+∠B ∠3=∠B+∠C ∴∠1+∠2+∠3= ∠A+∠C+∠A+∠B+∠B+∠C =2(∠A+∠B+∠C) =2×180° =360° 当堂检测 1.如图，在，，中，是 外角的 是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ，， 当堂检测 2.如图，的边的延长线上有一点， 为边上一点， 连接交 于点E.若 ， ， ，求 的度数. 解： ， ， . 又 ， . 当堂检测 3.如图所示，在中，是边上一点，， ， ，则 _____. 当堂检测 4.已知：如图，在中， .求证： . 证明：方法一：由于，延长至点 ，使 ，连接 . ， . 是 的一个外角， . . ， . 方法二：在边上截取，连接 ，证明略. 反思总结 1.推导三角形外角推论的过程中,我们用到了哪些已学的旧知识？这些旧知识是如何帮我们得出新结论的？ 2.三角形外角的两个推论,分别能帮我们解决哪些类型的几何问题？ 3.当直接证明角的关系有困难时,我们可以通过什么方法构造外角,从而利用推论解题？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第6页 第1，2题 二、素养类作业 借助外角的知识，尝试设计一幅美丽的图案 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $