精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

莎车县2025－2026学年第一学期期末测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，每小题只有一个正确答案）． 1. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 从只有黄球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个圆，它是中心对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 6. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　） A. B. C. D. 8. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2025年投入3000万元，预计2027年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 10. 已知和关于原点对称，则________． 11. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球_______个． 12. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 13. 一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的弧长是_______． 14. 如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，列出方程得_______． 15. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时在答题卡的相应位置处写出必要的文字说明，证明过程或演绎步骤）． 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在四边形中，，与相交于点O，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 19. 《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时，也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B.“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C.“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D.“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”． 两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”的概率是________； （2）小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 20. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 21. 组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． （1）如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ （2）写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； （3）经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 22. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 23. 中考体育考试规定男生立定跳远满分为，如图①，小勇立定跳远为，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离地面的最高距离为，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高点为B． （1）求小勇跳远时抛物线的表达式； （2）体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了处，并在处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为． ①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度； ②若男生立定跳远及格线为，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莎车县2025－2026学年第一学期期末测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，每小题只有一个正确答案）． 1. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形;根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题关键． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，反面向上 B. 从只有黄球的袋子中摸出红球 C. 任意画一个圆，它是中心对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件的定义． 根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：投掷一枚硬币，反面向上可能发生，是随机事件； 选项B：袋子中只有黄球，摸出红球必然不会发生，是不可能事件； 选项C：圆总是中心对称图形，是必然事件； 选项D：射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，是随机事件； 只有选项B是不可能事件． 故选：B． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式， 计算求值即可； 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且，16-4（k-1）≥0， 解得：且． 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 4. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数图象上的点满足横纵坐标之积等于k，代入点坐标求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 5. 已知，，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：A． 6. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故选：A 7. 如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 证明，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直径，， ， ， ， 故选：D． 8. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2025年投入3000万元，预计2027年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年平均增长率问题． 设年平均增长率为x，则一年后投入为万元，两年后投入为万元，据此列方程即可． 【详解】解：∵从2025年到2027年经过2年，且年平均增长率为x， ∴2026年投入为万元， 2027年投入为万元， 又∵预计2027年投入5000万元， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确； ②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1）， 当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）， （1）+（2）×2得：6a+3c＜0， 即2a+c＜0， 又∵a＜0， ∴a+（2a+c）=3a+c＜0， 故②错误； ③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确； ④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确； ⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 10. 已知和关于原点对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是． 【详解】解：和关于原点对称， ，， 则． 故答案为：1． 11. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率的求法，熟练掌握概率计算公式是解决此题的关键． 设红球有n个，根据概率公式列出方程求解． 【详解】解：设红球有n个，则总球数为个． 摸到红球的概率为． 解得． 经检验符合题意． 故答案为：3． 12. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的弧长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：． 由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：扇形的弧长是． 故答案为． 14. 如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 若每一轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，列出方程得_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用中传染问题．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，然后可列方程． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 故答案为：． 15. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值． 详解：依照题意画出图象，如图所示． ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴△ABO为等边三角形， ∵⊙O的半径为1， ∴OM=1， ∴BM=AM=， ∴AB=， ∴S=6S△ABO=6×××1=2． 故答案为2. 点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时在答题卡的相应位置处写出必要的文字说明，证明过程或演绎步骤）． 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法、因式分解法、直接开平方法是解题的关键． （1）移项后运用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解； （3）利用配方法求解即可； （4）将方程通过移项，利用提取公因式法进行因式分解求解． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 【小问3详解】 解： 或 ∴， 【小问4详解】 解：， ， 或， ∴，． 17. 如图，在四边形中，，与相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质． 根据得到，，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形，一次函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别作出点向左平移5个单位后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕原点O旋转后得到的点，再顺次连接即可； （3）连接，交点即为对称中心，再求出直线和直线的表达式，然后求出交点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交点即为对称中心， 可得，，， 设直线， 则， 解得， ∴直线； 同理可求直线， ∴， 解得， ∴与关于点中心对称， 故答案为：． 19. 《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时，也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A.“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B.“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C.“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D.“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”． 两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． （1）从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”的概率是________； （2）小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出相应的树状图，然后即可求得抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：四张卡片中只有B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．” D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．” 出自同一首诗， 画树状图如下： 由上可得，共有12种等可能结果，其中他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果有2种， ∴他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率为． 20. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数，反比例函数 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解函数解析式，图形面积的计算以及函数图象解不等式的解集，根据点与函数的关系可求解点的坐标与函数解析式，再观察图像得到函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点代入中可求解m的值，再将点代入中可求解n的值，再将点A与点B代入中即可求解k与b的值； （2）先求出一次函数与y轴的交点，即点D，再根据即可求解； （3）不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，观察函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴点， 将点与点代入中， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴点， 又∵点，点， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，当时， 不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值， ∴或． 21. 组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． （1）如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ （2）写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； （3）经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】（1）6； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【小问1详解】 如果有四个队参赛，则需要打： 场； 【小问2详解】 总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； 【小问3详解】 设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问2详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 23. 中考体育考试规定男生立定跳远满分为，如图①，小勇立定跳远为，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离地面的最高距离为，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高点为B． （1）求小勇跳远时抛物线的表达式； （2）体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了处，并在处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为． ①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度； ②若男生立定跳远及格线为，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，设小勇跳远时抛物线的表达式，代入即可求解； （2）由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过，，设调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线为，将代入表达式可得，当时，有最大值0.625，即可求得答案； ②令时，求得即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， ∵点为最高点，则 ∴， 设小勇跳远时抛物线的表达式， 将代入表达式可得：，解得：， ∴小勇跳远时抛物线的表达式为：， 即：； 【小问2详解】 ①由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过，， 设调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线为， 将代入表达式可得：，解得：， ∴， 当时，有最大值0.625， ∴小勇跳到最高处时脚离地面的高度； ②当时，， ∴求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的而运用，根据自变量的值求函数值的运用，解答时灵活运用解析式求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $