3.2图形的旋转（二）讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦图形的旋转（二）核心内容，系统梳理中心对称的定义、性质，中心对称图形的概念及两者区别联系，衔接旋转知识，通过课前预习、课堂探究（定义辨析、性质推导、图形应用）、作图与坐标变换，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料特色在于融入天问四号、剪纸、书法等生活与科技实例，通过观察操作、核心理解等探究活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），易错区分与逻辑推导强化推理意识（数学思维），课堂检测与分层作业设计助力课中教学实施和课后查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

2025-2026学年北师大版八年级数学下册 《第三章图形的平移与旋转第二节图形的旋转（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解中心对称的定义，能准确识别生活中的中心对称图形，明确中心对称与中心对称图形的区别与联系。 2.掌握中心对称的性质，能利用性质解决线段相等、角相等、点的坐标变换等相关问题。 3.学会作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形，提升动手操作与逻辑推理能力。 4.能运用中心对称的知识解决实际问题，体会图形变换在数学中的应用价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.中心对称的定义和性质。 2.作出图形关于某点的中心对称图形。 （二）难点 1.区分中心对称与中心对称图形的概念。 2.利用中心对称的性质进行复杂图形的变换与计算。 ) 三．课前预习 1.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______。 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过______，并且被对称中心______；对应线段______且______；对应角______。 3.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______。 4.常见的中心对称图形有______、、（至少写出3个）。 5.点 A(x,y) 关于原点成中心对称的点 A' 的坐标为______。 【答案】1.180；重合；对称中心；对称点 2.对称中心；平分；平行；相等；相等 3.180；重合；对称中心 4.平行四边形；矩形；菱形（或正方形、圆等，答案不唯一）5.(-x,-y) 四．课堂探秘 探究一：中心对称的定义 观察，左上图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)重合?观察右上图，再试一试.你还能举出一些类似的例子吗?与同伴交流. 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称，点O是它们的对称中心. 2.核心理解（抓3个关键+2个易错点） （1）三个关键条件（缺一不可） ①旋转角度：必须是180°（不是90°、270°等其他角度）； ②旋转中心：存在唯一的一个点（对称中心），旋转围绕该点进行； ③结果：旋转后两个图形完全重合（对应边、对应角、对应点均重合）。 （2）两个易错区分 ①与“中心对称图形”的区别：中心对称研究“两个图形”的关系，中心对称图形研究“一个图形”的性质（绕自身某点旋转180°与自身重合）； ③与“旋转对称”的区别：旋转对称只需旋转某个角度（不一定是180°）就能重合，中心对称是旋转对称的特殊情况（旋转角固定为180°）。 探究二：中心对称的性质 1.操作： 如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°，得到△A'B'C'， 观察图中的两个三角形形，你能发现什么? 2.中心对称的性质 （1）对应点性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段必经过对称中心，且被对称中心垂直平分（核心中的核心，可用于求对称点、确定对称中心）。 （2）对应线段与角性质：对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等（与全等图形性质一致，可用于线段、角度计算）。 （3）图形整体性质：两个成中心对称的图形全等（面积、周长、形状完全相同），且它们的对应图形也关于该点成中心对称。 探究三：中心对称图形 观察下图，这些图形有什么共同特征?你还能举出一些类似的图形吗? 1.定义 把一个图形绕着自身某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 2.性质 （1）对称中心是图形内唯一的点，所有对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分； （2）对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等； （3）过对称中心的直线能将图形分成两个全等的部分（这两部分关于对称中心成中心对称）； （4）中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形（旋转角需为180°才是）。 3.常见实例 （1）几何图形：平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正六边形、线段、偶数边正多边形； 【易错辨析】：等边三角形、正五边形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形。 （2）科技场景：2025年“天问四号”拍摄的火星环形山简化图形、智能机械臂对称结构； （3）传统文化：剪纸中的“回”字、书法中的“田”字、古建筑窗格中的平行四边形图案； （4）学生生活：黑板报中的正六边形边框、数学教具中的平行四边形、方格纸中的圆形图案。 探究三：中心对称与中心对称图形的区别与联系 1.区别 维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 定义 把一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合 把一个图形绕自身某点旋转180°后与自身重合 维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 2.联系 （1）本质相通：两者都满足“旋转180°后重合”的核心特征，中心对称图形是中心对称的特殊情况（两个图形重合为一个图形）。 （2）性质共享：都具有“对应点连线过对称中心且被平分”“对应线段平行且相等”等性质。 （3）相互转化：若把成中心对称的两个图形看作一个整体，这个整体就是中心对称图形；若把中心对称图形沿对称中心分成两部分，这两部分关于该点成中心对称。 3.一句话记忆： 中心对称：两个图，转180°重合； 中心对称图形：一个图，转180°与自己重合 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(　　) A. B. C. D. 2.2025年我国“天问四号”探测器成功拍摄火星环形山地貌，某环形山的简化平面图形是中心对称图形，下列关于该图形的说法正确的是（ ） A. 绕对称中心旋转90°后与自身重合 B. 对称点连线不经过对称中心 C. 绕对称中心旋转180°后与自身重合 D. 只有1个对称点 3.下列说法错误的是(　　) A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点 B.中心对称图形一定有对称轴 C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分 D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分 4.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　) A.赵爽弦图　B.笛卡儿心形线 C.科克曲线　 D.斐波那契螺旋线 5.古诗词“大漠孤烟直，长河落日圆”描绘的意境中，“圆”（太阳）作为中心对称图形，其对称中心是（ ） A. 圆上任意一点 B. 圆心 C. 直径的端点 D. 圆内任意一点 6.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(　　) A.(2,3)　 B.(-3,2)　 C.(-3,-2)　D.(-2,-3) 7.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是(　　) 图1　　图2 A.①　B.② C.③　D.④ 8.剪纸艺术中，某图案取材于古诗“曲径通幽处”，该图案是中心对称图形但不是轴对称图形，下列选项中符合该特征的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形 9.书法作品中“回”字的结构对称优美，关于“回”字的图形性质，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形，不是轴对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形，也是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 10.在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点的坐标为（　 ） A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3) （二）．填空题 11.2025年嫦娥六号带回月壤样品，科研人员用全等的两个三角板模拟月壤分层结构，若把其中一个三角板绕某点旋转180°后与另一个完全重合，则这两个三角板关于该点成______。 12.2026年“中国天眼”FAST发现新脉冲星，其观测数据图表中，若点A（2，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为______。 13.若点M(a+1,2b-3)与点N(2a+1,b-1)关于原点对称,则a-b=　　　　.  14.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,有以下结论:①点A与点A'是对称点;②BO=B'O;③AB∥A'B';④∠ACB=∠C'A'B',其中正确结论的个数为　　　　.  15.传统文化“八雅”之棋类中，围棋棋盘的中心点为对称中心，若棋盘上一点P与点Q成中心对称，则PQ连线必经过该中心点且被中心点______。 16.2025年“人造太阳”EAST实现技术突破，其核心部件的两个全等圆形零件关于某点成中心对称，已知其中一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为______cm。 17．在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转后得到点Q，则点Q的坐标是___________． 18．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ______（填序号）． 19如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是___2______． 20．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2025A2026B2026的顶点A2026的坐标是___ （三）．解答题 21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2). (1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1; (2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是　　　　;  (3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标; (4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标:　　　　.  22．阅读与思考，请阅读下列材料，并完成相应的任务． 旋转对称图形 观察右图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合． 一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心． （1）中心对称图形　 　旋转对称图形．（填“是”或“不是”） （2）下列图形中不是旋转对称图形的有　 　，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有　 　，旋转72°能够完全重合的图形有　 　． A． B． C． D． E． 23.如图，图中出现的角都是直角. (1)画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分(给出三种画法). (2)符合(1)中要求的直线有多少条?如果只有三条，请说明理由；如果超过三条，请画出另一种图出来. 24．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图： （1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上． （2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上． （3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上． 25.在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 　　　　； （3）△A3B3C3是△ABC绕A点旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为　　　　； （4）AC上找一点F，使BF平分△ABC的面积，利用网格在AC上标出点F． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______。 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过______，并且被对称中心______；关于中心对称的两个图形是______图形。 3.判定两个图形关于某点成中心对称的方法：如果两个图形的对应点所连线段都经过某一点，并且被这一点______，那么这两个图形关于这一点成中心对称。 4.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______。 5.中心对称图形的性质：中心对称图形的对应点所连线段经过______，并且被______平分；中心对称图形是______图形（填“轴对称”或“中心对称”）。 6.常见的中心对称图形有______、______、______（至少写出3个）。 7.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是指______个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指______个图形自身的形状特征。 8.若点 A(x,y) 关于原点 O 成中心对称的点为 A' ，则点 A' 的坐标为______。 9.线段是中心对称图形，它的对称中心是______；平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是______。 10.既是中心对称图形又是轴对称图形的常见图形有_____、_____、_____（至少写出3个）。 （二）强化训练 一．选择题 1.我国2025年建成的“超级天眼”射电望远镜的反射面为中心对称图形，下列关于该反射面的性质正确的是（ ） A. 对应线段不相等 B. 对应角互补 C. 对称中心是对应点连线的中点 D. 对应线段互相垂直 2.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图,则下列结论正确的是( ) A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上 3.2026年全球人工智能大会展示的“智能机械臂”可精准完成对称操作，机械臂末端点P（3，-5）关于坐标原点成中心对称的点P'坐标是（ ） A. （3，5） B. （-3，5） C. （-3，-5） D. （5，-3） 4.古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美.下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). 5.八年级学生制作的数学手抄报中，有一个图案是两个全等的三角形，若这两个三角形成中心对称，则下列条件必须满足的是（ ） A. 绕某点旋转60°后重合 B. 对应边互相垂直 C. 对称中心是对应顶点连线的中点 D. 对应角互余 6.班级组织“图形变换”主题活动，小明将点A（-2，4）绕某点旋转180°后得到点A'（2，-4），则该旋转中心是（ ） A. （0，0） B. （-2，-4） C. （2，4） D. （0，2） 7.小组合作学习中，同学发现将△ABC绕点O旋转180°后得到△A'B'C'，若AB=5cm，∠A=60°，则A'B'和∠A'的度数分别是（ ） A. 5cm，60° B. 5cm，120° C. 10cm，60° D. 10cm，120° 8．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ B ） A． B． C． D．x＞－3 9．在平面直角坐标系中有三个点､､，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，…，则点P2026的坐标是（ ） A． B． C． D．（0，2） 10．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（ C ） A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题 11.学生实践课上的剪纸活动中，将一张红纸剪出的图案绕某点旋转180°后与自身完全重合，则该图案是______图形。 12.2026年人形机器人亮相春晚，其关节设计采用中心对称结构，若某关节的两个对应部件为线段AB和A'B'，且AB与A'B'关于点O成中心对称，则AB与A'B'的位置关系是______。 13．如图的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对. 14.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为　　　　　.  15.古诗词“笔走龙蛇书艺高”描述书法之美，将“龙”字的书法图案绕某点旋转180°后能与另一个“龙”字图案重合，则这两个图案的对应角______。 16.2025年“奋斗者”号完成北极深潜科考，其潜航器的某个矩形观测窗的对角线交点为O，该矩形关于点O成中心对称，若矩形的一边长为4dm，则其对应边长为______dm。 17.2025年量子计算机“祖冲之三号”算力突破，其芯片上的两个电路元件关于某点成中心对称，若这两个元件构成的图形周长为12mm，则其中一个元件的周长为______mm。 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4……按此作法进行下去，则点P2026的坐标为____． 19．已知，点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则2a+b＝_____． 20．如图，是正方形的中心，是内一点，，将绕点旋转180°后得到．若，，则的长为______． 三．解答题 21.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上.请解答下列问题: (1)将△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE1F1; (3)△A1B1C1与△DE1F1是否关于某点成中心对称?若是,画出对称中心M. 22．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）． （1）求对称中心的坐标． （2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标． 23.图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色. (1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形; (2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形; (3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形. 图① 图② 图③ 24.我们规定：若O是线段MN的中点，则称点M关于点O的对称点是N(或称点M与点N关于点O成中心对称)；若直线n是线段MN的垂直平分线，则称点M关于直线n的对称点是N(或称点M与点N关于直线n成轴对称)．如图，现有石头A和石头B关于竹竿l对称，石头A与石头B相距80 cm，一只电子青蛙位于点P，与石头A相距30 cm，与竹竿l相距30 cm，它按照如下指令：第一跳落于点P1，点P与点P1关于点A成中心对称；第二跳落于点P2，点P2与点P1关于竹竿l成轴对称；第三跳落于点P3，点P3与点P2关于点B成中心对称；第四跳落于点P4，点P4与点P3关于竹竿l成轴对称……像这样一直跳下去．(1)画出这只青蛙前四跳的运动路线，并求点P4与点P1的距离． (2)若每跳25下休息一次，求电子青蛙第三次休息点与点P的距离． 25.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A、B、C、D的坐标分别为(7,8)、(2,8)、(10,4)、(5,4). (1)以点 D 为旋转中心,将△ABC 旋转180°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁; (2)直接写出以B、C₁、B₁、C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点 E，使得射线 AE 平分∠BAC,写出点 E 的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下册 《第三章图形的平移与旋转第二节图形的旋转（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解中心对称的定义，能准确识别生活中的中心对称图形，明确中心对称与中心对称图形的区别与联系。 2.掌握中心对称的性质，能利用性质解决线段相等、角相等、点的坐标变换等相关问题。 3.学会作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形，提升动手操作与逻辑推理能力。 4.能运用中心对称的知识解决实际问题，体会图形变换在数学中的应用价值。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.中心对称的定义和性质。 2.作出图形关于某点的中心对称图形。 （二）难点 1.区分中心对称与中心对称图形的概念。 2.利用中心对称的性质进行复杂图形的变换与计算。 ) 三．课前预习 1.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______。 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过______，并且被对称中心______；对应线段______且______；对应角______。 3.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______。 4.常见的中心对称图形有______、、（至少写出3个）。 5.点 A(x,y) 关于原点成中心对称的点 A' 的坐标为______。 【答案】1.180；重合；对称中心；对称点 2.对称中心；平分；平行；相等；相等 3.180；重合；对称中心 4.平行四边形；矩形；菱形（或正方形、圆等，答案不唯一）5.(-x,-y) 四．课堂探秘 探究一：中心对称的定义 观察，左上图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)重合?观察右上图，再试一试.你还能举出一些类似的例子吗?与同伴交流. 【解析】左上图中的“9”绕着某一点旋转180°后，就可以与“6”完全重合，这两个图形关于该点成中心对称。右上图分析右上图中的“F”绕着某一点旋转180°后，就可以与“F”完全重合，这两个图形也关于该点成中心对. 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称，点O是它们的对称中心. 2.核心理解（抓3个关键+2个易错点） （1）三个关键条件（缺一不可） ①旋转角度：必须是180°（不是90°、270°等其他角度）； ②旋转中心：存在唯一的一个点（对称中心），旋转围绕该点进行； ③结果：旋转后两个图形完全重合（对应边、对应角、对应点均重合）。 （2）两个易错区分 ①与“中心对称图形”的区别：中心对称研究“两个图形”的关系，中心对称图形研究“一个图形”的性质（绕自身某点旋转180°与自身重合）； ③与“旋转对称”的区别：旋转对称只需旋转某个角度（不一定是180°）就能重合，中心对称是旋转对称的特殊情况（旋转角固定为180°）。 探究二：中心对称的性质 1.操作： 如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°，得到△A'B'C'， 观察图中的两个三角形形，你能发现什么? 【解析】△ABC与△A'B'C'成中心对称，点O是它们的对称中心. （1）对应点与对称中心的关系：点 A 与 A' 、 B 与 B' 、 C 与 C' 的连线都经过对称中心 O ，且 OA = OA' ， OB = OB' ， OC = OC' （对应点所连线段被对称中心平分）。 （2）对应线段与角的关系：AB ∥ A'B' 且 AB = A'B' ， BC ∥ B'C' 且 BC = B'C' ， AC ∥A'C' 且 AC = A'C' ； ∠BAC = ∠B'A'C'，∠ABC = ∠A'B'C'，∠ACB = ∠A'C'B'。 （3）图形整体关系：△ABC与△A'B'C'关于点 O 成中心对称，两个三角形全等，且整个图形是中心对称图形。 2.中心对称的性质 （1）对应点性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段必经过对称中心，且被对称中心垂直平分（核心中的核心，可用于求对称点、确定对称中心）。 （2）对应线段与角性质：对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等（与全等图形性质一致，可用于线段、角度计算）。 （3）图形整体性质：两个成中心对称的图形全等（面积、周长、形状完全相同），且它们的对应图形也关于该点成中心对称。 探究三：中心对称图形 观察下图，这些图形有什么共同特征?你还能举出一些类似的图形吗? 1.定义 把一个图形绕着自身某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 2.性质 （1）对称中心是图形内唯一的点，所有对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分； （2）对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等； （3）过对称中心的直线能将图形分成两个全等的部分（这两部分关于对称中心成中心对称）； （4）中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形（旋转角需为180°才是）。 3.常见实例 （1）几何图形：平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正六边形、线段、偶数边正多边形； 【易错辨析】：等边三角形、正五边形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形。 （2）科技场景：2025年“天问四号”拍摄的火星环形山简化图形、智能机械臂对称结构； （3）传统文化：剪纸中的“回”字、书法中的“田”字、古建筑窗格中的平行四边形图案； （4）学生生活：黑板报中的正六边形边框、数学教具中的平行四边形、方格纸中的圆形图案。 探究三：中心对称与中心对称图形的区别与联系 1.区别 维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 定义 把一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合 把一个图形绕自身某点旋转180°后与自身重合 维度 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的位置关系 一个图形自身的性质 2.联系 （1）本质相通：两者都满足“旋转180°后重合”的核心特征，中心对称图形是中心对称的特殊情况（两个图形重合为一个图形）。 （2）性质共享：都具有“对应点连线过对称中心且被平分”“对应线段平行且相等”等性质。 （3）相互转化：若把成中心对称的两个图形看作一个整体，这个整体就是中心对称图形；若把中心对称图形沿对称中心分成两部分，这两部分关于该点成中心对称。 3.一句话记忆： 中心对称：两个图，转180°重合； 中心对称图形：一个图，转180°与自己重合 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】选项A,两图形间的变换是平移变换;选项B,两图形成轴对称;选项C,两图形间的变换是旋转变换,旋转的角度不为180°,不是中心对称;选项D,两图形成中心对称.故选D. 2.2025年我国“天问四号”探测器成功拍摄火星环形山地貌，某环形山的简化平面图形是中心对称图形，下列关于该图形的说法正确的是（ ） A. 绕对称中心旋转90°后与自身重合 B. 对称点连线不经过对称中心 C. 绕对称中心旋转180°后与自身重合 D. 只有1个对称点 【答案】：C 【解析】：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形，故A错误、C正确；中心对称图形的对称点连线必经过对称中心，B错误；中心对称图形有无数组对称点，D错误。 3.下列说法错误的是(　　) A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点 B.中心对称图形一定有对称轴 C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分 D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分 【答案】B　 【解析】A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点,故A中说法正确;B.中心对称图形不一定是轴对称图形,所以不一定有对称轴,故B中说法错误;C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分,故C中说法正确;D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形分成能互相重合的两部分,因此这两部分的面积相等,故D中说法正确.故选B. 4.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　) A.赵爽弦图　B.笛卡儿心形线 C.科克曲线　 D.斐波那契螺旋线 【答案】C　 【解析】A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故此选项错误,故选C. 5.古诗词“大漠孤烟直，长河落日圆”描绘的意境中，“圆”（太阳）作为中心对称图形，其对称中心是（ ） A. 圆上任意一点 B. 圆心 C. 直径的端点 D. 圆内任意一点 【答案】：B 【解析】：圆是中心对称图形，绕圆心旋转180°后与自身重合，故对称中心是圆心，选B。 6.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(　　) A.(2,3)　 B.(-3,2)　 C.(-3,-2)　D.(-2,-3) 【答案】C　 【解析】点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(-3,-2),故选C. 7.三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是(　　) 图1　　图2 A.①　B.② C.③　D.④ 【答案】D　 【解析】将等边三角形放置在④的位置,可得中心对称图形,故选D. 8.剪纸艺术中，某图案取材于古诗“曲径通幽处”，该图案是中心对称图形但不是轴对称图形，下列选项中符合该特征的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形 【答案】：C 【解析】：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形，A错误；等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B错误；平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，C正确；等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形，D错误。 9.书法作品中“回”字的结构对称优美，关于“回”字的图形性质，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形，不是轴对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形 C. 既是中心对称图形，也是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 【答案】：C 【解析】：“回”字绕中心旋转180°后与自身重合，是中心对称图形；同时有两条对称轴（水平和竖直方向），也是轴对称图形，故选C。 10.在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点的坐标为（　 ） A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3) 【答案】：A 【解析】：∵点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC∥x轴，△ABC为等腰直角三角形，BC=4，过点A作AD⊥BC与D，交x轴于E，则AD=BD=CD=2，∴OE=4，AE=3，∴A（4,3），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x-1，当x=0时，y=-1，则P（0，-1），∵△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，∴P为的中点，设（m，n），∴，解得m=-4，n=-5，∴点的坐标为（-4，-5），故选：A． （二）．填空题 11.2025年嫦娥六号带回月壤样品，科研人员用全等的两个三角板模拟月壤分层结构，若把其中一个三角板绕某点旋转180°后与另一个完全重合，则这两个三角板关于该点成______。 【答案】：中心对称 【解析】：考查中心对称的定义，核心是“绕某点旋转180°+完全重合”，符合定义的两个图形关系即为中心对称。 12.2026年“中国天眼”FAST发现新脉冲星，其观测数据图表中，若点A（2，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为______。 【答案】：（-2，-3） 【解析】：考查中心对称的坐标性质，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，故2的相反数为-2，3的相反数为-3。 13.若点M(a+1,2b-3)与点N(2a+1,b-1)关于原点对称,则a-b=　　　　.  【答案】　-2 【解析】　∵点M(a+1,2b-3)与点N(2a+1,b-1)关于原点对称,∴a+1+2a+1=0,2b-3+b-1=0, ∴3a+2=0,3b-4=0,∴3a-3b+6=0,∴a-b=-2.故答案为-2. 14.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,有以下结论:①点A与点A'是对称点;②BO=B'O;③AB∥A'B';④∠ACB=∠C'A'B',其中正确结论的个数为　　　　.  【答案】　3 【解析】∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,∴点A与点A'是对称点,BO=B'O,AB∥ A'B',故①②③正确,根据已知条件无法证明∠ACB=∠C'A'B',故④错误,故答案为3. 15.传统文化“八雅”之棋类中，围棋棋盘的中心点为对称中心，若棋盘上一点P与点Q成中心对称，则PQ连线必经过该中心点且被中心点______。 【答案】：平分 【解析】：考查中心对称的对应点性质，成中心对称的两个点，连线经过对称中心且被对称中心平分。 16.2025年“人造太阳”EAST实现技术突破，其核心部件的两个全等圆形零件关于某点成中心对称，已知其中一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为______cm。 【答案】：3 【解析】：考查中心对称的图形性质，成中心对称的两个图形全等，全等图形的对应边（或半径）相等。 17．在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点顺时针旋转后得到点Q，则点Q的坐标是___________． 【答案】： 【解析】：将点绕坐标原点顺时针旋转后得到点Q，则点Q的坐标是 故答案为： 18．在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ______（填序号）． 【答案】：②⑤⑥ 【解析】：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；②正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；③等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；④等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．⑤圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑥正八边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故答案为：② ⑤ ⑥． 19如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是___2______． 【答案】： 【解析】：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝，故答案为． 20．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2025A2026B2026的顶点A2026的坐标是___ 【答案】（4051，） 【解析】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)，∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵，，∴点A2的坐标是，∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵，，∴点A3的坐标是，∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵，∴点A4的坐标是，……，∴An的横坐标是：2n-1， 当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是，∴顶点A2026的坐标是（4051，），故答案为：（4051，）． （三）．解答题 21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2). (1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1; (2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是　　　　;  (3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标; (4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标:　　　　.  解：(1)如图,△A1B1C1即为所作. (2)如图,∵点A(-3,2)经过平移后得到点A2(-5,-2),∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度. 点B(-1,4)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后的对应点坐标为(-3,0). 故答案为(-3,0). (3)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后得到的图形,∴旋转后点A的对应点的坐标为(2,3). (4)如图,A1(3,-2),A2(-5,-2),C1(0,-2),C2(-2,-2),连接B1B2,C1C2,分别作B1B2和C1C2的垂直平分线,∵旋转中心为线段B1B2和线段C1C2的垂直平分线的交点,∴旋转中心的坐标为(-1,-2). 故答案为(-1,-2). 22．阅读与思考，请阅读下列材料，并完成相应的任务． 旋转对称图形 观察右图中的正六边形，点O是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点O旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合． 一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫它的对称中心． （1）中心对称图形　 　旋转对称图形．（填“是”或“不是”） （2）下列图形中不是旋转对称图形的有　 　，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有　 　，旋转72°能够完全重合的图形有　 　． A． B． C． D． E． 解：（1）∵中心对称图形为把一个图形绕着某一点旋转后，能够与原来的图形重合，且∴中心对称图形是旋转对称图形故答案为：是； （2）A和C选项的图形，绕着某一点旋转后，能够与原来的图形重合，是中心对称图形，也是旋转对称图形，B和D选项的图形，绕着某一点旋转后，能够与原来的图形重合，为旋转对称图形，D选项的图形，绕着某一点旋转后，能够与原来的图形重合，不是旋转对称图形，∴不是旋转对称图形的有：E；既是旋转对称图形又是中心对称图形的有：A，C旋转能够完全重合的图形有：B，D故答案为：E；A，C；B，D． 23.如图，图中出现的角都是直角. (1)画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分(给出三种画法). (2)符合(1)中要求的直线有多少条?如果只有三条，请说明理由；如果超过三条，请画出另一种图出来. 解：(1)如图(1)-(3)所示. (2)这样的直线有无数条，比如我们可以利用图(1)来画出第四种图形.如图(4)，取线段AB 的中点O，过点O作直线l4，则直线l4也能将整个图形分成面积相等的两个部分.因此这样的直线实际上有无数条. 24．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图： （1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上． （2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上． （3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上． 解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；∵AB=AG，BC=CG，∴AC⊥BG，∵△ABG的面积为，∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°． 25.在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 　　　　； （3）△A3B3C3是△ABC绕A点旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为　　　　； （4）AC上找一点F，使BF平分△ABC的面积，利用网格在AC上标出点F． 【答案】 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求，C3的坐标为（-3，-2），故答案为：（-3，-2）；（4）如图所示，点F即为所求． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______。 2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过______，并且被对称中心______；关于中心对称的两个图形是______图形。 3.判定两个图形关于某点成中心对称的方法：如果两个图形的对应点所连线段都经过某一点，并且被这一点______，那么这两个图形关于这一点成中心对称。 4.把一个图形绕着某一点旋转______°，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______。 5.中心对称图形的性质：中心对称图形的对应点所连线段经过______，并且被______平分；中心对称图形是______图形（填“轴对称”或“中心对称”）。 6.常见的中心对称图形有______、______、______（至少写出3个）。 7.中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是指______个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指______个图形自身的形状特征。 8.若点 A(x,y) 关于原点 O 成中心对称的点为 A' ，则点 A' 的坐标为______。 9.线段是中心对称图形，它的对称中心是______；平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是______。 10.既是中心对称图形又是轴对称图形的常见图形有_____、_____、_____（至少写出3个）。 【答案】 1.180；重合；对称中心；对称点 2.对称中心；平分；全等 3.平分 4.180；重合；对称中心 5.对称中心；对称中心；中心对称 6.平行四边形；矩形；菱形（或正方形、圆、正六边形等，答案不唯一） 7.两；一 8.(-x,-y) 9.线段的中点；两条对角线的交点 10.正方形；矩形；菱形（或圆、正六边形等，答案不唯一） （二）强化训练 一．选择题 1.我国2025年建成的“超级天眼”射电望远镜的反射面为中心对称图形，下列关于该反射面的性质正确的是（ ） A. 对应线段不相等 B. 对应角互补 C. 对称中心是对应点连线的中点 D. 对应线段互相垂直 【答案】：C 【解析】：中心对称图形的对应线段相等、对应角相等，A、B错误；对应线段平行（或共线）而非垂直，D错误；对称中心是所有对应点连线的中点，C正确。 2.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图,则下列结论正确的是( ) A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D在BO的延长线上 【答案】D　 【解析】AO=EO,BO=DO,但不能确定AO=BO,BO=EO,故A、B不符合题意;C.点A关于点O的对称点是点E,故本选项不符合题意;D.点D在BO的延长线上,故本选项符合题意,故选D. 3.2026年全球人工智能大会展示的“智能机械臂”可精准完成对称操作，机械臂末端点P（3，-5）关于坐标原点成中心对称的点P'坐标是（ ） A. （3，5） B. （-3，5） C. （-3，-5） D. （5，-3） 【答案】：B 【解析】：根据中心对称的坐标性质，点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）。点P（3，-5）的对称点P'坐标为（-3，5），故选B。 4.古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美.下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). 【答案】C 【解析】A.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.原图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意.故选 C. 5.八年级学生制作的数学手抄报中，有一个图案是两个全等的三角形，若这两个三角形成中心对称，则下列条件必须满足的是（ ） A. 绕某点旋转60°后重合 B. 对应边互相垂直 C. 对称中心是对应顶点连线的中点 D. 对应角互余 【答案】：C 【解析】：成中心对称的两个图形需绕对称中心旋转180°重合，A错误；对应边平行且相等，B错误；对称中心是对应点连线的中点，C正确；对应角相等，D错误。 6.班级组织“图形变换”主题活动，小明将点A（-2，4）绕某点旋转180°后得到点A'（2，-4），则该旋转中心是（ ） A. （0，0） B. （-2，-4） C. （2，4） D. （0，2） 【答案】：A 【解析】：根据中心对称性质，旋转中心是对应点连线的中点。点A（-2，4）与A'（2，-4）的中点坐标为（，）=（0，0），故选A。 7.小组合作学习中，同学发现将△ABC绕点O旋转180°后得到△A'B'C'，若AB=5cm，∠A=60°，则A'B'和∠A'的度数分别是（ ） A. 5cm，60° B. 5cm，120° C. 10cm，60° D. 10cm，120° 【答案】：A 【解析】：成中心对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。AB与A'B'是对应边，∠A与∠A'是对应角，故A'B'=AB=5cm，∠A'=∠A=60°，选A。 8．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ B ） A． B． C． D．x＞－3 【答案】B　 【解析】点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3） ∵对称点在第四象限∴解得．故选：B． 9．在平面直角坐标系中有三个点､､，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，…，则点P2026的坐标是（ ） A． B． C． D．（0，2） 【答案】B　 【解析】设P1（x，y），∵点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴=1，=-1，解得x=2，y=-4，∴P1（2，-4）． 同理可得，P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），…， ∴每6个操作循环一次．∵2026=6×337+4，∴点P2026的坐标与P4（-2，-2）相同． 10．如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（ C ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】：C 【解析】：如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应，从图中可以看出，G应该与③对应，故选C． 二．填空题 11.学生实践课上的剪纸活动中，将一张红纸剪出的图案绕某点旋转180°后与自身完全重合，则该图案是______图形。 【答案】：中心对称 【解析】：考查中心对称图形的定义，一个图形绕自身某点旋转180°后与自身重合，即为中心对称图形。 12.2026年人形机器人亮相春晚，其关节设计采用中心对称结构，若某关节的两个对应部件为线段AB和A'B'，且AB与A'B'关于点O成中心对称，则AB与A'B'的位置关系是______。 【答案】：平行（或在同一直线上） 【解析】：考查中心对称的对应线段性质，成中心对称的对应线段平行且相等（或在同一直线上）。 13．如图的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对. 【答案】4 【解析】图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对.故答案为：4 14.如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为　　　　　.  【答案】　5 【解析】　∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称,∴△DEC≌△ABC,∴∠D=∠BAC=90°, DC=AC=,DE=AB=4,∴AD=3.在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2=42+32=25,∴AE=5. 15.古诗词“笔走龙蛇书艺高”描述书法之美，将“龙”字的书法图案绕某点旋转180°后能与另一个“龙”字图案重合，则这两个图案的对应角______。 【答案】：相等 【解析】：考查中心对称的对应角性质，成中心对称的两个图形对应角相等，本质是全等图形的性质延伸。 16.2025年“奋斗者”号完成北极深潜科考，其潜航器的某个矩形观测窗的对角线交点为O，该矩形关于点O成中心对称，若矩形的一边长为4dm，则其对应边长为______dm。 【答案】：4 【解析】：考查中心对称的对应线段性质，对应线段相等，矩形的对边本身相等，结合中心对称性质可直接得出答案。 17.2025年量子计算机“祖冲之三号”算力突破，其芯片上的两个电路元件关于某点成中心对称，若这两个元件构成的图形周长为12mm，则其中一个元件的周长为______mm。 【答案】：6 【解析】：考查中心对称的图形性质，成中心对称的两个图形全等，周长相等，故单个元件周长为总周长的一半，即12÷2=6mm。 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4……按此作法进行下去，则点P2026的坐标为____． 【答案】(－2，－2) 【解析】点P1(－2，0)，P2(2，－4)，P3(0，4)，P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，每6次为一个循环．2026=337×6+4，点P2026的坐标与P4(－2，－2)相同。 19．已知，点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则2a+b＝_____． 【答案】：-1 【解析】：∵点A（a，−3）与点B（2，b）关于原点对称，∴a＝−2，b＝−（−3）＝3，∴2a＋b＝−4＋3＝−1，故答案为：−1． 20．如图，是正方形的中心，是内一点，，将绕点旋转180°后得到．若，，则的长为______． 【答案】： 【解析】：如图在正方形ABCD中延长BN交CM于E，由题意据中心对称的性质，得∠ABE=∠CDM，∠MDC与∠MCD互余，∠ABE与∠EBC互余∴∠EBC=∠DCM；同理可得∠MCB=∠ABN又∠ABN= ∠CDM∴∠MCB=∠MDC又BC=CD∴△BEC≌△CMD∴∠BEC=∠CMD=90° BE=CM=4 CE=DM=3 ∴ME=CM-CE=1，NE=BE-BN=1所以△MNE为等腰直角三角形，且∠NEM是直角，ME=NE=1，由勾股定理得故答案为：． 三．解答题 21.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上.请解答下列问题: (1)将△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE1F1; (3)△A1B1C1与△DE1F1是否关于某点成中心对称?若是,画出对称中心M. 解：(1)如图,△A1B1C1即为所求作. (2)如图,△DE1F1即为所求作. (3)△A1B1C1与△DE1F1关于某点成中心对称.点M如图所示. 22．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）． （1）求对称中心的坐标． （2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标． 解：（1）根据对称中心的性质，可得 对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5） （2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2）， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得 顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3） 23.图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色. (1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形; (2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形; (3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形. 图① 图② 图③ 解：答案不唯一,根据轴对称和中心对称定义作图即可. (1)如图①所示,整个涂色部分图形是轴对称图形,但不是中心对称图形. (2)如图②所示,整个涂色部分图形是中心对称图形,但不是轴对称图形. (3)如图③所示,整个涂色部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形. 图① 图② 图③ 24.我们规定：若O是线段MN的中点，则称点M关于点O的对称点是N(或称点M与点N关于点O成中心对称)；若直线n是线段MN的垂直平分线，则称点M关于直线n的对称点是N(或称点M与点N关于直线n成轴对称)．如图，现有石头A和石头B关于竹竿l对称，石头A与石头B相距80 cm，一只电子青蛙位于点P，与石头A相距30 cm，与竹竿l相距30 cm，它按照如下指令：第一跳落于点P1，点P与点P1关于点A成中心对称；第二跳落于点P2，点P2与点P1关于竹竿l成轴对称；第三跳落于点P3，点P3与点P2关于点B成中心对称；第四跳落于点P4，点P4与点P3关于竹竿l成轴对称……像这样一直跳下去．(1)画出这只青蛙前四跳的运动路线，并求点P4与点P1的距离． (2)若每跳25下休息一次，求电子青蛙第三次休息点与点P的距离． 解：(1)运动路线如图所示．易知点P4与点P重合，∴点P4与点P1的距离是30＋30＝60(cm)． (2)∵25×3÷4＝18……3，∴第三次休息点在点P3，点P3与点P的距离是30＋30＝60(cm)．答：电子青蛙第三次休息点与点P的距离是60 25.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A、B、C、D的坐标分别为(7,8)、(2,8)、(10,4)、(5,4). (1)以点 D 为旋转中心,将△ABC 旋转180°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁; (2)直接写出以B、C₁、B₁、C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点 E，使得射线 AE 平分∠BAC,写出点 E 的坐标. 解：(1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求. (2)以B、C₁、B₁、C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2 ×4-2××4×8=40 (3)如图，点E 即为所求(答案不唯一)，点E 的坐标为(6,6). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $