3.2图形的旋转 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

初二讲义第七讲：图形的旋转 【复习巩固】 一、旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角．③对应线段、对应角相等. 3.旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 4.坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标： P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标: 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：90°、180°. 5．作图-旋转变换: （1）关键：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； （2）步骤：①确定旋转中心、旋转角；②找出确定图形形状的关键点；③沿一定的方向(一般是顺时针或逆时针方向),按一定的旋转角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点，定关键点的对应点；④按原图的顺序，连接各对应点，并标明相应字母；⑤写出结论. 二、中心对称 1.中心对称： （1）定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做它们的对称中心. （2）性质： ①成中心对称的两个图形是全等图形； ②成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等 2.中心对称图形： （1）定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）性质：经过对称中心的直线可以把中心对称图形分成两个完全相同的部分. 【精准突破】 1、 旋转的性质 例1：（旋转中心）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 例2：（旋转性质）如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2：（几何计算：角度求解）（1）如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（    ） A． B． C． D． （2）涉及等腰三角形：如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． （3）如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 例3：（几何计算：长度求解）（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（　　） A． B． C．2 D．3 （2）如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为_________． 例4：（几何计算：面积求解）（1）将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（  ）． A． B． C． D．不能确定 （2）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为________． 例5：（常考旋转题型）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 例6：如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是_____． 【实战演练】 1．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 2．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A．B．C． D． 3．如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（1）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． （2）如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转一定角度，到的位置，使得点E在线段上，则_________． （3）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点恰好落在的延长线上时，，且，则的度数为_______． （4）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ （5）如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（1）如图，P为正方形内一点，将绕B顺时针旋转到的位置，若，则的长为________． （2）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． （3）如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合得到，若，，则的长度为_______． （4）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． （5）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________ （6）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到．交于点，则．________．    6．（1）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，连接，则的面积为________． （2）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（   ）    A．10 B．20 C．25 D．50 （3）如图，把绕直角顶点C顺时针旋转后得到，点F在线段上，延长交于点G，若，，则的面积为_______． 7．（1）如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（    ） A． B． C． D． （2）如图，点是等边内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D． （3）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点、、的距离分别为3、4、5，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．3 （4）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点顺时针旋转得，连接．    (1)当，_____； (2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由． 9．如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________． 二、坐标与图形旋转的变化 例1：（1）线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． （2）如图，在边长为1的正方形网格中，在平面直角坐标系的第二象限内，顶点A的坐标为，先把绕原点O顺时针旋转得到，再将向左平移3个单位得到．则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D．． 例2：如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； (2)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点的坐标为，点的坐标为，，将沿方向平移，使点与点重合，再将所得三角形绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将先向上平移2个单位长度得到，再关于轴对称得到，最后绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，画出，并写出的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值为______． 三、中心对称 例1：下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 例2：如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 例3：如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 初二讲义第七讲：图形的旋转 【复习巩固】 一、旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小. 2.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角．③对应线段、对应角相等. 3.旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 4.坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标： P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标: 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：90°、180°. 5．作图-旋转变换: （1）关键：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； （2）步骤：①确定旋转中心、旋转角；②找出确定图形形状的关键点；③沿一定的方向(一般是顺时针或逆时针方向),按一定的旋转角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点，定关键点的对应点；④按原图的顺序，连接各对应点，并标明相应字母；⑤写出结论. 二、中心对称 1.中心对称： （1）定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称. 这个点叫做它们的对称中心. （2）性质： ①成中心对称的两个图形是全等图形； ②成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等 2.中心对称图形： （1）定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）性质：经过对称中心的直线可以把中心对称图形分成两个完全相同的部分. 【精准突破】 一、旋转的性质 例1：（旋转中心）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 例2：（旋转性质）如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 例2：（几何计算：角度求解）（1）如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C. （2）涉及等腰三角形：如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故选：B． （3）如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ ∵在平面内绕点旋转得到 ∴ ∴ ∴ ∴旋转角的度数为． 故选：D 例3：（几何计算：长度求解）（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C （2）如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为_________． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 又， ， ， 连接，如图所示： 由旋转图形的性质可知，，旋转角， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：． 例4：（几何计算：面积求解）（1）将直角边长为的等腰直角绕点A逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是（  ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】 解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， 设，则， ，即， 解得， ， 阴影部分面积为： 故选：B． （2）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为________． 【答案】9 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴ ∴阴影部分的面积 过点作，如下图：    ∵ ∴ ，即阴影部分的面积为 故答案为： 例5：（常考旋转题型）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 【答案】①②③⑤ 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，， ，故④错误； 如图所示， 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 例6：如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：如图， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 由旋转可知，， ， ， 在轴上， 轴， ． 故答案为：． 【实战演练】 1．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 2．如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 3．如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 为的中点， ， 故选项A正确，不符合题意； ∴， 故选项C错误，符合题意； ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 4．（1）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． （2）如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转一定角度，到的位置，使得点E在线段上，则_________． 【答案】10 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点恰好落在的延长线上时，，且，则的度数为_______． 【答案】/度 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，, ∴， ∴ 延长交于点， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （4）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为________ 【答案】52 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； 即旋转角为， 故答案是52． （5）如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ∵绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．（1）如图，P为正方形内一点，将绕B顺时针旋转到的位置，若，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕B顺时针旋转到达的位置， ∴， ∴， 故答案为：． （2）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点，则线段的长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 绕点顺时针旋转得到 又 是等腰直角三角形 又，， 在中， 故选：D． （3）如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点的对应点与点重合得到，若，，则的长度为_______． 【答案】 【详解】解：是由旋转得到， ， ，，， 是等边三角形， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． （4）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为____． 【答案】 【详解】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （5）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________ 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 根据勾股定理，得， ∴， ∴点与点B之间的距离为， 故答案为：． （6）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到．交于点，则．________．    【答案】/ 【详解】解：在中， ∵，，， ∴，，， ∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：. 6．（1）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，连接，则的面积为________． 【答案】 【详解】解： 由旋转的性质可知， 设中边上的高为，则， ∴的面积为 故答案为：． （2）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（   ）    A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图，    ∴， ∴， ∴． 故选C． （3）如图，把绕直角顶点C顺时针旋转后得到，点F在线段上，延长交于点G，若，，则的面积为_______． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵把绕直角顶点C顺时针旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 7．（1）如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． （2）如图，点是等边内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，，若，，，则下列结论正确的是（   ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】解：将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ，， 是等边三角形，故A符合题意； ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ，故C符合题意； ， ， ， ，故B符合题意； ，故D符合题意； 故选：． （3）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点、、的距离分别为3、4、5，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．6 D．3 【答案】D 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF=AP=， ∴△PAB的面积=PB•AF=×4×=3， 故选：D． （4）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． ∴∠APF=30°， ∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=． ∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12． 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+． 故选A． 8．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，将绕点顺时针旋转得，连接．    (1)当，_____； (2)当为多少度时，是等腰三角形？说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得，， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ①当时， ， 解得：； ②当时 ， 解得：， ③当时， ， 解得：， 综上所述，当为或或时，为等腰三角形． 9．如图，等边三角形的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________． 【答案】①③④ 【详解】解：连接、，过点作，如图， 为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ，且，， ， ，，所以①正确； ， 四边形的面积，所以③正确； 在绕点旋转的过程中，也在变化， 不成立，所以②错误； 在绕点旋转的过程中，始终有 ， ，， ， ∴当最小时，最小，周长最小，此时， ， ，即， 由勾股定理得：， ，∴ 周长的最小值， 故④正确，∴正确有①③④ 故答案为：①③④． 二、坐标与图形旋转的变化 例1：（1）线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． （2）如图，在边长为1的正方形网格中，在平面直角坐标系的第二象限内，顶点A的坐标为，先把绕原点O顺时针旋转得到，再将向左平移3个单位得到．则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵顶点A的坐标为，把绕原点O顺时针旋转得到， ∴顶点的坐标为， ∵将向左平移3个单位得到， ∴顶点的坐标为， 故选：C． 例2：如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； (2)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【实战演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是由绕点旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，相交于点P， 则是由绕点P逆时针旋转得到， ∴点P的坐标为． 故选：C． 2．如图，的顶点的坐标为，点的坐标为，，将沿方向平移，使点与点重合，再将所得三角形绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，平移和旋转所得图形如图所示，连接交x轴于点M， 的顶点的坐标为，点的坐标为， ， 将沿方向平移，使点与点重合，则，， ，， 即的坐标为， 即， ∴， ∵将所得三角形绕点逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 观察图形，得出点在第三象限，即点的坐标是， 故选：C． 3．如图，将先向上平移2个单位长度得到，再关于轴对称得到，最后绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的画图，坐标与图形，分别画出，，即可得到答案． 【详解】解：，，如图所示： ∴． 故选：A 4．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位得到，画出，并写出的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标； (3)若点P为y轴上一动点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解：如图，即为所求；的坐标为； （3）解：如图，点A与点关于y轴的对称，连接交y轴于点P， ∴的最小值为． 三、中心对称 例1：下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：左边起，第一幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二幅图既是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三幅图是轴对称图形，不是中心对称图形， 第四幅图不是轴对称图形，是中心对称图形， 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个． 例2：如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 例3：如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 【实战演练】 1．近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 3．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $