4.3一次函数的图象（第1课时）教学设计2025-2026学年北师大版 数学八年级上册

北师大版八年级上册 第四章 一次函数的图象（第1课时） 教学设计 4.3 一次函数的图象（第1课时） 教学内容解析 本节课是八年级上册第四章第三节第一课时，第四章学习的对象是函数与一次函数，主要包括函数的概念、一次函数的概念、一次函数的图象和一次函数的应用。正比例函数是学生研究的第一个具体函数，本节通过让学生经历正比例函数图象变化的整个探索过程，以及对正比例函数性质的研究过程，理解函数研究的一般方法，并进行总结梳理，体会数学结合思想，在探究过程中感悟由特殊到一般，由简单到复杂的研究方法。 本节课之前学生已掌握函数的概念，知道函数的三种表达方式：图象、表格、关系式，并在前一节“认识一次函数”中，通过具体情境认识了一次函数是“均匀”变化的，初步感悟线性关系。正比例函数是特殊的一次函数，也是学生第一次根据函数的图象探究函数的性质，因此，需要让学生经历画图，并观察图象，归纳正比例函数图象的特点，并根据图象归纳正比例函数的性质（增减性与系数k之间的关系）在正比例函数的图象与性质的探究中，蕴含了数形结合、分类讨论、从特殊到一般的思想，增强了学生的几何直观和推理能力。 学生在整个探究活动当中，亲身经历描点，探究直线，对比观察，归纳总结的整个过程，去感悟、理解函数的基本性质，合乎逻辑地解释或者论证数学的基本方法与结论，经历“由数到形”，再“由形到数”的过程，增强了分析、解决数学问题和实际问题的能力，培养学生的抽象能力、几何直观、推理能力和应用意识。 具体结构图如图1所示: 函数 图象 性质 数形结合 直观反映 决定 图1 教学目标设置 1.会画一次函数的图象，知道它的图象是一条直线 2.经历一次函数图象的画图过程，体会由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。 3.通过一次函数图象画图的过程探究，培养学生独立思考的学习习惯和合作交流意识，激发学生探究新知的兴趣，发展学生的数学核心素养。 学生学情分析​ 学生的知识技能基础：学生在小学阶段已掌握正比例关系的初步认知，如 “路程与时间的比值一定时，两者成正比例”，这为理解正比例函数的 “比值不变性” 奠定了直观经验。七年级下册已系统学习变量、常量的概念，以及用代数式表示数量关系，能够完成简单的代数运算，具备了从 “关系” 到 “函数” 转化的基本代数能力。学生已掌握平面直角坐标系的相关知识，能够准确识别点的坐标、绘制简单的坐标系，这为正比例函数图像的绘制与分析提供了必要的基本活动经验和基本技能，学生通过八年级上册第四章前2节学习函数的概念和表示法，初步体会了函数的研究方法，并在情境中认识了正比例函数，知道可以用表格和关系式表示正比例函数。 教学难点： ①学生没有通过观察函数图象探究函数性质的经验，不清楚要观察函数图象的什么特点 ②如何通过观察函数图象去归纳函数增减性与系数k之间的关系 以上都需要教师引导学生如何观察图象，总结特征，并通过对比观察总结k与函数增减性的联系，再借助几何画板一般性的验证图象陡峭程度与k之间的内在关联。 教学策略分析 1. 回顾思考设问函数的三种表示方式，并从学生熟悉的摩天轮座舱高度随着时间的变化的函数图象引入，通过直观演示帮助学生建立图象与函数关系的联系。 2. 结合八年级学生抽象思维初步发展的特点，采用探究式教学法，引导学生动手绘制图象，辅以几何画板动态演示，增强对函数图象变化规律的理解。 3. 围绕“图象形状—变化趋势—关键点特征”设计问题串，如“这些点有什么规律？”“图象为什么是直线？”层层递进，引导学生从具体到抽象展开思维。 4. 为基础薄弱学生提供作图模板和分步指导，为学有余力者设置“倾斜程度初步感知”等拓展任务，通过小组合作实现互助学习。 5. 设置课堂练习即时点评，利用实物投影展示典型作图案例，通过学生自评、互评与教师重点讲解相结合的方式强化知识内化。 教学过程设计 【环节1】回顾思考 1.同学们，在本章的学习中我们知道了函数的三种表示方式，分别是表格、关系式、图象。我们又具体学习了一次函数，一次函数的关系式是y=kx+b（k,b为常数，k≠0），那一次函数的图象是什么？本节课就一起来探究一次函数的图象。 2.在绘制函数图象之前需要明确函数图象的定义，回忆第四章第一节课见过的摩天轮座舱高度随时间变化的图象，是如何绘制的？因而归纳出函数图像的定义。 设计意图：通过学生比较熟悉的函数图象，让学生明确函数图象的定义和绘制过程，为本节课研究正比例函数图象和性质做活动准备。学生通过对函数图象绘制过程的回忆和思考，归纳出函数图象的定义，为下一步作函数图象做经验准备，指向发展学生的几何直观、推理能力。 【环节2】探究正比例函数y=2x的图象 1.请作出正比例函数y=2x的图象． 为了画出y=2x的图象，首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格来表示，那么列表时自变量可以选取哪些值？ 刚刚由摩天轮的图象引导学生发现图象是由无数个点构成，但实际操作过程当中不可能实现描出无数个点，可以取具有代表性的若干个点，为了展示函数的全貌，自变量的取值应兼顾负数，0，正数。 学生自主完成绘图：选择几组合适的自变量和对应的因变量的取值，用表格表示，再把点坐标描绘在平面直角坐标系中。 问题：大家有什么发现？ 追问：如果再多取几个点，它们还会在同一直线上吗? 学生合作交流思考：学生经过思考和讨论，发现绘制的5个点在一条直线上，并且这5个点的连线经过原点。再通过多取几个点验证都在一条直线上，学生凭直观可以猜想这些点在一条直线上，并能画出这条线。具体画线时，教师可以追问：“你是怎么画线的?如果是连接其中两个点，有不同的选择，最终得到的线一样吗?”通过交流不难感受到，不管怎么连，线是唯一的。这也说明了这些点确实在一条直线上。教师可以用画图软件描出大量的点进行验证。教师也可以引导学生结合这一函数的特点进行说明：x每增加1，y都增加2，y的增长量与x增长量的比例始终为2：1，因此任意两个点连线的方向都是一致的。 通过几何画板的辅助验证其他的点都在这条直线上，让学生直观感受y=2x的图象就是一条直线。并追问是一条什么样的直线？为什么过原点？从而引导学生从直线的位置、直线的变化趋势，y随x的变化规律进行分析和研究。在一问一答中渗透研究图象的角度，从哪些角度观察函数图象以及由函数图象如何推导出函数的性质 设计意图：以问题串的形式引导学生经历画正比例函数y=2x图象的列表、描点、连线的思考与操作过程，最终明确其图象是一条直线，并逐步渗透研究正比例函数图象性质的意识。 注意：学生在之前的学习中虽然见过函数图象，但并没有真正画过函数图象。因此，让学生经历画正比例函数y=2x图象的思考与操作过程尤为重要，这会对学生后续研究其他函数图象产生积极的影响。同时，在这一过程中学生也能感受到画函数图象的几个关键步骤。在本环节最后，教师可以适当总结，明晰画图的过程。 2.回顾在绘制y=2x的函数图象，并总结画图步骤。 总结绘制正比例函数y=2x图象的步骤：列表、描点、连线。 设计意图：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能作出一个函数的图象，其实由表达式到点坐标就是由数到形的转换，同时初步感悟正比例函数图象是一条直线，渗透数形结合思想。 【环节3】类比探究正比例函数y=-3x的图象 1.画出正比例函数y=-3x的图象 在画之前抛出问题你猜测y=-3x的图象是什么样的？让学生从“数”的角度进行分析，再由“形”上让学生利用画函数y=2x的经验画出函数y=-3x的图象，再次感受正比例函数图象的形状特点。 2.正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点? 3.一般地，正比例函数y=kx的图象有何特点?与同伴进行交流。 学生可以发现两个正比例函数图象的共性：过原点(0，0)的直线。对于一般情况，让学生先猜想，然后用画图软件进行演示，从而使学生确信正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。对于图象过原点，先引导学生说明道理，如由函数表达式可知，当x=0时，y=0。根据“两点确定一条直线”的基本事实，学生不难理解画正比例函数图象只需要确定两个点即可。 设计意图：引导学生由特殊到一般，归纳概括正比例函数图象的特点，进而得出结论：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线。因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 【环节4】对比观察，深化探索 1.分工合作A组同学画k>0时的正比例函数图象，B组同学画k<0时的正比例函数图象,每个小组任选几个想要探索的正比函数，并作出它们的图象。 2.对比观察每个组和两个组的函数表达式和图象都有什么特征？能得到哪些结论？小组交流讨论，并得出结论。 3. 学生展示自己组的结论并进行分析。 设计意图：让学生在同一平面直角坐标系中画更多正比例函数图象，并对图象进行观察、比较，既可以巩固画正比例函数图象的方法，又可以发现正比例函数图象的性质。学生在讲解时，老师在不断地追问中促进学生的反思，几何画板演示k取不同值时，函数图象的变化情况，以及用函数图象的坐标的变化理解函数值随自变量值的变化关系，增强几何直观，得到更一般的结论。 【环节5】探索正比例函数图象的性质 1. 对比4条正比例函数的表达式和图象，将刚刚得到的结论进行整理和归类，梳理k对图象都有哪些方面的影响。 设计意图：通过比较更多的正比例函数图象，感受k对正比例函数图象影响的内在关系，通过学生的回答，引导学生归纳函数图象的特点和函数的性质。从图象的位置、变化趋势、陡峭程度进行概括，梳理，优化。从而进一步发展学生的抽象能力。引导学生理解可以用代数方法对函数的性质进行严格的证明，增强学生的推理能力。 2.帮一帮：有一位同学绘制了下面4个函数图象，但是忘记了关系式，你能帮它找到每一条直线对应的关系式吗？ 设计意图：通过“由形到数”的逆向思维推理，应用了k的正负以及绝对值影响图象的分布和倾斜程度。同时由特殊到一般，也可将上述四条直线的k值进行大小比较，再次加深理解了k对一次函数图象发挥的作用。 【环节6】课堂小结 持续性思考 1.梳理一下本节课你是如何研究一次函数的图象的？ 2.本节课后你最想探究什么？ 设计意图：让学生用自己的语言表达对正比例函数图象的认识，并梳理研究函数图象的过程，对研究新的函数做铺垫。可以从函数图象的定义、如何探究函数图象，以及正比例函数图象的特征等方面进行描述。要研究一个新函数的图象，可以先研究这个函数的表达式，确定自变量的取值范围，并在这个范围内尽可能多地取值、列表，然后描点、连线，就能得到比较精准的函数图象了。 课堂板书： 课堂目标检测 1.(中考·北海)正比例函数y＝(k-1)x的图象如图所示，则k的取值范围是(　　) A．k>0 　　　B．k<0 C．k>1 　　　D．k<1 2.(中考·陕西)设正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m等于(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 3. 比较大小： （1）k1______ k2；（2）k3_______k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． 设计意图：通过例题和习题，引导学生理解正比例函数解析式中k的取值范围和正比例函数图象的经过象限，变化规律之间互相影响，体现数形结合的思想. 课后作业 1.习题4.3 1题的（1），（2），（3）2、3题. 选做：7题 2.实践活动：一次函数的探究还没有结束，有许多其他的“故事”，约几个好友，继续开展探究，把你们的探究写成数学学习随笔。 教学特色 1.学生经历函数图象与性质探究的全过程. 本节课教师通过让学生经历“画图，观察，归纳，证明”的函数图象与性质探究的全过程,引导学生发现研究思路，规划研究路径，激发主观能动性，从“学会”转向“会学”。 2.注重学生几何直观和推理能力的培养. 本节课让学生通过描点法自己画图象、观察，并通过几何画板动态演示k对函数图象和性质的影响，使学生直观感受函数的图象与性质，增强学生的几何直观，通过引导学生理解函数增减性的代数推理，提升了学生的推理能力。 教学反思： 本节课采用发现法教学，对学生的基本知识技能、活动经验和思维能力要求比较高，对一些基础薄弱的学生，难度较大。因此，在教学中如何进行分层教学，使不同能力的学生在课堂上有不同的发展值得继续思考。 学科网（北京）股份有限公司 $