2026年九年级中考数学真题分类训练考点28切线的判定与性质练习

考点28切线的判定与性质 命题点1 与切线性质相关的简单计算 1.(2024山西)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为 (　　) A.30° B.40° C.45° D.50° (第1题)　　(第2题)　　(第3题) 2.(2024福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于 (　　) A.18° B.30° C.36°　　　 D.72° 3.(2024泸州)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E= (　　) A.56° B.60° C.68° D.70° 4.(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心、AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若=,则sin C的值是 (　　) A. B. C. D. 5.(2024包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为　　　　.  (第5题)　　(第6题) 6.(2023河南)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为　　　　.  7.(2024泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,连接AD.若DF=1,tan B=,则AE的长为　　　　　　.  命题点2 三角形的内切圆、内心 8.(2023聊城)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 (　　) A.15° B.17.5° C.20° D.25° (第8题)　(第9题)　(第10题) 9.(2023天门)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　　　　.  10.(2024内江)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为　　　　.  命题点3 与切线的判定与性质相关的证明与计算 11.(2024甘肃)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,且∠ADC=∠AEB. (1)求证:BE是☉O的切线; (2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值. 12.(2024盐城)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC. (1)求证:△ABC∽△ACD; (2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径. 13.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的☉O经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC. (1)求证:AB是☉O的切线; (2)若AD=,AE=1,求的长. 14.(2024武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点. (1)求证:AB与半圆O相切; (2)连接OA.若CD=4, CF=2,求sin∠OAC的值. 15.(2024北京)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,OD平分∠AOC. (1)求证:OD∥BC. (2)延长DO交☉O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作☉O的切线交DE的延长线于点P.若=,PE=1,求☉O半径的长. 16.(2024陕西)如图,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF. (1)求证:∠BAF=∠CDB; (2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长. 17.(2024天津)已知△AOB中,∠ABO=30°,AB为☉O的弦,直线MN与☉O相切于点C. (Ⅰ)如图(1),若AB∥MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小; (Ⅱ)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长. 　 　　　图(1)　　　　　　　　图(2) 18.(2024辽宁)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在上,=,点E在BA的延长线上,∠CEA=∠CAD. (1)如图(1),求证:CE是☉O的切线; (2)如图(2),若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求的长. 　 图(1)　　　　　　　　　　图(2) 19.(2024贵州)如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE. (1)写出图中一个与∠DEC相等的角:　　　　;  (2)求证:OD⊥AB; (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. 20.(2024宜宾)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交☉O的直径BD的延长线于点E,连接CD. (1)求证:AE是☉O的切线; (2)若tan∠ABE=,求CD和DE的长. 21.(2024自贡)在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F. (1)图(1)中三组相等的线段分别是CE=CF,AF=　　　,BD=　　　;若AC=3,BC=4,则☉O的半径长为　　　.  (2)如图(2),延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O的切线. 图(1)　　　　　　　　图(2) 22.(2024广西)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF. (1)求证:四边形ABDF是平行四边形; (2)求证:AF与☉O相切; (3)若tan∠BAC=,BC=12,求☉O的半径. 23.(2024南充)如图,在☉O中,AB是直径,AE是弦,点F是上一点,=,AE,BF交于点C,点D为BF延长线上一点,且∠CAD=∠CDA. (1)求证:AD是☉O的切线. (2)若BE=4,AD=2,求☉O的半径长. 24.(2024威海)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H=45°. (1)求证:EF是☉O的切线; (2)若BE=2,CE=4,求AF的长. 命题点4 与切线性质相关的实际应用 25.(2024滨州) 刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式的是 (　　) A.d=a+b-c B.d= C.d= D.d=|(a-b)(c-b)| 26.(2023河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图(1)和图(2)所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH. 计算　在图(1)中,已知MN=48 cm,过点O作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 操作　将图(1)中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动,如图(2),其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D. 探究　在图(2)中. (2)操作后水面高度下降了多少? (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小. 　　 　图(1)　　　　　　　 图(2) 考点28切线的判定与性质 1 D　易得∠B=∠AOD=40°(依据:圆周角定理).∵AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,∴∠CAB=90°,∴∠C=90°-∠B=50°. 2 A　如图,∵点C为的中点,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=36°.延长CO交☉O于点D,连接AD,则∠D=∠AOC=18°(依据:圆周角定理),∠CAD=90°(依据:直径所对圆周角为直角),∴∠ACD=72°.∵直线MN与☉O相切于点C,∴OC⊥MN,∴∠ACM=90°-72°=18°. 3 C 4 B　如图,连接DB,DE,易证BA与圆相切于点A,又∵BE与圆相切于点E,∴AB=BE(依据:切线长定理),∠DAB=∠DEB=90°.又∵AD=DE,∴△DAB≌△DEB,∴∠ABD=∠EBD.∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=∠DBC,∴CD=CB.∵=,∴可设AB=BE=a,CD=CB=3a,∴CE=2a,∴DE==a,∴sin C===. 如图,连接DE,过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFC=∠DEC=90°.∵AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥DC,∴四边形ADFB是矩形,∴BF=AD=DE,DF=AB.又∵∠C=∠C,∴△BFC≌△DEC,∴BC=CD.∵=,∴可设AB=DF=a,CD=CB=3a,∴CF=2a,∴BF==a,∴sin C===. 5 105° 6 【解析】∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAC=90°.又OA=5,PA=12,∴OP==13,∴PB=13-5=8.如图,连接OC,∵OA=OB,CA=CB,OC=OC,∴△OCA≌△OCB(SSS),∴∠OBC=∠OAC=90°,∴∠PBC=90°. 方法一:∵∠PBC=∠PAO=90°,∠P=∠P,∴△PBC∽△PAO,∴=,即=,∴CB=,∴CA=. 方法二:设CA=CB=x,则CP=12-x.在Rt△BCP中,由勾股定理,得CB2+BP2=CP2,即x2+82=(12-x)2,解得x=,∴CA=. 7 【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ADF=∠ADB=90°.∵AH是☉O的切线,∴∠BAF=90°(依据:圆的切线垂直于过切点的半径),∴∠DAF=90°-∠DAB=∠ABD,∴△DAF∽△DBA,∴==tan B=.又∵DF=1,∴AD=2,∴AF==.∵点D为的中点,∴=,∴∠DAC=∠ABD=∠DAF.又∵∠ADE=∠ADF=90°,∴∠AED=∠AFD,∴AE=AF=(依据:等角对等边). 8 C　连接OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC.∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°.∵点O是△ABC外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=×(180°-∠BOC)=×(180°-140°)=20°,故选C. 9 35°　 【解析】如图,连接OE,OD,OB,设OB交DE于点H.∵☉O是△ABC的内切圆,∴AO,BO分别是∠CAB,∠CBA的平分线(点拨:三角形的内心是三条角平分线的交点),∴∠OAB=∠CAB,∠OBA=∠CBA.∵∠ACB=70°,∴∠OAB+∠OBA=(∠CAB+∠CBA)=(180°-∠ACB)=55°,∴∠AOB=125°.∵☉O与AB,BC分别相切于点D,E,∴BD=BE(依据:切线长定理).又∵OD=OE,∴OB是DE的垂直平分线,∴OB⊥DE,即∠OHF=90°,∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°. 10 2 11 (1)证明:∵=, ∴∠CAB=∠BAE(依据:等弧所对的圆周角相等). ∵=, ∴∠ABC=∠ADC(依据:同弧所对的圆周角相等). 又∵∠ADC=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角), ∴∠CAB+∠ABC=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°,即AB⊥BE. ∵OB为☉O的半径,∴BE是☉O的切线. (2)∵OB=2, ∴AB=2OB=4,AC===, ∴tan∠AEB=tan∠ABC==. 12 (1)证明:如图,连接OC, ∵l是☉O的切线,C为切点, ∴OC⊥l. ∵AD⊥l, ∴∠ADC =∠OCD=90°, ∴∠ADC +∠OCD=180°, ∴OC∥AD, ∴∠CAD=∠ACO. 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=∠CAD. ∵AB为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠ACB, ∴△ABC∽△ACD. (2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°, ∴AD==3. ∵△ABC∽△ACD, ∴=, ∴=, ∴AB=, ∴☉O的半径为. 13 (1)证明:如图,连接OD. ∵BD=BC,OB=OB,OD=OC, ∴△OBD≌△OBC(SSS), ∴∠ODB=∠OCB=90°,即OD⊥BD. 又∵OD为☉O的半径,∴AB是☉O的切线. (2)∵∠ODB=90°,∴∠ODA=90°. 设☉O的半径为x. 在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,即(x+1)2=x2+, 解得x=1,∴OD=OC=1,OA=2, ∴cos∠AOD==,∴∠AOD=60°. ∵△OBD≌△OBC, ∴∠BOD=∠COF=×(180°-60°)=60°, ∴的长为=. 高分技法 ◀ ◀ ◀ 圆中与切线相关的常见辅助线 判定切线时,连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂线;有切线时,常常连接切点和该圆的圆心得到半径. 14 (1)证明:如图,连接OA,OD,过点O作ON⊥AB交AB于点N, ∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴AO⊥BC,AO平分∠BAC(依据:等腰三角形“三线合一”). ∵AC与半圆O相切于点D,∴OD⊥AC. 又∵ON⊥AB, ∴ON=OD(提示:角平分线上的点到角两边的距离相等), ∴AB是半圆O的切线. (2)连接OD,由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC, ∴∠AOD+∠DOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°, ∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠COD=. ∵在Rt△ODC中,由勾股定理,得OC2=CD2+OD2, ∴(OD+2)2=42+OD2,解得OD=3, ∴sin∠OAC=sin∠COD====. 15 (1)证明:∵OD平分∠AOC, ∴∠AOD=∠AOC. 又∵∠B=∠AOC, ∴∠B=∠AOD, ∴OD∥BC. (2)设☉O的半径为r. 如图,∵OD∥BC,∴△EOF∽△CBF,∠1=∠2, ∴=,即=, ∴BC=. 过点O作OG⊥BC于点G,则BG=BC=. ∴cos∠2=. ∵BP是☉O的切线,切点为B, ∴OB⊥PB,∴OB=OPcos∠1=OPcos∠2, ∴r=(r+1)×,解得r=. 故☉O半径的长为. 16 (1)证明:∵直线l与☉O相切于点A, ∴∠BAD=90°, ∴∠BDA+∠ABD=90°. ∵AB是☉O的直径, ∴∠BFA=90°, ∴∠BAF+∠ABD=90°, ∴∠BAF=∠CDB. (2)∵AD=9,AC=12,∴CD=21. ∵r=6,∴AB=12=AC. 又AD=9,∠BAD=90°, ∴BD=15,△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ACB=45°,BC=12. 连接AE, ∵AB是☉O的直径,∴∠BEA=90°, ∴BE=BC=6. ∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, ∴∠BEF=∠CDB. 又∠EBF=∠DBC, ∴△BEF∽△BDC(相似模型——反A共角型相似:), ∴=,即=, ∴EF=. 17 (Ⅰ)∵AB为☉O的弦, ∴OA=OB,∴∠A=∠ABO. ∵△AOB中,∠A+∠ABO+∠AOB=180°, 又∠ABO=30°, ∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°. ∵直线MN与☉O相切于点C,CE为☉O的直径, ∴CE⊥MN,即∠ECM=90°.又AB∥MN, ∴∠CDB=∠ECM=90°. 在Rt△ODB中,∠BOE=90°-∠ABO=60°. ∵∠BCE=∠BOE, ∴∠BCE=30°. (Ⅱ)如图,连接OC. 同(Ⅰ),得∠COB=90°. ∵CG⊥AB,得∠FGB=90°. ∴在Rt△FGB中,由∠ABO=30°, 得∠BFG=90°-∠ABO=60°. ∴∠CFO=∠BFG=60°. 在Rt△COF中,tan∠CFO=,OC=OA=3, ∴OF===. 18 (1)证明:∵=,∴∠DAB=∠CBA. 如图(1),连接OC,则∠COA=2∠CBA. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CAD+∠DAB+∠CBA=∠CAD+2∠CBA=∠CAD+∠COA=90°. 又∵∠CEA=∠CAD, ∴∠CEA+∠COA=90°, ∴∠ECO=90°,即OC⊥CE. 又∵OC是☉O的半径, ∴CE是☉O的切线.　 图(1)　　　　　　　图(2) (2)如图(2),连接OC,OD. 由(1)知∠ECO=90°. ∵∠DOB=2∠DAB,∠CEA=2∠DAB, ∴∠CEA=∠DOB, ∴CE∥OD,∴∠DOC=∠ECO=90°. ∵=,∴∠COA=∠DOB=45°, ∴的长为=2π.　 19 (1)∠DCE(或∠AEO)(答案不唯一,正确即可) (2)证明:如图,连接OC. ∵PC与半圆O相切于点C, ∴OC⊥CD,即∠DCE+∠ACO=90°. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠ACO. ∵∠DCE=∠DEC=∠AEO,(关键点:角之间的等量代换) ∴∠AEO+∠CAO=90°, ∴∠AOE=90°, ∴OD⊥AB. (3)设OE=x,则OF=BO=AO=OC=2x, ∴EF=x,OD=2x+2, ∴DC=DE=2+x. 如图,在Rt△ODC中,OD2=CD2+OC2, ∴(2+2x)2=(x+2)2+(2x)2, 解得x1=4,x2=0(舍去), ∴OD=10,CD=6,OC=8. ∵tan D==, ∴=, ∴OP=, ∴BP=OP-OB=. 20 (1)证明:如图,连接AO并延长交BC于点F,连接OC,则OB=OC. ∵AB=AC,OB=OC, ∴AF⊥BC(依据:到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). ∵AE∥BC, ∴∠OAE=∠OFB=90°(依据:两直线平行,内错角相等). 又∵OA是☉O的半径, ∴AE是☉O的切线. (2)∵OB=OA,AF⊥BC, ∴∠BAF=∠ABE, ∴=tan∠BAF=tan∠ABE=, ∴AF=2BF. ∵AB===BF=10, ∴BF=2,AF=4. ∵BF2+FO2=OB2,且OB=OA=4-FO, ∴(2)2+FO2=(4-FO)2, 解得FO=, ∴OD=OB=OA=4-=. ∵OB=OD,BF=CF, ∴CD=2FO=2×=3(依据:三角形的中位线定理). ∵=cos∠AOE=cos∠FOB=, ∴OE===, ∴DE=OE-OD=-=. 21 (1)AD　BE　1　 (2)证明:如图,过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF, 则∠OHN=∠ODN=∠OEC=∠OFC=90°. 又∵∠ANM=∠ACB=90°, ∴四边形OHND,OFCE均为矩形, ∴ND=OH,CF=OE. ∵∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB, ∴△AMN≌△ABC(AAS), ∴AN=AC. 又∵AD=AF, ∴AN-AD=AC-AF,即DN=CF, ∴OH=OE,即OH是☉O的半径. 又∵OH⊥MN, ∴MN是☉O的切线.　　 22 (1)证明: 方法一:连接FC,AD,如图(1), ∵E为AC的中点,DE=EF, ∴四边形AFCD是平行四边形, ∴AF∥CD,AF=CD. ∵D为BC的中点, ∴BD=CD,∴AF=BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. 图(1)　　图(2) 方法二:如图(2),∵点D,E分别是BC,AC的中点, ∴DE∥AB(依据:三角形中位线定理),即FD∥AB. ∵∠1=∠2,CE=AE,DE=FE, ∴△EDC≌△EFA(SAS), ∴∠3=∠4,∴AF∥BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. (2)证明:如图(1),∵AB=AC,点D为BC的中点, ∴AD⊥BC. ∵AF∥BC,∴AF⊥AD. ∵BC是☉O的一条弦,AD是BC的中垂线, ∴AD必经过圆心O,OA为☉O的半径,(易错点:要判断OA为半径,这一步不能缺少) ∴AF与☉O相切. (3)如图(3),连接CO并延长,交☉O于点G,连接GB, 则∠GBC=90°(依据:直径所对的圆周角为直角),∠G=∠BAC(依据:同弧所对的圆周角相等), ∴BG====16, ∴在Rt△GBC中,GC===20, ∴OC=GC=10, ∴☉O的半径为10. 图(3) 知识积累 ◀ ◀ ◀ 平行四边形的判定方法 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形; 5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 23 (1)证明:∵=, ∴∠ABF=∠BAE(依据:等弧所对的圆周角相等). 又∵∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=180°, ∴∠BAE+∠CAD=90°, 即∠BAD=90°,∴AD⊥AB, ∴AD是☉O的切线. (2)如图,连接AF.∵=, ∴AF=BE=4(依据:等弧对等弦). ∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),∴∠AFD=90°. 在Rt△ADF中,DF==2. ∵tan D==,∴=,∴AB=4. 又∵AB是☉O的直径,∴☉O的半径长为2. 24 (1)证明:如图,连接OC,则∠OAC=∠OCA. ∵BC=CD,∴=, ∴∠DAC=∠CAB(依据:等弧所对的圆周角相等), ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD, ∴∠OCE=∠F. ∵EH平分∠FEG, ∴∠FEG=2∠HEG, ∴∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°, ∴∠OCE=∠F=90°. 又∵OC是☉O的半径, ∴EF是☉O的切线. (2)如图,设☉O的半径为r,则OE=OB+BE=r+2. ∵OC2+CE2=OE2, 即r2+42=(r+2)2,解得r=3, ∴AE=AB+BE=6+2=8,OE=5. 由(1)知OC∥AD,∴△ECO∽△EFA, ∴=,即=,解得AF=. 25 D　如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F.连接AO,BO,CO.易证四边形OECD是正方形,△AEO≌△AFO,△BDO≌△BFO,∴EC=CD,AE=AF,BD=BF.设OE=OD=OF=r,则EC=CD=r,∴AF=AE=b-r,BF=BD=a-r.∵AF+BF=AB,∴a-r+b-r=c,∴r=,∴d=2r=a+b-c.故选项A正确.∵S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB,∴ab=br+ar+cr,∴ab=r(a+b+c),∴r=,即d=2r=.故选项B正确.∵d=a+b-c,∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2.∵a2+b2=c2,∴d2=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),∴d=.故选项C正确.故选项D错误. 本题作为选择题,用特殊值法可快速定位答案. ∵△ABC为直角三角形,∴令a=3,b=4,c=5,∴选项A:d=a+b-c=2,选项B:d==2,选项C:d==2,选项D:d=|(a-b)(c-b)|=1.很明显,只有D选项的结果跟其他选项的结果不一致,∴表达式错误的是D选项. 26 (1)如图,连接OM,则OM=AO=AB=25 cm. ∵点O为圆心,OC⊥MN,MN=48 cm, ∴MC=MN=24 cm(依据:垂径定理),  ∴OC===7(cm). (2)∵GH与半圆O的切点为E(信息点), ∴OE⊥GH(依据:圆的切线垂直于经过切点的半径). 又∵MN∥GH, ∴OD⊥MN. ∵∠ANM=30°,ON=25 cm, ∴OD=ON=12.5 cm, ∴操作后水面高度下降了12.5-7=5.5(cm). (3)∵OD⊥MN,∠ANM=30°, ∴∠DOB=60°. ∵半圆的中点为Q(信息点), ∴=,∴∠QOB=90°, ∴∠QOE=90°-60°=30°, ∴EF=OE·tan∠FOE=25tan 30°=25×=(cm),==(cm). ∵-==>0, ∴EF>. 学科网（北京）股份有限公司 $