2026年九年级中考数学真题分类训练考点20图形的相似练习

考点20图形的相似 命题点1 比例线段 角度1平行线分线段成比例 1.(2023吉林)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 (　　) A. B. C. D. (第1题)　　　(第2题)　 2.(2023北京)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为　　　　.  角度2黄金分割 3.(2024德阳)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.已知四边形ABCD是黄金矩形(AB<BC),点P是边AD上一点,则满足PB⊥PC的点P的个数为 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 4.(2024泸州)如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为 (　　) A. B. C. D. (第4题)　　(第5题)　　 5.(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且=.若NP=2 cm,则BC的长为　　　　cm(结果保留根号).  6.(2024泰安)综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识,某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠,如图(1),把矩形纸片ABCD翻折,使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上,折痕为EF,将纸片展平,连接BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例,即=,请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图(2),BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G.点C的对应点H都落在对角线BD上,折痕分别是BE和DF.将纸片展平,连接EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG∥CD,则点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”,即BG2=BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 命题点2 相似图形的相似比 7.(2024重庆A)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则这两个相似三角形的面积比是 (　　) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 8.(2024盐城)两个相似多边形的相似比为1∶2,则它们的周长的比为　　　　.  命题点3 相似三角形的判定与性质 角度1“A”字型 9.(2024湖南)如图,在△ABC 中,点D,E分别为边AB,AC 的中点.下列结论中,错误的是 (　　) A.DE∥BC　　　　　　　 B.△ADE∽△ABC C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC (第9题)　(第10题)　(第11题) 10.(2023广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为　　　　.  11.(2023临沂)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是　　　　.  角度2反“A”字型 12.(2024重庆A)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则 BF=　　　　.  (第12题)　　　(第13题) 13.(2024滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　　　　.(写出一种情况即可)  14.(2023湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高. (1)证明:△ABD∽△CBA. (2)若AB=6,BC=10,求BD的长. 角度3“8”字型 15.(2024青海)如图,AC和BD相交于点O,请你添加一个条件:　　　　,使得△AOB∽△COD.  (第15题)　　(第16题)　　(第17题) 16.(2024辽宁)如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1∶4,若AB=6,则CD的长为　　　　.  17.(2024云南)如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若=,则=　　　　.  18.(2024乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,若=,则=　　　　.  (第18题)　　(第19题) 19.(2023东营)如图,在△ABC中,以点C为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC,BC于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;作射线CF交AB于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为　　　　.  20.(2023杭州)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A,D重合),连接BE,分别延长BE与CD交于点F. (1)若ED=,求DF的长. (2)求证:AE·CF=1. (3)以点B为圆心、BC长为半径画弧,交线段BE于点G.若EG=ED,求ED的长. 角度4旋转型 21.(2024巴中)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG= (　　) A. B. C. D. 22.(2023常德)如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点,且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于点E.将△ADE绕A点顺时针旋转到图(2)的位置,则图(2)中的值为　　　　　　.  　　图(1)　　　　　　图(2)　　(第22题)　(第23题)　 角度5“一线三等角”型 23.(2023东营)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 (　　) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 24.(2023邵阳)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. 角度6其他类型 25.(2024连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为 (　　) A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 26.(2023绍兴)如图,在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B,C重合).过点D作DE∥AB交AC于点E,过点D作DF∥AC交AB于点F.N是线段BF上的点,BN=2NF,M是线段DE上的点,DM=2ME.若已知△CMN的面积,则一定能求出 (　　) A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCN的面积 D.△DCE的面积 命题点4 相似三角形的实际应用 27.(2023南充)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为 (　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m 28.(2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　　　　cm.  考点20图形的相似答案 1 A　2 　3 D　4 A　 5 (-1) 【解析】在正方形MNPQ中,AN∥BP.又∵AB∥NP,∴四边形ABPN是平行四边形,∴AB=NP=2,∴BC=AB=-1. 6 (1)正确. 理由:如图,过点E作EM⊥BC于点M. ∵EF⊥BG,∴∠BHF=90°, ∴∠FBH+∠BFH=90°. ∵∠EMF=90°,∴∠MEF+∠BFH=90°, ∴∠FBH=∠MEF. 又∵∠EMF=∠C=90°, ∴△EMF∽△BCG, ∴=. ∵∠A=∠ABM=∠BME=90°, ∴四边形ABME是矩形,∴AB=EM, ∴=. (2)正确. 理由:∵CD∥FG, ∴△BCD∽△BFG,∠CDF=∠DFG, ∴=. 由折叠知∠CDF=∠BDF,∴∠DFG=∠BDF, ∴GD=GF,∴=. 又∵BG=AB=CD, ∴=, ∴BG2=BD·GD,点G为BD的一个“黄金分割点”. 7 D　8 1∶2　 9 D　∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC(依据:三角形中位线定理),即BC=2DE,∴△ADE∽△ABC,∴=()2=,则S△ADE=SABC.故选D. 10 15 【解析】如图,由题意可知AB=BC=10,CH=CE=EI=6,EG=4,∴CG=10,BG=20.易知AB∥CD∥EF,∴△EFG∽△CDG∽△BAG,∴=,=,即=,=,解得EF=2,CD=5,∴FI=EI-EF=4,DH=CH-CD=1,∴S阴影=S梯形DHIF=×(1+4)×6=15. 11 14 【解析】如图,由题意得=,四边形DECF是平行四边形,∴DF∥BC,DE∥AC,∴△ADF∽△ABC,△BDE∽△BAC,∴==,==.∵AC=6,BC=9,∴DF=3,DE=4.∴平行四边形纸片DECF的周长是2×(3+4)=14. 12 3　 【解析】∵CD=CA,DE∥CB,∴CF是△ADE的中位线,∴DE=2CF=2,∴CA=DC=DE=2.∵∠CAB=∠CFA,∠ACB=∠FCA,∴△CAB∽△CFA,∴=,即=,解得BF=3. 13 ∠ADE=∠C(答案不唯一) 14 (1)证明:∵AD是斜边BC上的高, ∴∠BDA=90°. 又∵∠BAC=90°, ∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B=∠B, ∴△ABD∽△CBA. (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∴=, ∴=, ∴BD=. 15 ∠A=∠C　16 12　 17 【解析】∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD(点拨:“8”字型相似).∵两个相似三角形的周长比等于相似比,∴==. 18 19 12 【解析】如图,过点B作BM∥AC交CG的延长线于点M,则∠ACM=∠CMB.由作图可得CG平分∠ACB,∴∠ACM=∠BCM,∴∠BCM=∠CMB,∴BC=BM(依据:等角对等边).∵BM∥AC,∴△ACG∽△BMG,∴====,∴=,∴S△ACG=S△BCG=12. 如图,过点G分别作AC,BC的垂线,垂足分别为H,I,由作图可知,CG平分∠ACB,∴GH=GI,∴===,∴S△ACG=S△BCG=12. 20 (1)因为正方形ABCD的边长为1,ED=,所以AE=. 由题意,得AB∥FC, 所以△ABE∽△DFE,所以==2, 又因为AB=1,所以DF=. (2)由题意,得AD∥BC,所以∠AEB=∠CBF. 又因为∠A= ∠C,所以△ABE∽△CFB, 所以=. 因为AB=BC=1, 所以AE·CF=AB·BC=1. (3)设EG= ED=x,得AE=1-x,BE=1+x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得(1-x)2+12=(1+x)2, 解得x=, 所以ED=. 21 C 22 【解析】题图(1)中,∵DE∥BC,∴=.由勾股定理,得AC===10.题图(2)中,由旋转的性质,得∠BAD=∠CAE.又=,∴△ABD∽△ACE(依据:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似),∴===. 23 C　∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,∠ADE=60°,∴∠BDE=∠DAC,∴△ADC∽△DEB(点拨:“一线三等角”模型),∴=.∵BD=4DC,∴BD=BC,∴==,∴AD=×DE=3. 24 (1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴∠A=∠CBE=∠D=90°, ∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°, ∴∠C=∠DBE, ∴△ABC∽△DEB. (2)∵△ABC∽△DEB, ∴=, ∴=, ∴BD=3. 25 D 26 D　如图,连接ND.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠ECD=∠FDB,∠FBD=∠EDC,∴△FBD∽△EDC,∴∠NFD=∠MEC,=.∵BN=2NF,DM=2ME,∴NF=BF,ME=DE,∴=,∴=.又∠NFD=∠MEC,∴△NFD∽△MEC,∴∠ECM=∠FDN.∵∠FDB=∠ECD,∴∠NDB=∠MCD,∴MC∥ND,∴S△MNC=S△MDC.∵DM=2ME,∴S△EMC=S△MDC=S△MNC,∴S△DCE=S△MNC.故选D. 27 B　 28 20 【解析】由题意得,AB∥ A'B',∴△AOB∽△A'OB'(点拨:“8”字型相似),过点O作AB的垂线,交AB于点C,交A'B'于点C',则OC'⊥A'B'.易得=,即=,∴OC'=20,故小孔O到A'B'的距离为20 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $