2026年九年级中考数学真题分类训练 考点18 三角形 练习

考点18三角形 命题点1 三角形及边角关系 1.(2023衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 (　　) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm 2.(2023河北)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (第2题)　(第4题)　(第5题) 3.(2023连云港)一个三角形的两边长分别是3和5,则第三边长可以是　　　　.(只填一个即可)  4.(2024连云港)如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,则∠2=　　　　°.  5.(2024凉山州)如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是　　　　.  6. (2024达州)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD.在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB、外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去.若∠C=m°,则∠En=　　　　度.  (第6题)　　(第7题) 命题点2 与三角形有关的重要线段 7.(2024广安)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 (　　) A.45° B.50° C.60° D.65° 8.(2024兰州)如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在A,B外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18 m,由此估测A,B之间的距离约为 (　　) A.18 m B.24 m C.36 m D.54 m 9.(2024凉山州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC= (　　) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm (第8题)　(第9题)　(第10题) 10.(2023陕西)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF,连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (　　) A. B.7 C. D.8 11.(2023新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的长为 (　　) A. B.1 C. D.2 (第11题)　　　(第12题)　 命题点3 等腰三角形 12.(2024兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= (　　) A.100° B.115° C.130° D.145° 13.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 (　　) A. B.2 C.3 D. 14.(2024湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为　　　　°.  15.(2024重庆B)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为　　　　.  (第15题)　　(第16题) 16.(2024内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　　.  17.(2024陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为　　　　.  (第17题)　　(第18题) 18.(2024临夏州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是　　　　.  命题点4 等边三角形 19.(2024辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.120° (第19题)　(第20题)　(第21题) 20.(2024自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢 (　　) A.(24-12)m B.(24-8)m C.(24-6)m D.(24-4)m 21.(2024兰州)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,若AD=4,则EF=　　　　.  22.(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为　　　　cm.  (第22题)　　(第23题) 23.(2023济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=,则BD=　　　　.  24.(2024宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F. 求证:AD=BE. 命题点5 直角三角形 角度1直角三角形的识别 25.(2024陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC的中点,连接AE,则图中的直角三角形有 (　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (第25题)　(第27题)　(第28题) 26.(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是　　　　三角形.  角度2勾股定理及其应用 27.(2023天门)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是 (　　) A. B. C. D. 28.(2023随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=　　　　.  29.(2023东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　　　　km.  30.(2024吉林)图(1)中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图(2),其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺(1尺≈0.33米).设AC的长度为x尺,可列方程为　　　　　　　.  诗文:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处二尺远,花贴湖面像睡莲.图(1)　　图(2) 角度3赵爽弦图 31.(2024眉山)图(1)是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成的.若图(1)中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图(2),则图(2)中最大的正方形的面积为 (　　) A.24 B.36 C.40 D.44 图(1)　　　　图(2)(第31题)　　(第32题) 32.(2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示的值是　　　　.  33.(2023黄冈)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF=a,DF=b,连接AE,BE.若△ADE与△BEH的面积相等,则+=　　　　.  角度4直角三角形的性质及相关计算 34.(2024青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是 (　　) A.3 B.6 C. D.3 (第34题)　(第35题)　(第36题) 35.(2024成都)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线,E为AD中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD=　　　　.  36.(2024达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,∠BAD=45°.若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是　　　　.  命题点6 等腰直角三角形 37.(2024安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是 (　　) A.- B.- C.2-2 D.2- 38.(2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为 (　　) A.18 B.9 C.9 D.6 (第38题)　　(第39题) 39.(2023天门)如图,△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°,点E在△ABC内,BE>AE,连接DF交AE于点G,DE交AB于点H,连接CF.给出下面四个结论:①∠DBA=∠EBC;②∠BHE=∠EGF;③AB=DF;④AD=CF.其中所有正确结论的序号是　　　　.  考点18三角形 1 D　 2 B　在△ACD中,AD=CD=2,根据三角形三边关系(提示:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边)可知,0<AC<4,∴当△ABC为等腰三角形时,AC的长为3. 3 4(大于2小于8的数都可以)　4 30　5 100° 6 【解析】设∠E1AD=α,∠E1BD=β.∵∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,∴∠CAB=3α,∠CBD=3β,由三角形的外角的性质得β=α+∠E1,3β=3α+∠C,∴∠E1=∠C,同理可求得∠E2=∠E1,∴∠E2=()2∠C,…,∴∠En=()n∠C,即∠En=. 7 D　8 C　9 C 10 C　∵DE是△ABC的中位线,BC=6,∴DE∥BC,DE=3,∴△DEF∽△BMF,∴=.∵DF=2BF,∴=2,∴MB=,∴CM=BC+BM=. 11 C　如图,过点D作DH⊥AB于点H,根据尺规作图痕迹可知AD平分∠BAC.设CD=x,则BD=4-x.由∠C=90°,易得DH=DC=x,AH=AC=3.在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∴HB=AB-AH=2.在Rt△HBD中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2,解得x=.故选C. 12 B　 13 C　在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC,∴AF平分∠BAC(依据:等腰三角形“三线合一”).∵点F到直线AB的距离为3,∴点F到直线AC的距离也为3. 14 100 15 2　 【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠C=∠ABC=(180°-∠A)=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°=∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴AD=BC=2. 16 100° 17 60 【解析】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF.如图,过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,则CM=CN(依据:角平分线的性质).又∵S△ACE=AE·CM,S△CBF=BF·CN,且BF=AE,∴S△CBF=S△ACE,∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA.过点A作AH⊥BC于点H,则CH=BH=BC=5(点拨:等腰三角形“三线合一”),∴AH=12(点拨:勾股数“5,12,13”),∴S△CBA=×10×12=60,即四边形EBFC的面积为60. 18 　19 C　20 D　21 2 22 2 【解析】∵点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,∴BC=3-1=2(cm).∵∠α=60°,直尺的对边平行,∴∠ACB=∠α=60°.又∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=2 cm. 23 3- 【解析】如图,过点A作AH⊥BC于H.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=6,∠BAC=60°.∵AH⊥BC,∴BH=3(提示:等腰三角形“三线合一”),AH=3,∠HAC=30°,∴∠HAE+∠EAC=30°.∵∠DAE=30°,∴∠DAH+∠EAH=30°,∴∠DAH=∠EAC(提示:等量代换),∴tan∠DAH=tan∠EAC=,∴DH=AH=,∴BD=BH-DH=3-. 24 证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC. 在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. 25 C　26 直角 27 C　易知AC==5,如图,过点B作BE⊥AC于E.∵S△ABC=AC·BE=BC·AB,∴BE==,∴AE==.∵BD平分△ABC的周长,∴AD+AB=BC+CD,即AD+3=CD+4,又∵AD+CD=AC=5,∴AD=3,CD=2,∴DE=,∴BD==. (第27题)　(第28题) 28 5 【解析】在Rt△ABC中,∵AC=8,BC=6,∴AB===10.如图,过点D作DP⊥AB于点P.易证△BDC≌△BDP,∴BC=BP=6,DP=DC,∴AP=4.设DP=DC=x,则AD=8-x.在Rt△ADP中,由勾股定理,得DP2+AP2=AD2,即x2+42=(8-x)2,∴x=3,∴AD=8-x=5. 模型分析 ◀ ◀ ◀ “角平分线+垂直”模型 描述 图示 结论 已知AP是∠MAN的平分线,OB⊥AP于点O. 辅助线作法:延长BO交AN于点C. 1.AB=AC; 2.OB=OC; 3.∠ABC=∠ACB; 4.△AOB≌△AOC. 已知AP是∠MAN的平分线,OC⊥AN于点C. 辅助线作法:过点O作OB⊥AM于点B. 1.△AOB≌△AOC; 2.AB=AC; 3.OB=OC. 29 50 【解析】如图,由题意知AN∥BM,∴∠MBA=180°-∠NAB=180°-60°=120°,∴∠ABC=∠ABM-∠MBC=120°-30°=90°,∴AC===50(km). 30 x2+22=(x+0.5)2　31 D　 32 【解析】如图,过点A作AG⊥AM,交FE的延长线于点G(关键点:构造“8”字型相似模型).设AM=a.∵四边形MNPQ是正方形,∴∠AME=∠PMN=45°,∴△AGM是等腰直角三角形,∴AG=AM=a.∵AG⊥AN,BP⊥AN,∴AG∥BP,∴△AGE∽△BPE,∴==k,∴BP=ka.易知AN=BP=ka,BN=AM=a,∴PN=(k-1)a,S1=AB2=AN2+BN2=k2a2+a2,∴S2=PN2=(k-1)2a2,∴=. 方法一:如图(1),延长FE至点H,使得AH=AE,∴∠H=∠AEH=∠BEP.又∠AMH=∠PMN=∠MPN=45°,∴△MAH∽△PBE,∴===k,∴BP=kAM.同理可得=. 图(1)　　图(2) 方法二:如图(2),过点E作EI⊥AN于点I(关键点:构造“A”字型相似模型),∴EI∥BN,∴△AEI∽△ABN,∴==.设EI=b,则BN=(1+k)b,∴AM=(1+k)b.∵∠AME=∠PMN=45°,∴△MEI是等腰直角三角形,∴IM=EI=b,∴AI=kb.∵EI∥BN,∴==,∴IN=k2b,∴AN=kb+k2b=k(k+1)b,∴MN=(k2-1)b,S1=AB2=BN2+AN2=(k+1)2b2+k2(k+1)2b2=(k2+1)(k+1)2b2,∴S2=MN2=b2=(k-1)2(k+1)2b2,∴=. 33 3 【解析】由题意可知DE=AF=a,EH=b-a,BH=b,∴S△ADE=DE·AF=a2,S△BEH=BH·EH=b(b-a)=b2-ab.∵S△ADE=S△BEH(信息点),∴a2=b2-ab,∴a2-b2=-ab,∴+===+2=1+2=3. 34 A 35 【解析】如图,连接CE.∵点E为Rt△ACD斜边AD的中点,∴CE=AE=DE.过点E作EH⊥CD于点H,则CH=HD=1,∠CED=2∠1,∴AC=2EH(依据:三角形中位线定理).设EH=m,BD=x,则HB=1+x,BE=BC=2+x.由勾股定理,得EH2=BE2-BH2,∴m2=(2+x)2-(1+x)2=2x+3①.∵EH∥AC,∴∠2=∠1,∴∠CAB=2∠2=2∠1=∠CED.∵BE=BC,∴∠BEC=∠3.∵EC=ED,∴∠3=∠4,∴∠EBC=∠CED=∠CAB.又∠BHE=∠ACB=90°,∴△BHE∽△ACB,∴=,即=,得2m2=(1+x)(2+x)②,联立①②,得2(2x+3)=(1+x)(2+x),解得x=(负值已舍去),∴BD=. 36 【解析】如图,过点D作DE⊥AD交AB于点E,过点E作EF⊥BC于点F.易证△ACD≌△DFE(点拨:“一线三垂直”全等模型),∴DF=AC=4,FE=CD=1.由EF∥AC,可得△EBF∽△ABC,∴=,即=,∴BF=,∴S△ABC=BC·AC=×(1+4+)×4=. 在Rt△ACD中,由勾股定理得AD===.如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵∠BAD=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AD=.设DB=x,则CB=x+1,∴AB=.∵sin B==,∴=,解得x1=-(舍去),x2=,经检验,x=是原方程的解,∴S△ABC=CB·AC=×(1+)×4=. 37 B　由题意可知△ABC是等腰直角三角形,则CD=AB=AC=2.如图,过点C作CE⊥AB于E,则AE=BE=CE=AB=,∴DE===,∴BD=DE-BE=-. 如图,过点D作BC的垂线,垂足为点F,则△BDF是等腰直角三角形,设BF=DF=x,则BD=x,CF=2+x.易知CD=AB=AC=2.在Rt△CFD中,CF2+DF2=CD2,∴(2+x)2+x2=(2)2,解得x1=-1+,x2=-1-(舍去),∴BD=x=-. 38 C　如图,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC,D为边BC的中点,∴∠B=∠C=∠BAD=45°,AD=DC=BD.又∵AE=CF,∴△DAE≌△DCF,∴S△AED=S△CFD,∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CDF+S△ADF=S△ACD=S△ABC=××6×6=9. 39 ①③④ 【解析】∵△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形,∠DEB=∠AEF=∠BAC=90°,∴AB=AC,∠ABC=∠DBE=45°,AE=EF,DE=BE,∴∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE,∠AED+∠DEB=∠AED+∠AEF,∴∠DBA=∠EBC,∠AEB=∠FED,故结论①正确.∴△AEB≌△FED,∴AB=DF=AC,∠ABE=∠FDE,∠BAE=∠DFE,故结论③正确.∵BE>AE,∴∠ABE≠∠BAE,∴∠ABE≠∠DFE.又∵∠ABE+∠BHE=90°,∠DFE+∠EGF=90°,∴∠BHE≠∠EGF,故结论②错误.设AB与DF的交点为K.∵∠DFE+∠EGF=90°,∴∠BAE+∠AGD=90°,∴∠AKG=90°=∠BAC,∴DF∥AC.又∵DF=AC,∴四边形ADFC是平行四边形,∴AD=CF,故结论④正确.故正确结论为①③④. 学科网（北京）股份有限公司 $