安徽省县域高中合作共享联盟2026届高三上学期1月期末质量检测数学试题（A卷）

2025～2026学年第一学期期末质量检测 高三数学（A卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 5. 在单项选择题中，每道题有ABCD四个选项，其中仅有一个选项正确．学生小张与小李两人对同一题在选项ABCD中随机选择一项．事件：两人选择都正确；事件：两人选择都错误；事件：至少有一人选择正确，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 7. 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 水稻的产量与单株水稻谷粒饱满程度及谷粒数量有关．某科研小组在一块水稻田中，随机抽取10株即将成熟的水稻，检查每株的谷粒数量，统计如下：150，153，150，148，142，157，160，146，150，154（单位：粒），则（ ） A. 这10个数据的中位数和众数相等 B. 这10个数据的平均数为150 C. 这10个数据的极差为18 D. 这10个数据的方差为24 10. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 在上单调递减 C. 曲线是中心对称图形 D. 存在常数，使对成立 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上，与轴垂直．若直线的斜率是直线的斜率的3倍，且，，点在的左支上，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知满足，则________． 13. 已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 14. 在集合中任取一个数组，则该数组满足，，成等差数列的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边长分别是，且． （1）求角； （2）若，求的面积的最大值． 16. 若数列的前项和为，且，，等比数列的首项为，． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列的前项和为，求满足的最小的正整数的值． 17. 如图，在三棱柱中，，和分别是和的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若， （i）求多面体的体积； （ii）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，，过点的直线交椭圆于另外一点，点是直线上不同于的一点，且满足，为坐标原点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线的斜率不为0，直线的斜率为，直线的斜率为，问是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 19. 设函数，是实数． （1）若1是的一个零点，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若，，，证明：． 2025～2026学年第一学期期末质量检测 高三数学（A卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为和分别是和的中点，可得， 在三棱柱中，可得，可得， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）（i）；. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3） 证明：要证，即证 ， 化简后等价于：, 令，则需证, 令，则 令，由于 则， 故 因，则，故 且当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故， 即得， 即得，且只有当时，， 故在上单调递减， 由，，得，故， 即，即得， 同理由可得， 故 故原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $