2025-2026学年高三上学期期末模拟数学试卷（适用于安徽省合肥市）

安徽省合肥市2025-2026学年高三（上）期末模拟试卷 数 学 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 3、考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 I 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，若中恰含有一个整数，则实数取值范围(    ) A. B. C. D. 2.若从无穷数列中任取若干项，，，其中都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列”给出以下两个命题： 数列，，，，，是某个数列的“衍生数列” 若各项均为或，且是自身“衍生数列”，则从某一项起为常数列下列判断正确的是． A. 均为真命题 B. 均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 3.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 4.设，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米小时是车流密度单位：辆千米的函数，当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时．研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时可以达到最大？(    ) A. B. C. D. 6.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.中，，，，点是内包括边界的一动点，且，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 8.已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，其中点在第一象限，且原点是的外心，则下列说法正确的是(    ) A. 点一定在第四象限 B. 点可能在第三象限 C. D. 若，则的面积为 10.设直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，，，，，，且，则 A. 图象的对称中心为 B. C. D. 11.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 若函数的最小值为，则 B. 若，则使得成立 C. 若，都有成立，则 D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是 II非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设是的外心，满足，，若，则面积的最大值为______． 13.已知函数，则          ． 14.函数在上的单调递减区间为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平行四边形中，为的中点，，分别为，的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． 把▱放到平面直角坐标系中，若，，求点的坐标； 用，表示，； 若，，求． 16.本小题分 已知正项数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式； 若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 17.本小题分 已知内角，，的对边分别为，，，C. 求的值 若的面积为，且，求的周长． 18.本小题分 函数的部分图象如图，是图象的一个最低点，图象与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为． Ⅰ求，，的值； Ⅱ若关于的方程在上有一解，求实数的取值范围 19.本小题分 已知函数，． 当时，求曲线在点处的切线方程； 当时，求函数在区间上的最大值和最小值； 若对任意的，均存在，使得，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】，可得， 由， 方程中， 设、为方程的两根， 即，， 解得， 由根与系数的关系可得，，， 根据题意中恰含有一个整数， 所以或不满足，舍去， 由，解得．故选：． 2.【答案】  【解析】对于：由题意，若存在无穷数列满足要求， 则数列包含，，三项，不妨令，，，符合题意， 但若只取出，，这两项不是数列，，，，，的连续两项，不合题意，故数列，，，，，不是某个数列的“行生数列”，为假命题 对于：定义，，，，，，， 当数列按照集合的元素特征进行排序，例如，，，，，，，，时， 满足各项均为或，任意个和的组合均为集合的元素， 即在数列中均有对应，可知是自身的“衍生数列”， 但是数列从某一项起不是常数列，为假命题． 综上，均为假命题．故选：． 3.【答案】  【解析】，，，  令， 则， 故在上单调递增， 故， 即， 即  令， 则 ， ， 令， 则 ， 令，得， 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 即， 即， 故．故选：． 4.【答案】  【解析】函数恰有个零点，则恰有个根， 令，即函数的图象与直线恰有个交点， 当时，，所以在上是减函数； 当时，，当时，， 当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 且， 又，且当时，， 所以，所以实数的取值范围为． 故选A． 5.【答案】  【解析】当时，设，则，解得 于是 设车流量为，则 当时，，此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为辆． 故选：． 6.【答案】  【解析】在中，由余弦定理，得， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得或不合题意，舍去，所以 ， 所以， 由，且，，得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以， 当且仅当时，即时，取最小值， 因为，且函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以  故选：． 7.【答案】  【解析】中，，，， ，，，； 以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， ，，， ，，， 设点为，，， ， ， ， ， 直线的方程为，， 联立，得， 此时最大， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】当时，，，． 当时，由，及可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此， 则． ， 又当时，， ， 对于，， ， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】设，则，， 所以，． 对于，由题意知点在第一象限，则，，所以点一定在第四象限，故A正确； 对于，因为，，所以，点不可能在第三象限，故B错误； 对于，因为原点是的外心，所以， 即，由题知，所以，故C正确； 对于，易知与轴平行，若，则与轴平行，与的虚部相等， 即，得，又因为，所以， 从而可得，，，，， 所以，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】因为为奇函数，其图象关于原点对称， 则的图象关于点对称，A正确； 因为， 则为函数的个零点， 所以， ， 比较等式两边各项的系数，得， 所以，B错误； 因为， 则当时，单调递减； 当或时，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 作的大致图象如图所示， 由图可知，， 则，C正确； 因为由选项得， 由选项得， 由图可知，， 则， 所以，D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】， 其中， 对于，函数最小值为，解得，故A错误； 对于，令， 所以 ， 由，即， 令，即，则，故B错误； 对于，因为，所以， ，则，所以， 又恒成立，即， 即恒成立， 所以 即，故C正确； 对于，， 其中， 由为正实数，不妨取，又， 则，若函数在上存在最大值， 则，即， 所以，即，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】由，得到． 所以 如图，取中点，再取中点，则 因为，所以 则，，． ． 当时，三角形面积取最大值．故答案是：． 13.【答案】  【解析】因为函数， 所以     ． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】 余弦函数的单调递减区间为 令，则： 解不等式得： 因为函数的定义域为，令，得区间． 故函数在上的单调递减区间为． 15.【解析】设点，由题可得， 又，，则， 即，解得：，， 即点； 由题可得， ； 由题可得，， 所以， 所以 ．  16.【解析】由 ，得， 两式相减得  ， ，又， ， 数列为等差数列且公差， 又，， ， 则数列的通项公式． 由知， ， ， 得 ， ， 因为，所以数列是递增数列， ， 当时，， 当时，， 得最小值为．  17.【解析】因为，即， 因为，所以， 因为， 即， 所以； 因为， 所以， 因为， 即， 因为，，， 所以，得， 所以， 所以的周长为．  18. 【解析】Ⅰ由函数的部分图象可知， 函数的周期为， ，解得； 又函数图象过点， ， ， ，，即； 由，得，； 函数 当时，，； 综上可知，，，． Ⅱ由得， 要使方程在上有一解， 只需直线与函数的图象在上只有一个交点； 由Ⅰ可知， 画出函数在区间上的图象，如图所示； 由图象知，当或时，满足题意， 所以的取值范围是．  19.【解析】  时，  ， ，  ，  曲线  在点  处的切线方程为：  ，即 ； 当时，，， 由  ，得 ， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ； 又，，， ． 函数在区间上的最大值是；最小值是； 当，，其对称轴方程为， 当时，取得最大值． 又， ， 当时，在区间上单调递增， 显然，，符合题意； 当时，令，得， 所以在上单调递增，在单调递减， 故， 所以， 解得：． 综上可得的取值范围是  学科网（北京）股份有限公司 $