精品解析：安徽省江淮教育联盟2025-2026学年上学期九年级 数学期末卷

2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于反比例函数图象的描述错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在此函数图象上 C. 在每个象限内，函数随的增大而增大 D. 图象关于坐标原点成中心对称 4. 球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点在边上，点在边上．若，，，则的长是（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，，点在上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是矩形对角线上（端点除外）的动点，是边上（端点除外）的动点，连接，．若，，则的最小值为（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 8.4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值等于___________． 12. 如图，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点、若的面积为5，则的值为___________． 13. 如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求，的值； （2）若A，B两点关于轴对称，求，的值． 16. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）将先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的； （2）将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，． （1）求的长； （2）求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 20. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 （1）丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． （2）当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． （3）当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点． （1）求证：． （2）已知． （I）求的值； （II）若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面的支柱（是其中的两根支柱），相邻两根支柱之间的距离均为（支柱的粗细忽略不计），地面的两端点与最近的支柱之间的距离也是，以为坐标原点，地面为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱的高度是． （1）求大棚截面顶部抛物线的表达式． （2）此截面上支柱在支柱的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱的高度． （3）娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱高度的．”娟娟说的对吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点式为，顶点坐标为． 根据二次函数顶点式为，解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， 故选：A． 2. 下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，准确判断图形是否符合轴对称和中心对称的特征是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列关于反比例函数图象的描述错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在此函数图象上 C. 在每个象限内，函数随的增大而增大 D. 图象关于坐标原点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数 的，图象位于第一、三象限，点在图象上，图象关于原点对称，但在第一，三象限内 随 的增大而减小． 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内． 【详解】∵ 反比例函数 ，当时，图象在第一、三象限，∴选项 A 正确； ∵ 当 时，，∴ 点在图象上，∴ 选项B 正确； ∵ 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小，∴ 选项C 错误； ∵ 反比例函数图象关于原点对称，∴选项 D 正确． ∴故选： C． 4. 球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理得出，设截面圆的半径为，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设截面圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴截面圆的半径为． 故选：D． 5. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 6. 如图，在中，，，点在边上，点在边上．若，，，则的长是（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．先通过计算对应边的比例，结合公共角证明两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例求出DE的长度． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 先求二次函数的对称轴，利用开口方向和增减性比较y值大小即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴是二次函数的对称轴， ∴点在对称轴左侧，点和在对称轴右侧， ∴点关于的对称点，点的对称点， ∴， ∵，开口向上， ∴在对称轴左侧，二次函数递减， ∴． 故选D． 8. 如图，四边形是的内接四边形，，点在上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则四边形是的内接四边形，根据“圆的内接四边形对角互补”可得 ，由可得，再根据“圆的内接四边形对角互补”可得． 本题主要考查了圆周角定理和“圆的内接四边形对角互补”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 9. 已知实数满足，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减、一元一次方程的求解和一元一次不等式的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据已知方程联立求解，得到和，再结合判断各选项正误即可． 【详解】解：∵，， 得： 解得， 将代入①得：， ∴， ∵，且，， ∴，即，， ∴选项A、B、D正确； C、，但，， ∴，该选项错误，符合题意． 故选C． 10. 如图，是矩形对角线上（端点除外）的动点，是边上（端点除外）的动点，连接，．若，，则的最小值为（ ） A. 6 B. 6.4 C. 8 D. 8.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、相似三角形的性质及判定、轴对称图形等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，过点作，垂足为，根据“垂线段最短”可知，当点，，共线且时，的值最小，证明，得到． 【详解】解：四边形是矩形，，， ． 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接． ， ． ． ． 由作图知， ． 根据“垂线段最短”可知，当点，，共线且时，的值最小． 过点作，垂足为． ，， ． ． ． ． ． 的最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：若，则．由已知比例设参数，代入所求表达式计算． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 12. 如图，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点、若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数中比例系数k的几何意义得到，再结合反比例函数图象所在象限，得到，即可确定 k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点、 ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴，则， 故答案为：． 13. 如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到．交于点，连接．若，则___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由旋转的性质和等边对等角得到，再由相似三角形的性质推出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得，据此求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质和三角形内角和定理，证明是解题的关键． 14. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点的坐标，可得到n的值，即可求解． 【详解】解：（1）当时，抛物线的表达式 它的对称轴是直线． 故答案为：6 （2）当时，抛物线的表达式， 它的对称轴是直线， 是的中点， 点的坐标为， 把它代入，得：， 解得． 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是和1，与图象不符，应舍去； 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意， 的值为3． 故答案为：3． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求，的值； （2）若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【小问1详解】 解：两点关于原点对称， ， ； 【小问2详解】 解：两点关于轴对称， ， ． 16. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）观察图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，求出函数解析式是解决本题的关键． （1）将点分别代入和，即可求出a，b的值，可得反比例函数和一次函数的解析式，再将代入一次函数解析式进行求解即可； （2）观察图象，找到双曲线在直线上方时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入和中， 得， 解得， ∴，， 把代入中， 得 解得， ； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，自变量的取值范围是或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）将先向下平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出平移后的； （2）将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平移作图和旋转作图； （1）根据平移的性质作出对应点，再连接即可； （2）根据旋转的性质作出对应点，再连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据旋转的性质可得，则为等边三角形，则； （2）由旋转得，由（1）得，最后通过勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转得， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：由旋转得， 由（1）可知， ， 在中， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若原方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程： （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于m的一元二次方程，最后解方程即可． 【小问1详解】 解：． 不论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 的值为或． 20. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ． ， ． 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在中，， ． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 （1）丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． （2）当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． （3）当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】（1）函数图象如图； （2）托盘中砝码的质量为 （3）托盘应该向左移动 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． 【小问2详解】 解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； 【小问3详解】 解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点． （1）求证：． （2）已知． （I）求的值； （II）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（I）；（II）的值为8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）设，由等边对等角得，由三角形外角性质得，进而得，则得证； （2）（I）根据相似三角形的性质得，然后再证再得即可解答；（II）先根据题目数据计算，再由（1）得，结合得，由相似三角形对应变成比例得，进而得到关于的等量关系式，计算可得，注意验证计算结果． 【小问1详解】 解：平分， ， 设， ， ，， 是的一个外角， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 （I）， ． 是公共角， ． ． （II），， ， 由（1）知 ， 又， ， ， ， 即， 解得或（线段长度不能为负，舍去）， 的值为． 八、（本题满分14分） 23. 图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面的支柱（是其中的两根支柱），相邻两根支柱之间的距离均为（支柱的粗细忽略不计），地面的两端点与最近的支柱之间的距离也是，以为坐标原点，地面为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱的高度是． （1）求大棚截面顶部抛物线的表达式． （2）此截面上支柱在支柱的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱的高度． （3）娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱高度的．”娟娟说的对吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）支柱的高度为 （3）娟娟说的不对，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，得出顶点，利用顶点式设抛物线的表达式为，根据过点，代入求出a即可求解． （2）根据题意，将代入（1）中的解析式求出的值，即可求解； （3）根据题意，将代入解析式求出x的值，判断是否与实际相符即可． 【小问1详解】 解：由题意知，顶点， 设抛物线的表达式为， 过， ，解得， 则抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意知，点的横坐标为8． 当时， ， 支柱的高度为； 【小问3详解】 解：娟娟说的不对，理由如下： ， 当时，，解得． 相邻支柱之间的距离均为， 所有支柱底端点的横坐标都是4的整数倍， 不存在支柱的高度恰好是高度的， 故娟娟说的不对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $