2026年九年级中考数学真题分类训练考点16二次函数综合题练习

考点16二次函数综合题 命题点1 二次函数图象与性质的综合题 1.(2023杭州)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示: x … -1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若m=4, ①求二次函数的表达式; ②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小. (2)若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围. 2.(2024临沂)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m. (1)求m的值. (2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和. (3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1<x2).若4<x2-x1<6,求a的取值范围. 3.(2024广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式; ②求当x取何值时,函数y取最小值,并写出此时的y值. 【举一反三】老师给出更多a的值,同学们求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表: a … -4 -2 0 2 4 … x … * 2 0 -2 -4 … y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 … 注:*为②的计算结果. 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.” 甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.” 乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由. 4.(2023吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1),点P,Q在此抛物线上,其横坐标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ. (1)求此抛物线的解析式. (2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值. (3)当∠PAQ的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差. (4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1,在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2.当h2-h1=m 时,直接写出m的值. 备用图 命题点2 二次函数与线段长、图形面积的综合题 5.(2024扬州)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点. (1)求b,c的值; (2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标. 6.(2024福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2). (1)求二次函数的表达式; (2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标. 7.(2024连云港)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx-1(a,b为常数,a>0). (1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式. (2)如图,当b=1时,分别过点C(-1,a),D(1,a+2)作y轴的平行线,交抛物线于点M,N,连接MN,MD.求证:MD平分∠CMN. (3)当a=1,b≤-2时,过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线,交抛物线于点H.若GH的最大值为4,求b的值. 8.(2024成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L:y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点. (1)求线段AB的长. (2)当a=1时,若△ACD的面积与△ABD的面积相等,求tan∠ABD的值. (3)延长CD交x轴于点E,当AD=DE时,将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'.将抛物线L平移得到抛物线L',使得点A',B'都落在抛物线L'上.试判断抛物线L'与L是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由. 备用图 考点16二次函数综合题 1 (1)①由题意,得 解得 所以y=x2- 2x+1. ②答案不唯一,如x<1. (2)因为二次函数的图象经过点(0,1),(2,1), 所以二次函数的图象的对称轴是直线x=1, 所以b=-2a. 所以m=p=a-b+1=3a+1,n=a+b+1=-a+1(关键点). 因为在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数, 所以n>0,m=p≤0, 所以 解得a≤-. 解题突破 ◀ ◀ ◀ 对于本题第(2)问,需要学生画出草图,结合抛物线的对称轴,分析抛物线不同开口方向的情况下x=-1,1,3时y值的正负,以及m,p之间的数量关系,列出不等式组求解. 2 (1)方法一:由题意得,二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与y轴的交点坐标为(0,-3). 又∵点P(2,-3)在函数图象上, ∴m==1. 方法二:∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上, ∴4a+2b-3=-3,∴b=-2a, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1, ∴m=1. (2)将P(2,-3),Q(1,-4)分别代入y=ax2+bx-3, 得解得 ∴y=x2-2x-3, ∴平移后新的二次函数的解析式为y=x2-2x+2,其对称轴为直线x=-=1. ∵0≤x≤4, ∴当x=1时,函数取最小值,最小值为12-2×1+2=1, 当x=4时,函数取最大值,最大值为42-2×4+2=10, ∴当0≤x≤4时,新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3)∵y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1<x2), ∴x1+x2=2,x1·x2=-(点拨:根与系数的关系为x1+x2=-,x1x2=). ∵x2-x1=, ∴x2-x1==2. ∵4<x2-x1<6, ∴4<2<6, ∴2<<3,解得<a<1. 3 (1)①y=x2-8x-7. ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23. ∵1>0,∴抛物线开口向上, ∴当x=4时,y取最小值,最小值为-23. (2)y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, ∵1>0,∴抛物线开口向上, ∴当x=-a时,y取最小值. ∴甲同学的说法合理. (3)乙同学的猜想正确. 当x=-a时,y取最小值, 此时y最小值=-a2+a-3=-(a-)2-, ∵-1<0,∴抛物线开口向下, ∴当a=时,y最小值取最大值,最大值为-. 4 (1)把(0,1)代入y=-x2+2x+c,得c=1, 故该抛物线的解析式为y=-x2+2x+1. (2)∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, ∴该抛物线的顶点坐标为(1,2). 又点Q与抛物线的顶点重合, ∴2m=1,解得m=. (3)分两种情况讨论. ①当AP∥x轴时,易知此时点A与点P关于抛物线的对称轴直线x=1对称, ∴点P的横坐标为2,∴点Q的横坐标为4, ∴yP-yQ=(-22+2×2+1)-(-42+2×4+1)=8; ②当AQ∥x轴时,易知此时点A与点Q关于抛物线的对称轴直线x=1对称, ∴点Q的横坐标为2,∴点P的横坐标为1, ∴yP-yQ=(-12+2×1+1)-(-22+2×2+1)=1. 综上所述,点P和点Q的纵坐标的差为1或8. (4)或. 解法提示:易知P(m,-m2+2m+1),Q(2m,-4m2+4m+1). 分四种情况讨论. ①当点P和点Q都在抛物线的顶点左侧时,0<2m<1, 解得0<m<, 此时h1=yP-yA=-m2+2m,h2=yQ-yA=-4m2+4m, ∴-4m2+4m+m2-2m=m,整理,得3m2-m=0, 解得m1=0(舍去),m2=. ②当点P在抛物线的顶点左侧,点Q在抛物线的顶点上或顶点右侧时,≤m<1, 此时h1=-m2+2m,h2=2-1=1, ∴1+m2-2m=m,整理,得m2-3m+1=0, 解得m1=(舍去),m2=(舍去). ③当点P在抛物线的顶点上或顶点右侧,点Q在抛物线的顶点右侧,且点P的横坐标小于2时,1≤m<2, 此时h1=2-1=1,h2=2+4m2-4m-1=4m2-4m+1, ∴4m2-4m+1-1=m,整理,得4m2-5m=0, 解得m1=0(舍去),m2=. ④当m>2时,h1=2+m2-2m-1=m2-2m+1,h2=4m2-4m+1, ∴4m2-4m+1-m2+2m-1=m,整理,得3m2-3m=0, 解得m1=0(舍去),m2=1(舍去). 综上所述,m的值为或. 5 (1) ∵二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点, ∴ 解得 ∴b=-1,c=2. (2)∵A(-2,0),B(1,0),∴AB=3. ∵S△PAB=AB·|yP|=6,∴|yP|=4. 当yP=4时,令-x2-x+2=4,方程无解. 当yP=-4时,令-x2-x+2=-4,解得x1=-3,x2=2. ∴点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4). 对于第一问,可用如下方法解题. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点,故二次函数的表达式为y=-(x+2)(x-1)(提示:交点式),即y=-x2-x+2,∴b=-1,c=2. 6 (1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c, 得解得 故二次函数的表达式为y=x2+x-2. (2)设P(m,n),因为点P在第二象限,所以m<0,n>0. 依题意,得=2,即=2, 所以=2. 由已知,得CO=2, 所以n=2CO=4. 由m2+m-2=4, 解得m1=-3,m2=2(舍去), 所以点P的坐标为(-3,4). 7 (1)分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-1,得 解得 ∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-x-1. (2)∵b=1,∴y=ax2+x-1. 当x=-1时,y=a-2,即点M(-1,a-2),当x=1时,y=a,即点N(1,a).连接CN, ∵C(-1,a),N(1,a),∴CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM⊥CN, ∴在Rt△CMN中,MN==2. ∵DN=a+2-a=2,∴DN=MN,∴∠NDM=∠NMD. ∵DN∥CM,∴∠NDM=∠CMD,∴∠NMD=∠CMD, ∴MD平分∠CMN. (3)当a=1时,y=x2+bx-1. 设G(m,m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3. 令x2+bx-1=x-1,解得x1=0,x2=1-b. ∵b≤-2,∴x2=1-b≥3,∴点G在H的上方(如图(1)). 图(1) 设GH=t,故t=-m2+(1-b)m, 其图象对称轴为直线m=,且≥. ①当≤≤3时,得-5≤b≤-2. 由图(2)可知:当m=时,t取得最大值=4, 解得b=-3或b=5(舍去). 图(2)　　　图(3) ②当>3时,得b<-5, 由图(3)可知:当m=3时,t取得最大值-9+3-3b=4. 解得b=-(舍去). 综上所述,b的值为-3. 8 (1)令y=0,得ax2-2ax-3a=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴A(-1,0),B(3,0), ∴AB=3-(-1)=4. (2)xC=(-1+3)÷2=1,∴yC=-4, ∴C(1,-4). 如图,过点D作DH⊥x轴于点H. 设D(d,d2-2d-3), 则直线AD的解析式为y=(d-3)x+d-3,DH=-d2+2d+3. 过点C作CG⊥x轴交AD于点G,则G(1,2d-6), ∴CG=2d-6+4=2d-2. ∵S△ACD=S△ABD,∴CG·(xD-xA)=AB·DH, ∴(2d-2)(d+1)=4(-d2+2d+3), 解得d1=-1(舍去),d2=, ∴D(,-),∴tan∠ABD===. (3)抛物线L'与抛物线L交于某个定点. 设D(d,m). ∵点E在x轴上,且AD=DE,∴E(2d+1,0). ∵△ADB平移得到△A'EB',且点A',B'在抛物线L'上, ∴相当于将抛物线L向右平移(d+1)个单位长度,向上平移-m个单位长度,得到抛物线L', ∴抛物线L'的解析式为y=a(x-d-1)2-2a(x-d-1)-3a-m. 联立抛物线L,L'的解析式,得ax2-2ax-3a=a(x-d-1)2-2a(x-d-1)-3a-m,其中m=ad2-2ad-3a, 整理,得2x-6-6d+2xd=0,即2(d+1)(x-3)=0, ∴x=3, 故抛物线L'与L交于定点(3,0). 学科网（北京）股份有限公司 $