2026年九年级中考数学真题分类训练 考点15 二次函数的实际应用 练习

考点15二次函数的实际应用 命题点1 物体抛起高度与时间的关系问题 1.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论: ①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m; ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中,正确结论的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2024河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　　　　s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).  (2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由. 命题点2 抛物线形问题 3.(2024广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM的长为　　　　m.  4.(2024甘肃)如图(1)为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分,如图(2)是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).  图(1)　图(2) 5.(2023兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m. (1)求y关于x的函数表达式; (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长. 6.(2024江西)如图,一小球从斜坡点O以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①m=　　　　,n=　　　　;  ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为　　　　米;  ②求v的值. 7.(2023武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如下表. 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现　x与t、y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围). 问题解决　如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题. (1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离; (2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 命题点3 面积问题 8.(2024泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是　　　　平方米.  9.(2024湖北)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围). (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由. (3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少? 10.(2023徐州)如图,正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形,得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y. (1)求y关于x的函数表达式. (2)当AE取何值时,四边形EFGH的面积为10? (3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 命题点4 销售、利润问题 11.(2024广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币) 12.(2024辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示: 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)这种商品日销售额能否达到2 600元?如果能,求出每件售价;如果不能,请说明理由. 13.(2024遂宁)某酒店有A,B两种客房,其中A种客房24间,B种客房20间.若全部入住,一天营业额为7 200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3 200元. (1)求:A,B两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加10元,就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为多少元? 14.(2024南充)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件 B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元. (2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价) 15.(2024新疆)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数解析式为y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中(,)是其顶点. (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式. (2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少? (3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润?最大利润是多少? (注:利润=销售额-成本) 考点15二次函数的实际应用答案 1 C　对于h=30t-5t2(0≤t≤6),令h=0,则30t-5t2=0,解得t1=0,t2=6,∴小球从抛出到落地需要6 s,故①正确.∵h=30t-5t2=-5(t-3)2+45,∴小球运动的最大高度为45 m,∴小球运动中的高度可以是30 m,故②正确.对于h=30t-5t2(0≤t≤6),当t=2时,h=30×2-5×22=40,当t=5时,h=30×5-5×52=25,∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度,故③错误.故选C. 2 (1) (2)根据题意,得当t=时,h=20, ∴-5×()2+v0×=20, ∴v0=20,即小球被发射时的速度为20 m/s. (3)小明的说法不正确. 理由如下: 由(2),得h=-5t2+20t. 当h=15时,15=-5t2+20t, 解得t1=1,t2=3. ∵3-1=2(s), ∴小明的说法不正确. 3 【解析】如图,以点O为原点,OM所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则P(0,),抛物线的顶点坐标为(5,4).设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4,将P(0,)代入,得=a(0-5)2+4,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-5)2+4.当y=0时,-(x-5)2+4=0,解得x1=,x2=-(不符合题意,舍去),∴OM= m. 4 能 【解析】假设DE刚好在点B的正下方,∵CD=4,B(6,2.68),∴OC=6-4=2.对于y=-0.02x2+0.3x+1.6,当x=2时,y=2.12,∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内. 5 (1)由题意可知点A的坐标为(0,10),故可设y与x的函数表达式为y=ax2+bx+10, 易知该抛物线的对称轴为直线x=1,且过点(3,7), 由此可得解得 ∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)令y=0,得-x2+2x+10=0, 解得x1=-+1,x2=+1, ∴OB=+1. 6 (1)①3　6 ②方法一:把和分别代入y=ax2+bx, 得 解得 ∴y=-x2+4x. 令x=-x2+4x, 解得x1=0(舍),x2=. 将x=代入y=x,得y=, ∴点A的坐标是(,). 方法二:设y=a(x-4)2+8, 将(2,6)代入,得a(2-4)2+8=6, 解得a=-, ∴y=-(x-4)2+8, 即y=-x2+4x. 令x=-x2+4x, 解得x1=0(舍),x2=. 将x=代入y=x,得y=, ∴点A的坐标是(,). (2)①8(填“”亦可) ②方法一:∵y=-5t2+vt=-5(t-)2+, ∴=8, ∴v1=4,v2=-4. ∵y=-5t2+vt=-5(t-)2+图象的对称轴为直线t=, ∴>0. ∴v>0, ∴v=4.(答案写“4米/秒”亦可) 方法二:∵y=-5t2+vt图象的顶点纵坐标为8, ∴=8, ∴v1=4,v2=-4. 当v=-4时,y=-5t2+vt=-5t2-4t. ∵t≥0, ∴y≤0, ∴v=-4不成立, ∴v=4.(答案写“4米/秒”亦可) 7 探究发现　x=5t,y=-t2+12t. 问题解决　(1)依题意,得-t2+12t=0, 解得t1=0(舍),t2=24, 当t=24时,x=120. 答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m. 另解:由y=-t2+12t和x=5t,得y=-x2+x,通过y=0求出x的值. (2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=-t2+12t+n. ∵125<x<130,∴125<5t<130,∴25<t<26. 在y'=-t2+12t+n中, 当t=25,y'=0时,n=12.5; 当t=26,y'=0时,n=26. ∴12.5<n<26. 答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m. 另解:在y'=-x2+x+n中,令y'=0,通过x的取值范围求出n的取值范围. 8 450 【解析】设垂直于墙的边长为x米,菜园的面积为y平方米,则平行于墙的边长为(60-2x)米,∴y=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450.∵墙长40米,∴0<60-2x≤40,∴10≤x<30,故当x=15时,可围成的菜园的面积最大,最大面积是450平方米. 9 题干:……某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无耗损.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2). 提取信息:y≤42,2x+y=80,S=xy. (1)y=80-2x,S=-2x2+80x. 解法提示:由题意,得x+y+x=80, ∴y=80-2x, ∴S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x. (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2. 令S=750,则-2x2+80x=750, 整理,得x2-40x+375=0, 解得x1=15,x2=25. ∵墙长为42 m(易错点:易忽略墙长这一条件),  ∴0<y≤42, ∴0<80-2x≤42, 解得19≤x<40, ∴x=25. (3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800. ∵-2<0,19≤x<40, ∴当x=20时,S取得最大值,此时S=800, 即当x=20时,S最大,最大面积是800 m2. 10 (1)∵△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, ∴S△AEH=S△BFE=S△CGF=S△DHG,AH=BE=4-x, ∴S阴影=4××AE×AH=2x(4-x), ∴y=-S阴影=4×4-2x(4-x)=2x2-8x+16. (2)令2x2-8x+16=10, 解得x1=1,x2=3, 故当AE=1或3时,四边形EFGH的面积为10. (3)存在最小值. ∵y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,2>0, ∴当x=2时,y取最小值,最小值为8, ∴四边形EFGH的面积的最小值为8. 11 答案一:设售价为x万元/吨,每天的销售收入为y万元, 则y=x[100+50(5-x)]=-50x2+350x=-50(x-3.5)2+612.5, ∴当售价为3.5万元/吨时,每天的销售收入最大,最大为612.5万元. 答案二:设售价为x万元/吨,每天的利润为w万元, 则w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50x2+450x-700=-50(x-4.5)2+312.5, ∴当售价为4.5万元/吨时,每天的利润最大,最大为312.5万元. 12 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(45,55),(55,45)分别代入, 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+100.　 (2)这种商品日销售额不能达到2 600元. 理由如下: 设这种商品日销售额为w元,则w=xy=x(-x+100)=-x2+100x=-(x-50)2+2 500, ∴这种商品每件的售价为50元时,日销售额最大,最大值为2 500元, ∴这种商品日销售额不能达到2 600元.　 13 (1)设A种客房每间定价为x元,B种客房每间定价为y元, 由题意可得　　　 解得 答:A种客房每间定价为200元,B种客房每间定价为120元. (2)设A种客房每间定价为a元, 则W=(24-)a=-a2+44a =-(a-220)2+4 840. ∵-<0, ∴当a=220时,W取最大值,W最大值=4 840. 答:当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为4 840元.　　　 14 (1)设每件A类特产的售价为m元,则每件B类特产的售价为(132-m)元. 根据题意得3m+5(132-m)=540, 解得m=60. 每件B类特产的售价为132-60=72(元). 答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件. (2)由题意得y=10x+60(0≤x≤10). (3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) =-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840. ∵-10<0,∴当x=2时,w有最大值1 840. ∴A类特产每件降价2元时,总利润最大,最大总利润为1 840元. 15 (1)∵(,)为抛物线的顶点, ∴可设抛物线的函数解析式为y2=a(x-)2+(点拨:顶点式). 将(2,4)代入y2=a(x-)2+, 得4=a(2-)2+,∴a=1, ∴抛物线的函数解析式为y2=(x-)2+.　 (2)当x=时,y2最小,最小值为1.75万元. 对于y1=5x,当x=时,y1=, 此时y1-y2=-1.75=0.75. 答:成本最低时,所获利润为0.75万元.　　 (3)设当销售量为x吨时,利润为w万元. 则w=5x-(x-)2-=-x2+6x-2=-(x-3)2+7. ∵0.4≤x≤3.5, ∴x=3时,w取最大值,最大值是7. 答:当销售量为3吨时,可获得最大利润,最大利润是7万元. 学科网（北京）股份有限公司 $