2026年中考数学复习《二次函数的应用》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 以生活实际问题为载体，系统构建“建模-求解-应用”二次函数解题体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥问题|4题|坐标建立、顶点式设解析式、对称性应用|从抛物线概念到桥拱实际高度/距离计算，体现几何直观| |喷水问题|4题|最高点坐标确定、函数平移、有效覆盖距离求解|结合物理情境，强化函数图像与实际意义关联| |几何图形|4题|矩形面积最值、动态问题分类讨论|从静态图形到动态变化，培养空间观念与推理意识| |商品销售|4题|利润公式构建、二次函数最值求解|联系经济生活，提升数据观念与应用意识|

2026年九年级数学中考复习《二次函数的应用》考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、拱桥问题 1．如图①为某公园的景观桥，它的拱形桥洞轮廓可近似看作抛物线的一部分，为营造节日气氛，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼．已知桥拱与水面的交界点A，B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为米，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼增加节日气氛．已知灯笼自身高度为米，且灯笼底部距离水面的距离为米，工作人员可以挂几盏这样的灯笼？并计算出所挂的灯笼与桥拱最高点C的水平距离． 2．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为了提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（点右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． (3)在（2）的条件下，若在主塔上安装一个装饰物，使最小，请在图中画出点． 3．综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 4．如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 二、喷水问题 5．园林绿化的自动灌溉喷头喷出的水流呈抛物线型，出水口高度为米，距出水口水平距离3米时，水流达到最高点3米；建立如图2所示的平面直角坐标系，其中x（米）是水流距喷水头的水平距离，y（米）是水流距地面的高度． (1)求抛物线表达式； (2)若灌溉的有效覆盖距离（水流落地处距喷水头的水平距离）需达到6米以上才能满足园林绿化灌溉需求，求该喷头的实际有效覆盖距离，并判断是否满足需求； (3)在水流轨迹形状和对称轴完全不变的情况下，通过调节喷水头安装高度，可改变有效覆盖距离，若要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上（向下）调节多少米？ 6．如图，某建筑物的剖面图是四边形，其中，都垂直于地面，米，米，米．消防员演练时用水管喷出的水流可以看作抛物线的一部分，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水流某时的高度（米）与此时到轴的水平距离（米）之间满足．（注：题中的点都在所建坐标平面上） (1)设，点在轴上． ①若消防员在点处喷出的水流，恰好能喷到点，此时水流最高点到轴的水平距离是米，求此时水流所在抛物线的解析式． ②消防员将喷水点从点向轴水平移动米到达处，喷出水流所在的抛物线与①中抛物线形状完全相同，水流能否喷到点处？请说明理由． (2)设，点在轴上，消防员在点处喷出水流，已知米，若水流能喷到斜坡上，直接写出的取值范围． 7．综合与实践 消防员不仅是灭火英雄，更是集救援、调查、救护于一体的全能守护者，他们需要具备超强的体能、专业的技能与稳定的心理素质，在各类灾害中保护人民生命和财产安全． 问题背景：为增强消防员专业技能和实战经验，消防员会进行不定期的实战演习．如图，某消防支队对小区楼层失火抢救进行了演习． 收集数据：经无人机离地面某处探测后，确定是距离地面的大楼A处发生火灾，此时消防员需要在无人机正下方离地面，且距该楼水平距离处的升降梯B处喷水灭火． 数学建模：已知水柱近似呈抛物线形状，且在距离喷水点水平距离处达到最高，此时距离地面．以水平地面为x轴，无人机与消防员所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决： (1)求抛物线的表达式． (2)此时水柱是否能喷射到点A处灭火． (3)由于火势较猛，为保证安全，消防员需要后退，为确保水柱恰好能喷射到着火点A处，消防员所在的升降梯需要升高多少米（喷水时水压和出水口角度保持不变）？ 8．综合与实践 问题情境：某现代科技农业示范园自主设计的“自动升降式喷灌器”如图1所示，其截面示意图如图2所示，为自动升降杆，喷头P喷出的水雾区域边缘为抛物线的一部分，并且左右两侧的抛物线对称．左右两侧的抛物线与水平地面的交点分别为A，B，则的长为该喷灌器的灌溉距离．当喷头P的高度变化时，其喷出的水雾区域边缘的形状不变． 数据收集：当喷头P位于初始位置时，，灌溉距离，右侧水雾区域边缘抛物线上的点C到水平地面的高度为，到喷头P的水平距离为．喷头P最高可升至点处，． 建立模型：以点O为原点，水平地面向右为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)当喷头P位于初始位置时，求右侧抛物线的函数表达式． (2)当喷头P升至最高点时，求该喷灌器的灌溉距离的长． 问题解决： (3)该农业示范园在一块示范田中按正方形网格铺设了一批该“自动升降式喷灌器”，相邻两个喷灌器之间的距离为．为保证地面全部在其灌溉范围内，每个喷灌器的灌溉距离需不低于相邻两个喷灌器之间的距离的倍．直接写出喷头P的高度的取值范围． 三、几何图形 9．在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 10．某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. (1)若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； (2)若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. (3)求这块菜地的最大面积？ 11．如图1，在中，，．点是边上任意一点（不与，重合），连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，． (1)当时，判断四边形的形状，并证明． (2)点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由． (3)将图1中的绕点旋转到如图2所示位置，得到，使得点，点，点在同一直线上，点为的中点，与交于点，其他条件不变．求的度数． 12．某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 四、商品销售 13．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 14．某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 15．金秋时节，桐乡杭白菊喜获丰收．某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊，加工后出售，已知加工过程中质量损耗了，该商户对该杭白菊试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）符合一次函数，且时，；时，． (1)这批杭白菊的实际成本为______元/千克，【实际成本进价（损耗率）】 (2)求一次函数的表达式； (3)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元/千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (4)若该商户每天获得利润不低于384元，试确定销售单价的范围． 16．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、其他问题 17．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线和线段组成，已知，是的中点，花坛的最大深度，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点、是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点、在抛物线上），且、关于轴对称，若点到水平地面的距离为，、两点之间的距离为，轴，求点到水平地面的距离． 18．如图1，在直角梯形中，，，，，点、同时从点出发，沿射线向右匀速运动，已知点移动速度是点速度的3倍，以为一边在上方作正方形，设点移动距离为，当点与点重合时，、同时停止运动． (1)正方形的边长是______（用含的代数式表示），______． (2)当点移动至线段上，试求此时的值． (3)若正方形与梯形的重叠部分面积为，求与之间的函数关系式． 19．数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． (3)大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 20．央视春晚的舞台上，武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在点正前方的水平地面上有一个正方形台阶，其中米，米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯，其中米，米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为米，跳跃后落在台阶上（含点、），求的取值范围． 参考答案 1．解：（1）∵y轴垂直平分，， ∴，， 由题意得， 设该抛物线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）∵米，由抛物线的对称性得， ∴当时，， ∴灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 求出灯笼悬挂点到的距离，实际是抛物线上一点（悬挂点）对应的y值． 令，解得，， 将y值代入解析式中．求出对应的x值，有几个满足要求，就有几个悬挂点． ∴工作人员可以悬挂2盏这样的灯笼，所挂的2盏灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米． 2．(1)． (2)． (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，拱桥问题，解题的关键是理解题意，将实际问题抽象成二次函数模型来求解． （1）根据题意可得所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再将代入求解即可； （2）所在抛物线与所在抛物线关于轴对称可得所在抛物线的函数解析式，再将代入求解即可； （3）根据题意轴对称的性质可得，，则，即当三点共线时，最小． 【详解】（1）解：由题意可得，所在抛物线的顶点坐标为， 设所在抛物线的函数表达式为． ， ， 将代入得，． 所在抛物线的函数表达式为． （2）解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 所在抛物线的函数表达式为． ， 令，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 加劲梁与主塔的水平距离是． （3）解：点如图所示． 3．(1) (2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 4．(1) (2)米 (3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼 【分析】（1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标是，则有支撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为； （3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼，据此写成方案，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是， 为的中点，，， ∴点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，， 则支撑杆的长度和是， 整理得， ∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米； （3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令， 整理得， 解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个． 悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼． 5．(1) (2)满足需求 (3)要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上调节米 【分析】（1）依题意，设抛物线表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）设将喷水头向上调节米，根据题意新抛物线表达式为：，代入，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线表达式为，代入得， ， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：令，则， 解得：（舍去），， ∵， ∴满足需求； （3）解：设将喷水头向上调节米，则新抛物线表达式为：， 代入得，， 解得：， 答：要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上调节米． 6．(1)①；②能，见解析 (2) 【分析】（1）①设，代入，待定系数法求解析式，即可求解； ②求得平移后的解析式为，将代入解析式，求得，满足的坐标，即可求解． （2）由题意，得抛物线解析式为．分别求得水流喷到点，两点时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意，设． ∵抛物线过点， ， 解得， ∴解析式为． ②能． 理由：∵喷水点向轴水平移动米，抛物线向左平移米， ． ∵抛物线与（1）①中抛物线的形状完全相同， ∴解析式为． 将代入解析式，得． ∴抛物线经过点，水流能喷到点处． （2）． 解：由题意，得抛物线解析式为． ，且水流从点处喷出， ①． ， ∴若水流喷到点，则得②； 若水流喷到点，则得③． 由①②，得，解得； 由①③，得，解得， ． 7．(1) (2)水柱能喷射到点A处灭火 (3)升高3米 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式求解即可； （2）求出当时y的值即可判断； （3）根据二次函数的平移可设新抛物线的表达式为：，将代入求出，令，求出y的值，进而可知需要升高的距离． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为，将点代入抛物线表达式，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题意得，， 当时，， ∴此时水柱能喷射到点A处灭火； （3）解：消防员后退后，可设新抛物线的表达式为：． 又∵新抛物线过点， ，解得， ∴新抛物线的表达式为． 令，则． 又， ∴消防员所在的升降梯需要升高3米． 8．(1) (2)喷灌器的灌溉距离的长为 (3) 【分析】（1）右边的抛物线的解析式为，将，代入求解即可； （2）求出右边的抛物线的解析式为，再求抛物线与轴的交点坐标，可得喷灌器的灌溉距离的长； （3）设喷头高度，则抛物线解析式为，根据求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为， 设右边的抛物线的解析式为， 根据题意得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴右边的抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当喷头P升至最高点时，右边的抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴， ∵左右两侧的抛物线对称， ∴， ∴该喷灌器的灌溉距离的长为； （3）解：设喷头高度，则抛物线解析式为， 故灌溉总距离要求； 令，则， 解得：， 左右对称灌溉总距离为， ∴， 解得：， 又喷头最高限高高度为， ∴，即 9．(1)此时长方形的长为； (2)y与x的函数关系式为，x的最小值为61； (3)长方形区域的面积S的最大值为． 【分析】（1）根据题意列式，据此计算即可求解； （2）根据题意得，再根据长为，求得，据此计算即可求解； （3）得到二次函数，结合，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：, 所以长， 答：此时长方形的长为； （2）解：由题意得：， 所以， 因为城墙长为， 所以，即， 解得：， 所以x的最小值为61， 答：y与x的函数关系式为，x的最小值为61； （3）解：由题意得： ， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为4880． 答：长方形区域的面积S的最大值为． 10．(1)， (2)米 (3)平方米 【分析】（1），可得米，结合，可求得的取值范围； （2）根据题意可得方程，解方程即可求得答案； （3）设菜地的面积为平方米，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案； 【详解】（1）解：根据题意可知． 根据题意可知米． 根据题意可知，即 解得． （2）解：根据题意，得． 解方程，得，（舍去）． 所以米． （3）解：设菜地的面积为平方米． 根据题意，得． 因为是的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，且， 所以当时，可以取得最大值，最大值为平方米． 11．(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数求得，则，证明且平分，利用直角三角形的性质以及斜边中线的性质推出，即可证明结论； （2）设，推出，，表示，利用二次函数的性质即可求解； （3）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，证明是等边三角形，推出，再根据三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）答：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴且平分， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）答：当时，的面积最大，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，最大，此时， ∴当时，的面积最大； （3）解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接， 则， ∴， 由题意得：， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 13．(1) (2)每件应降价10元；当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元． 14．(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 15．(1)20 (2) (3)利润关系式为，销售单价定为45元/千克时，最大利润为775元 (4) 【分析】（1）根据题目给出的实际成本公式直接计算； （2）利用待定系数法代入已知点坐标求解一次函数解析式； （3）根据总利润每千克利润销售量列出利润的函数解析式，结合题目给出的单价范围，利用二次函数的性质求解最大利润； （4）根据利润要求列出不等式，结合单价的取值范围得到最终销售单价的范围． 【详解】（1）解：根据题意，实际成本为元/千克． （2）解：将和代入得， 解得：， 故一次函数的表达式为． （3）解：由题意得，总利润， 代入得， 根据题意，销售单价满足， 即， 对配方得， ∵二次函数开口向下，对称轴为，在范围内，随的增大而增大． ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：利润关系式为，销售单价定为 45 元／千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是 775 元． （4）解：由题意得，即， 整理得开方得， 解得， 又∵， ． 16．(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 17．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先根据题意 点C的横坐标为，把代入，求出点C到的距离为，根据点到水平地面的距离为，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点、在抛物线上，且、关于轴对称，、两点之间的距离为， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点C到的距离为， ∵轴， ∴， ∵点到水平地面的距离为， ∴点到水平地面的距离为． 18．(1)； (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意得出正方形的边长是；过作，在中，根据正切的定义，即可求解； （2）当在边上时，在中，根据正切的定义得出，即可求解； （3）分四种情况讨论，当时，当时，当时，当时，分别画出图形，找到正方形与梯形的重叠部分，再求面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ，即正方形的边长是； 过作， 在中，，， ； 故答案为：；； （2）解：如图1所示，当在边上时，可得， 在中，， 解得：； （3）解：当时，如图1所示，正方形与梯形的重叠部分面积为； 当时，如图2所示，正方形与梯形的重叠部分为五边形，过作， 由题意得：，，， 则， ， ， ， 此时重合面积为； 当时，如图3所示，过作， 可得，，，， ， ， 此时重叠部分面积； 当时，如图4所示， 由题意得：，，，， ， ， ， 此时重叠部分面积； 综上，与之间的函数关系式为：当时，；当时，；当时，；当时，． 19．(1)； (2)9 (3)批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，平行设出过点的光线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，进而求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即可； （3）设种植户每天批发销售该水果获得的利润为，根据总利润等于总批发价减去总成本，列出二次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，，，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）解：∵，设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∵太阳光是平行光， ∴设过点的光线的解析式为， 联立，得， 由题意，两个图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 即：的长为米； （3）解：由题意，得：， ∴， 设种植户每天批发销售该水果获得的利润为， 则：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为； 此时， 答：批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元. 20．(1) (2)①机器人至少需向右平移米；② 【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点为，且过原点，利用待定系数法求解即可； （2）①先根据题意得出，设机器人向右平移米，则，将代入求解即可； ②利用待定系数法求出，设起跳点的坐标为，则原抛物线的顶点变为，进而得到新抛物线的解析式，再求出新抛物线经过点和时的值，结合图象确定取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点为，且过原点， 设， 将代入得：， 解得：， （2）解：①米，米，正方形台阶， 米，米， ， 设机器人向右平移米，则， 将代入得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； 答：机器人至少需向右平移米． ②设直线的解析式为， 代入，得 ，解得：， ， 设起跳点的坐标为， 起跳点从变为， 原抛物线的顶点变为， 新抛物线的解析式为， 当新抛物线经过点时，， 解得：，（舍去） 当新抛物线经过点时，， 解得：，（舍去） 结合图象可得． 学科网（北京）股份有限公司 $