23.3 矩形、菱形与正方形（第1课时）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制)八年级数学下册

本讲义聚焦矩形的定义、性质与判定核心知识点，从小学长方形认知切入，衔接平行四边形知识，构建“定义（四个内角为直角的四边形）—性质（对称性、平行四边形通性、四角直角、对角线相等）—判定（一个直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形）”的学习支架。 资料以生活实例（黑板、教科书等）培养数学眼光，通过定理证明（如对角线相等的全等推理）发展推理能力，分题型设计（性质辨析、角度计算、折叠问题等）助力数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

23.3 矩形、菱形与正方形（第1课时） 23.3导入：在本节中，我们将研究几类特殊的四边形——矩形、菱形与正方形.在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形. 1、 矩形及其性质 1.矩形的定义 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 生活中有很多矩形的实例，如黑板、教科书、地砖，它们的边框都可以看作矩形. 如图23-3-2,在矩形ABCD中，由矩形的定义，可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 所以∠A+∠B= 180°,∠A+∠D=180°, 所以AD//BC,AB//CD, 即矩形ABCD的两组对边平行. 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形.所以，矩形是一种特殊的平行四边形. 2. 矩形的性质 ①从对称的角度分析矩形： a.矩形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点； b.矩形也是轴对称图形，其对称轴是每组对边的中点连接的线段所在的直线（两条直线）。 ②矩形具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。 ③定义性质：矩形的四个内角都是直角 ④定理 矩形的两条对角线相等 定理证明 如图23-3-3,已知：四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线.求证：AC=BD. 因为矩形ABCD 是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC. 又因为∠ABC=∠DCB=90°,BC=CB, 所以△ABC≌△DCB. 所以AC=BD. 2、 矩形的判定 问题：由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言， 有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢? 1.定理 1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 定理证明 如图23-3-5,已知：在平行四边形 ABCD中 ∠A=90°.求证：平行四边形ABCD 是一个矩形. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理2,得∠A=∠C , ∠B=∠D. 由多边形的内角和定理，得∠A + ∠B+∠C+∠D=360°, 又因为∠ A=90°, 所以∠ C=90°,2∠B=180°. 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90° . 由矩形的定义，得平行四边形ABCD 是一个矩形. 引入：如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到矩形的一个判定定理： 2.定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 定理证明 如图23- 3-6,已知：在平行四边形ABCD 中，AC=BD.求证：平行四边形ABCD 是一个矩形. 因为四边形 ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC. 又因为AC=BD,BC=CB, 所以△ ABC≌△DCB. 所以∠ ABC=∠DCB. 由平行四边形的定 义，知AB//DC, 进而∠ABC+∠DCB=180° . 所以∠ABC=90° . 由矩形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个矩形. 题型1：矩形的性质的辨析 1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（   ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 2．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 3．下列关于矩形的说法，正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角 C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直 题型2：根据矩形的性质求角度Ⅰ 4．如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于( ) A．110° B．115° C．120° D．125° 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 7．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 题型3：根据矩形的性质求角度Ⅱ 8．如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型4：根据矩形的性质求长度Ⅰ 13．线段为矩形的对角线，若，则的长为 ． 14．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为 ． 15．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 16．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是 ． 17．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则矩形的对角线长为 ． 18．矩形的对角线与相交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型5：根据矩形的性质求长度Ⅱ 19．如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则 ． 20．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 22．如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 23．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（　　） A． B． C． D． 题型6：根据矩形的性质求面积 24．如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ． 26．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 27．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 题型7：折叠问题 28．如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 29．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 30．如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型8：矩形的判定 31．下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 32．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 33．如图，在中，对角线相交于点O．添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型9：添加一个条件成为矩形 34．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 36．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 题型10：矩形的判定与性质综合 37．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 38．如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 39．如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 40．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 题型11：解答证明题 41．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 42．如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 43．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 44．如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接． 求证：四边形为矩形． 45．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 46．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 47．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 48．在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 一、单选题 1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ） A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是 （      ） A．18 B．28 C．36 D．46 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．已知四边形的对角线相交于点，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在矩形中，，则的长是 ． 8．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 9．如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为 ．    10．如图，矩形中于，若，则 度． 11．如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 12．如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题 13．如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 14．如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接．    (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状． 15．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 16．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 17．如图1，在矩形中，，点在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为秒，连接，当点运动到点时，． (1)______； (2)当______秒时，平分矩形的面积； (3)连接，当的面积为6时，求的值； (4)如图2，作点关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 矩形、菱形与正方形（第1课时） 23.3导入：在本节中，我们将研究几类特殊的四边形——矩形、菱形与正方形.在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形. 1、 矩形及其性质 1.矩形的定义 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 生活中有很多矩形的实例，如黑板、教科书、地砖，它们的边框都可以看作矩形. 如图23-3-2,在矩形ABCD中，由矩形的定义，可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 所以∠A+∠B= 180°,∠A+∠D=180°, 所以AD//BC,AB//CD, 即矩形ABCD的两组对边平行. 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形.所以，矩形是一种特殊的平行四边形. 2. 矩形的性质 ①从对称的角度分析矩形： a.矩形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点； b.矩形也是轴对称图形，其对称轴是每组对边的中点连接的线段所在的直线（两条直线）。 ②矩形具有平行四边形的所有性质：简述为对边分别平行且相等；对角相等；对角线相互平分。 ③定义性质：矩形的四个内角都是直角 ④定理 矩形的两条对角线相等 定理证明 如图23-3-3,已知：四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线.求证：AC=BD. 因为矩形ABCD 是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC. 又因为∠ABC=∠DCB=90°,BC=CB, 所以△ABC≌△DCB. 所以AC=BD. 2、 矩形的判定 问题：由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言， 有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢? 1.定理 1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 定理证明 如图23-3-5,已知：在平行四边形 ABCD中 ∠A=90°.求证：平行四边形ABCD 是一个矩形. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理2,得∠A=∠C , ∠B=∠D. 由多边形的内角和定理，得∠A + ∠B+∠C+∠D=360°, 又因为∠ A=90°, 所以∠ C=90°,2∠B=180°. 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90° . 由矩形的定义，得平行四边形ABCD 是一个矩形. 引入：如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到矩形的一个判定定理： 2.定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 定理证明 如图23- 3-6,已知：在平行四边形ABCD 中，AC=BD.求证：平行四边形ABCD 是一个矩形. 因为四边形 ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的性质定理1,得AB=DC. 又因为AC=BD,BC=CB, 所以△ ABC≌△DCB. 所以∠ ABC=∠DCB. 由平行四边形的定 义，知AB//DC, 进而∠ABC+∠DCB=180° . 所以∠ABC=90° . 由矩形的判定定理1,得平行四边形ABCD是一个矩形. 题型1：矩形的性质的辨析 1．下列图形性质中，矩形不一定具有的是（   ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：A. 对角线互相平分且相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； B. 四个角相等，是矩形的性质，故该选项不符合题意； C. 对角线互相垂直，不是矩形的性质，故该选项符合题意； D. 是轴对称图形，是矩形的性质，故该选项不符合题意； 故选：C； 2．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等． 矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 【详解】解：A. 对边平行且相等， B. 对角线互相平分，D. 对角相等， 均是矩形和平行四边形都具有的性质． C.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质． 故选：C． 3．下列关于矩形的说法，正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．矩形的对角线平分一组对角 C．矩形的邻边一定不相等 D．矩形的邻边互相垂直 【答案】D 【详解】此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质判断即可．掌握矩形的性质是解题的关键． 【分析】A．矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项说法错误，不符合题意； B．矩形的对角线不一定平分一组对角，故此选项说法错误，不符合题意； C．当矩形为正方形时，矩形的邻边相等，故此选项说法错误，不符合题意； D．矩形的邻边互相垂直，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 题型2：根据矩形的性质求角度Ⅰ 4．如图，已知矩形 ，对角线 ， 交于点 ，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分即可判断． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴A、C、D正确，不符合题意， 对角线 不一定垂直，错误，符合题意； 故选：B． 5．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于( ) A．110° B．115° C．120° D．125° 【答案】A 【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OB， ∠BAO=∠ABO=55°， ∠AOD=∠BAO+∠ABO =55°+55°=110°. 故答案为A 【点睛】本题考查了矩形的性质及外角的性质，熟练利用外角的性质求角度是解题的关键. 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=30°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°． 故选B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 7．如图，在矩形 中， 、 交于点 ， ，则 大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到 ，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B． 题型3：根据矩形的性质求角度Ⅱ 8．如图，直线 ，矩形 的顶点A、D分别在直线b、a上，若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出 ，结合矩形的性质即可求解． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ∵四边形 是矩形， ， ， 故选：B． 9．如图，已知在矩形 中， 于点 ， ，则 的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到 ，等边对等角得到 ，三角形的内角和定理，求出 的度数，角的和差关系求出 的度数即可． 【详解】解：∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 10．如图，延长矩形 的边 至点 ，使 ，连接 ，若 ，则 的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得 ，根据等边对等角，直角三角形两个锐角互余，得 ，再运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接 ，交 于点 ，如图所示： ∵四边形 是矩形 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 11．如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， 于点 ，若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； 故选A． 12．在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 的角平分线交 于点 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，理解矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出 ，利用等腰三角形的性质求出 ，即可求出答案． 【详解】解：在矩形 中， ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 题型4：根据矩形的性质求长度Ⅰ 13．线段 为矩形 的对角线，若 ，则 的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等，即可得出结果． 【详解】解：∵线段 为矩形 的对角线， ， ∴ ； 故答案为：6． 14．如图，矩形 中，对角线 ， 相交于点O，且 ，则 的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以 ． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， （矩形的对角线相等且互相平分）， ∴ ． 故答案为：2． 15．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则 的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到 ，由勾股定理得到 ，由矩形的性质得到 即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：5 ． 16．如图所示，矩形 的两条对角线相交于点 ，则矩形的对角线 的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，判断出 是等边三角形是解决本题的关键． 由矩形的性质可知矩形对角线相等且互相平分，即 ，由 可知 是等边三角形，由此可求解对角线 的长． 【详解】解：在矩形 中， ， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 则矩形的对角线 的长是4． 故答案为：4 ． 17．矩形的两条对角线的夹角为 ，较短的边长为 ，则矩形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定. 先画出图形可得 ，再根据矩形的性质得 是等边三角形，可得 ，进而得出答案. 【详解】解：如图所示， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ . 故答案为： 18．矩形 的对角线 与 相交于点 ，若 ， ，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用矩形的性质求线段长，利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图： ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ∴ 故选：A． 题型5：根据矩形的性质求长度Ⅱ 19．如图，在矩形 中，点E在 上，且 平分 ．若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及角平分线的定义可得 ，从而得到 ，再证得 是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 20．如图，在矩形 中，点 、 分别在边 ， 上，且 ， ， ， ，则 的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接 ，设 ，则有 ，先由勾股定理求解出 ，再表示出 ， ，再由勾股定理 求解x的值，即可求解 的长． 【详解】解：连接 ，如图， 设 ，则有 ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ，即 ， 在 中， ， 即 ，解得 ， ∴ ． 故选：C． 21．如图，在矩形 中，点 在边 上， ，连接 ，若 ， ，则 的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出 的长，进而得到 的长，推出 的长，进而求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可． 【详解】解：∵矩形 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选D. 22．如图，在矩形 中， ， ，对角线 和 交于点 ，过点 作 垂直于 ，交 于点 ，则 的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，连接 ，由矩形的性质得出 ， ， ， ，再由线段垂直平分线得出 ，设 ，则 ，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，连接 ， ∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴ ， 设 ，则 ， 由勾股定理得， ， 即 ， 解得 ． 故选：C． 23．如图，点 是矩形 的边 上的一个动点，矩形的两条边 ，那么点 到矩形的两条对角线 的距离和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理求线段长的运用，如图所示，连接 ，根据矩形的性质，勾股定理得到 ， ， ， ，根据 ，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故选：B ． 题型6：根据矩形的性质求面积 24．如图，矩形 的周长为 ，对角线 相交于点O，若 比 的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得： ，根据 比 的周长多2，得 ；根据矩形 的周长为 ，得 ；即可求解； 【详解】解：由题意得： ， ∵ 比 的周长多2， ∴ ，即 ； ∵矩形 的周长为 ， ∴ ； ∴ ， ∴该矩形的面积为： ， 故选：A 25．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点A作 ，点E恰好为 的中点， ，则矩形 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明 是等边三角形，求出 ，进而求出 ，利用 即可得解． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ，点E恰好为 的中点， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ∴ ， ， ∴矩形 的面积为 ； 故答案为： ． 26．如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，若 ，则 的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形 的面积为 ，得到 ，进而求解即可． 【详解】∵矩形 ， ， ∴矩形 的面积为 ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ． 故选：A． 27．如图，矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点C作 ，垂足为点E．若 ， ．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据矩形对角线的性质得到 ，由 ，根据 即可求解． 【详解】解：∵矩形 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：B． 题型7：折叠问题 28．如图，将矩形 沿 折叠，点B落在 边上的点F处．若 ， ，则 的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出 ， ， ，根据折叠得出 ， ， ，根据勾股定理求出 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理列出方程 ，解方程即可． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， 根据折叠可知： ， ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 根据勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， ∴ ． 故选：C． 29．如图，在矩形 中， ， ，点E为 的中点，将 沿 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接 ，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接 ，根据三角形面积公式求出 ，得到 ，根据直角三角形判定得到 ，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接 交 于点 ， ∵四边形 是矩形 ∴ ∵ ，点E为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵将 沿 折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ， 故选：D． 30．如图把一张矩形纸片 沿对角线 翻折，点 的对应点为 ， 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得 ，由 可得 ，推出 即可求解． 【详解】解：由翻折可得 ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选项D不符合题意； 矩形 ， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 题型8：矩形的判定 31．下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：C 32．下列说法中，不正确的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键；根据矩形的几种判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意； B、由于平行四边形的邻角互补，当一组邻角相等时，这两个角为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； C、根据平行四边形的对角相等及互补，得对角相等且为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论，原说法正确，不符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 33．如图，在 中，对角线 相交于点O．添加下列条件不能判定 为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可．本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， 是矩形，故A错误；C正确； 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 是矩形，故B正确； 四边形 是平行四边形， ， 是矩形，故D正确； 故选：A． 题型9：添加一个条件成为矩形 34．在 中，连接 ，再添加一个条件，可以判定 为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形 是平行四边形， ∴ 平行四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形 是平行四边形， ∴ 平行四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形 是平行四边形， ∴ 平行四边形 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有 （平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 35．如图，要使平行四边形 成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形 成为矩形． 【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有 的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形 变为矩形，该选项错误； 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形 变为矩形，该选项错误； 选项C：∵ 平行四边形本身就有 的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形 变为矩形，该选项错误； 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形 中 ， ∴ 平行四边形 是矩形，该选项正确； 故选：D． 36．如图，要使平行四边形 成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当 时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形 是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形 是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由 可得 ，平行四边形 是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形 是平行四边形，所以 ，根据平行线的性质可得 ，又因为 ，所以 ，再根据等角对等边可知 ，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形 是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 题型10：矩形的判定与性质综合 37．如图，在 中，对角线 、 相交于点O，且 ， ，则 的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形 是矩形， 由矩形的性质求出 ，由角的和差关系求出 ，再根据等边对等角求出 即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 故选：A． 38．如图，在平行四边形 中， ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由 ， ， ，根据勾股定理逆定理可得 ，证明四边形 是矩形，再由矩形的对角线相等可求出 ． 【详解】解： ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形， ． 故选： ． 39．如图，在四边形 中， ， ， ，四边形 对角线交于点O， ， ，四边形 的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形 是矩形，然后利用勾股定理求出 ，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形 又∵ ∴四边形 是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形 的面积为 ． 故选：C． 40．如图，在 中， ，P为边 上一动点， 于点E， 于点F，则 的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到 是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明 为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等，得 ，则 的最小值即为 的最小值，根据垂线段最短， 时， 的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接 ，如图， ∵ ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ， ∵ 于点E， 于点F， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ，当 的值最小时， 的值最小， 当 时， 的值最小， 此时 ， ∴ 的最小值为 ， 故选：C． 题型11：解答证明题 41．如图，在矩形 中，点E，F分别在边 和 上，且 ．求证： ． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证 ，即可求证． 【详解】证明： 四边形 是矩形， ， 又 ， ， ． 42．如图，在 中， ， 为 边的中点，以 ， 为邻边作 ，连接 ， ，求证：四边形 是矩形． 【答案】见解析 【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出 ， ， ，由平行四边形的性质得出 ， ，得出 ， ，证出四边形 是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明： ， 为 边的中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 43．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．已知 ，求 的度数． 【答案】 的度数为 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到 ，进而 ，根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质可得 ，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数为 ． 44．如图，在 中， ， 为 边上的中线，点E为 中点，过点A作 ，交 的延长线于点F ，连接 ． 求证：四边形 为矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为 中点， ，证明 ，再根据 ， 为 边上的中线，得出 ， ，证明四边形 为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形 为矩形． 【详解】解：∵点E为 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 为 边上的中线， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴四边形 为矩形． 45．如图，在四边形 中， ， ．对角线 、 相交于点O， ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形 是矩形． （2）先利用矩形的性质得出 ， ，从而可得 ，再利用含 度角的直角三角形的性质求得 ，从而可求得四边形 的面积． 【详解】（1）证明： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． （2）解：在矩形 中， ， ， 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含 度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 46．如图，四边形 是矩形，对角线 、 相交于点O， ，交 的延长线于点E． (1)求证： ； (2)若 ， ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）通过证明四边形 是平行四边形，可得 ； （2）由直角三角形的性质可求 ， ，由四边形 的面积 平行四边形 的面积 的面积即可求解． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， EMBED Equation.DSMT4 ，且 ． 又 EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解：在矩形 中， ， ∵ ， ， 由勾股定理，得 ， 平行四边形 的面积 ， 的面积 ， ∴四边形 的面积 平行四边形 的面积 的面积 ． 47．如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 是 、 的中点，点 在四边形 外，连接 ，且 ， ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求矩形 的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据 为 和 的中点，得出四边形 是平行四边形，在 中 ，结合 ，得到 ，可证出结论． （2）根据矩形性质求出 ，求出 ，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵ 是 、 的中点， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ∵四边形 是平行四边形， ∴平行四边形 是矩形． （2）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ， ∵四边形 是矩形， ， ， ， ． 48．在长方形 中， ． (1)如图1，P为 边上一点，将 沿直线 翻折至 的位置，其中点 是点 的对称点，当点 落在 边上时，求 的长． (2)如图2，点 是 边上一动点，过点 作 交 边于点 ，将 沿直线 翻折得 ，连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的长： (3)如图3，点 是射线 上的一个动点，将 沿 翻折，其中点 的对称点为 ，当 三点在同一直线上时，请直接写出 的长． 【答案】(1) (2) 或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得 ，再利用勾股定理解答即可； （2）分 和 两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段 上和点M在 的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶ 四边形 是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶ ， ， ， 设 ，则 在 中， ，解得： ． （2）解：如图2-1中，当 ，过点 作 于点 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ； 如图 中，当 时， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴ ． 综上所述， 的长为 或 ． （3）解：如图 中，当点 在线段 上时， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点 在 的延长线上时，同法可证 ， ， ， ． 综上所述，满足条件的 的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ） A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据矩形的边的特征，对角线的特征，来判断即可． 【详解】矩形的对边平行且相等，但是邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等但不一定垂直，故本选项符合题意； 矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； 矩形的对角线相等，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解决问题的关键． 2．如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ，则 的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且 ，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形 中， 故选D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键． 3．矩形 的对角线交于点O，且 ， 的周长为23，则矩形 的两条对角线的和是 （      ） A．18 B．28 C．36 D．46 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分，对边相等可得 ， ， ，再由 的周长为23可得 ，然后可得答案． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的周长为23， ， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形是特殊的平行四边形，平行四边形对角线互相平分，对边相等． 4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】因为矩形的对角线互相平分且相等，所以BO=DO=AO=CO，在△ABO和△ADO中，因为底BO=DO，高相同，所以S△ABO=S△ADO，同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO，所以矩形ABCD面积=4S△ABO． 【详解】则由题意可得：BO=DO=AO=CO 则在△ABO和△ADO中， ∵BO=DO，高相同 ∴S△ABO=S△ADO 同理可得S△ABO=S△ADO=S△BCO=S△DCO ∴S矩形ABCD =4S△AOB=4×4=16 故选 D 【点睛】本题考查了矩形，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 5．已知四边形 的对角线相交于点 ，则下列条件中不能判定它是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的判定，熟记判定方法是解本题的关键．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， 又 ， ∴平行四边形 是矩形，故A不符合题意； ∵ ， 根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形 是矩形， 故B不符合题意； ∵ ， ∴ ， 但 不一定与 相等，无法判定四边形 是矩形， 故C符合题意； ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形，故D不符合题意； 故选：C． 6．如图，在矩形 中，点 在 上，当 是等边三角形时， 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形 得到 ，继而得到 ，而 是等边三角形，因此得到 ． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 7．如图，在矩形 中， ，则 的长是 ． 【答案】3 【分析】矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答． 【详解】∵在矩形 中， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互平分，是解答本题的关键． 8．如图，要使 成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】 （或 ，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件 (或其余三个内角中的一个为 )． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件 (答案不唯一)． 故答案为： （或 ，答案不唯一）． 9．如图，矩形 中，直线 垂直平分 ，与 ， 分别交于点 ， 若 ， ，则矩形的对角线 的长为 ．    【答案】 【分析】连接 ，在 中，利用勾股定理求出 ，再在 中，利用勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图，连接 ．    直线 垂直平分 ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．如图，矩形 中 于 ，若 ，则 度． 【答案】 【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∵∠DCE=3∠ECB， ∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°， ∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解. 11．如图， 、 是矩形 的两条对角线，E是 的延长线上一点，连接 ，若 ， ，则 的度数是 °． 【答案】 / 度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得 ， ，由平行线性质得出 ，再结合已知条件得 ，进而得出 ，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为： ． 12．如图，矩形 中， 交于点O， ， ，点M在 边上，且 ，点P是 上的动点，连接 ，当 是等腰三角形时， 的长为 ． 【答案】5或 或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解题关键． 过点 作 于点 ，结合矩形的性质易得 为等腰三角形，可得 ，进而可知 为 的中位线，可得 ，利用勾股定理可解得 ，若 是等腰三角形，可分 ， 和 三种情况，分别求解即可． 【详解】解：如下图，过点 作 于点 ， ∵四边形 为矩形， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是等腰三角形， 当 时，可有 ； 当 时，则有 ， 此时 ； 当 时，设 ， 则有 ， 在 中，可有 ， ∴ ，解得 ． 综上所述， 的长为5或 或 ． 故答案为：5或 或 ． 三、解答题 13．如图，在平行四边形 中，过点D作 于点F，点E在边 上， ，连接 ．求证：四边形 是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键．先证四边形 是平行四边形，结合 即可求证. 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ ， ∴ ， ∴平行四边形 是矩形． 14．如图，在 中，D是 的中点，E是 的中点．过点B作 交 的延长线于点F．连接 ．    (1)求证： ； (2)如果 ，试判断四边形 的形状． 【答案】(1)见解析 (2)四边形 是矩形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及矩形的判定． （1）根据 ，可知 ，得出 ，再根据等量代换可知 ； （2）根据 ， ，可知四边形 为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到 ，得出四边形 是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵点E是 的中点， ∴ ， ∴在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵点D是 的中点， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ 且 ， ∴四边形 是平行四边形． ∵ 且点D是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形． 15．如图， 中， ， 平分 ， ， ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)作 于F，若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得 ，再根据平行线的性质得 ，然后根据 ，可得 ，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出 ，再根据勾股定理得 ，然后根据矩形的性质得 ， ，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵ ， 平分 ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形； （2）解：∵ ， 平分 ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵四边形 是矩形， ∴ ， . ∵ ， ∴ ． 16．如图，四边形 是矩形（ ）， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ． (1)求证： ； (2) 是 的中点，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) ，见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出 ，再证明 ，等量代换即可得出答案； （2）依题意补全图形，线段 之间的数量关系是： ．连接 ，先证明 ，再证明 ，进而得出 ，根据 ，即可得出结论． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ； （2）解：线段 ， ， 之间的数量关系是： ． 证明：连接 ， ， ． 在 中， 是 的中点， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ． 17．如图1，在矩形 中， ，点 在边 上， ．动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 向终点 运动．设点 运动的时间为 秒 ，连接 ，当点 运动到点 时， ． (1) ______； (2)当 ______秒时， 平分矩形 的面积； (3)连接 ，当 的面积为6时，求 的值； (4)如图2，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在矩形 的边上时，直接写出 的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3) 或 (4) ，7， 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当 时满足 平分矩形面积，进而根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点P在 上和 上，再根据面积建立关于t的方程求解即可； （4）根据轴对称的性质，可知 ，所以可以以E为圆心， 为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应 ，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题可知 ， 在 中， ， ， ∴ ， 故答案为：4； （2）解：如图，当点P在 上时，且 ， 时， 平分矩形 的面积， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：8； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点在再 上时， 此时 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ； ②如图，当点P在 上时， 此时 ， ∴ ， ∴ ； 综上，t的值为 或7； （4）解：分以下三种情况讨论： ①如图，当点 落在边 上且靠近点D时， ∵点A关于 对称点为 ， ∴ ， ， 过E作 于点F，则 ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， 即 ， 解得 ； ②如图，当点 落在边 上且靠近点C时， 同理， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， 即 ， 解得 ； ③如图，当点 落在边 上时， 此时 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ； 综上，t的值为 或7或 ． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $