2026年九年级中考数学真题分类训练考点13反比例函数与其他知识的综合练习

考点13反比例函数与其他知识的综合 命题点1 反比例函数与几何图形的综合 1. (2023河南)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图,在平面直角坐标系中,以反比例函数y=图象上的点A(,1)和点B为顶点,分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x轴上,以点O为圆心,OA长为半径作,连接BF. (1)求k的值; (2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数; (3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 2.(2023宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上. (1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式. (2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. 3.(2024苏州)如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,A(-2,0),C(6,0),反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4),与BC交于点E. (1)求m,k的值; (2)点P为反比例函数y=(k≠0,x>0)图象上一动点(点P在D,E之间运动,不与D,E重合),过点P作PM∥AB,交y轴于点M,过点P作PN∥x轴,交BC于点N,连接MN,求△PMN面积的最大值,并求出此时点P的坐标. 命题点2 反比例函数与一次函数的综合 4.(2024达州)如图,一次函数y=kx+b (k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数,m≠0)的图象交于点A(2,3),B(a,-2). (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)若点C是x轴正半轴上的一点,且∠BCA=90°,求点C的坐标. 5.(2024自贡)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P的坐标; (3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写出Q点的坐标. 6.(2024眉山)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)若点P在y轴上,当△PAB的周长最小时,请直接写出点P的坐标; (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,F两点,当EF=AB时,求a的值. 7.(2024宜宾)如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),B(n,-1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)利用图象,直接写出不等式ax+b<的解集. (3)已知点D在x轴上,点C在反比例函数图象上.若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点C的坐标. 8.(2024连云港)如图(1),在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函数y=的图象交于点A,B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2. (1)求k的值; (2)利用图象直接写出kx+1<时x的取值范围; (3)如图(2),将直线AB沿y轴向下平移4个单位,与函数y=(x>0)的图象交于点D,与y轴交于点E,再将函数y=(x>0)的图象沿AB平移,使点A,D分别平移到点C,F处,求图中阴影部分的面积. 图(1)　　　　　　　图(2) 9.(2024成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=(k<0)图象上. (1)求a,b,m的值. (2)若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值. (3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值. 备用图 10.(2023成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+5与y轴交于点A,与反比例函数y=的图象的一个交点为B(a,4),过点B作AB的垂线l. (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式. (2)若点C在直线l上,且△ABC的面积为5,求点C的坐标. (3)P是直线l上一点,连接PA,以点P为位似中心画△PDE,使它与△PAB位似,相似比为m.若点D,E恰好都落在反比例函数图象上,求点P的坐标及m的值. 考点13反比例函数与其他知识的综合 答案 1 (1)∵点A(,1)在反比例函数y=的图象上, ∴k=×1=. (2)如图,连接AC交OD于点G. ∵四边形AOCD为菱形, ∴AC⊥OD,∠AOC=2∠AOG. ∵点A的坐标为(,1), ∴OG=,AG=1, ∴OA===2, ∴sin∠AOG==, ∴∠AOG=30°, ∴∠AOC=2∠AOG=60°. 综上,扇形AOC的半径为2,圆心角的度数为60°. (3)3-. 解法提示:设OE,BF交于点N, ∵四边形OBEF是菱形, ∴OE⊥BF,BN=FN,∴S△OBF=2S△OBN=2×|k|=. 又S△OAC=2S△OAG=2×|k|==S△OBF, ∴S阴影=S菱形AOCD-S弓形AC=S菱形AOCD-(S扇形AOC-S△AOC)=×2-(-×22)=3-. 2 (1)如图(1),过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,则∠ACD+∠CAD=90°. 在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 又∵∠ADC=∠CEB=90°, ∴△ACD≌△CBE(“一线三直角”模型), ∴AD=CE,CD=BE. ∵C(3,0),B(6,m), ∴AD=CE=3,CD=BE=m, ∴OD=OC-CD=3-m, ∴A(3-m,3),而B(6,m), ∴k=3(3-m)=6m,解得m=1, 即A(2,3),B(6,1), ∴k=2×3=6, ∴反比例函数的表达式为y=. 设直线AB的表达式为y=ax+b, 将A(2,3),B(6,1)分别代入,得 解得 ∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-x+4. 图(1)　图(2) (2)存在点P使△ABP的周长最小. 如图(2),作B(6,1)关于x轴的对称点B'(6,-1),连接AB'交x轴于点P,连接PB,由对称性可知PB=PB', ∴PA+PB=PA+PB'=AB'. 故此时PA+PB的值最小. 易得AB=2,AB'=4(提示:利用两点间距离公式计算), 故此时PA+PB+AB的值也最小. ∴△ABP周长的最小值为PA+PB+AB=AB'+AB=4+2. 3 (1)∵A(-2,0),C(6,0),∴AC=8. 又∵AC=BC,∴BC=8. ∵∠ACB=90°,∴B(6,8). 设直线AB的函数表达式为y=ax+b, 将A(-2,0),B(6,8)代入y=ax+b, 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y=x+2. 将D(m,4)代入y=x+2,得m=2. ∴D(2,4). 将D(2,4)代入y=,得k=8. (2)如图,延长NP交y轴于点Q,交AB于点L. ∵AC=BC,∠BCA=90°,∴∠BAC=45°. ∵PN∥x轴,∴∠BLN=∠BAC=45°,∠NQM=90°. ∵AB∥MP,∴∠MPL=∠BLP=45°, ∴∠QMP=∠QPM=45°,∴QM=QP. 设点P的坐标为(t,)(2<t<6),则PQ=t,PN=6-t, ∴MQ=PQ=t. ∴S△PMN=·PN·MQ=·(6-t)·t=-(t-3)2+, ∴当t=3时,S△PMN有最大值,此时P(3,). 4 (1)将A(2,3)代入y=,得m=2×3=6, ∴y=. 将B(a,-2)代入y=,得-2=, ∴a=-3,∴B(-3,-2). 将A(2,3),B(-3,-2)分别代入y=kx+b, 得解得 ∴y=x+1. (2)如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N. ∵∠BCA=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°. 又∵∠MAC+∠ACM=90°, ∴∠NCB=∠MAC, ∴tan∠NCB=tan∠MAC,即=. 设C(c,0),则MC=c-2,NC=c+3. ∵AM=3,BN=2, ∴=, 解得c1=-4(舍去),c2=3, 经检验,c=3是原分式方程的解, ∴C(3,0). 5 (1)把A(-6,1)代入y=,得1=, 解得m=-6, ∴反比例函数的解析式为y=-.　　　 把B(1,n)代入y=-,得n=-=-6, ∴B(1,-6).　　　　 把A(-6,1),B(1,-6)分别代入y=kx+b, 得解得 ∴一次函数的解析式为y=-x-5. (2)设直线AB与直线x=-2的交点为C. 当x=-2时,y=-x-5=2-5=-3, ∴C(-2,-3).　　　 ∵P是直线x=-2上的一个动点, ∴设P(-2,p), ∴S△PAB=×PC×(xB-xA)=21,即×|-3-p|×7=21, ∴|-3-p|=6,解得p=3或-9, ∴点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9).　　　 (3)点Q的坐标为(3,-2)或(,-).　　　 解法提示:如图,过点Q作QM∥x轴,交直线AB于点M. 设Q(t,-)(t>0), 把y=-代入y=-x-5,得x=-5, ∴M(-5,-), ∴MQ=|-5-t|, ∴S△QAB=×MQ×(yA-yB)=21,即×|-5-t|×7=21, ∴-5-t=6或-5-t=-6. 当-5-t=6时,解得t1=,t2=(舍去); 当-5-t=-6时,解得t3=-2(舍去),t4=3, ∴点Q的坐标为(3,-2)或(,-). 6 (1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2), ∴=6,∴m=6, ∴反比例函数的表达式为y=.　 把B(n,2)代入y=,得2=,∴n=3, ∴B(3,2).　　 把A(1,6),B(3,2)分别代入y=kx+b,得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-2x+8.　　　 (2)点P的坐标为(0,5).　　　 解法提示:如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点P,则此时△PAB的周长最小. ∵A(1,6),∴A'(-1,6). 设直线BA'的表达式为y=ex+c. 将B(3,2),A'(-1,6)分别代入,得 解得 ∴直线BA'的表达式为y=-x+5. 当x=0时,y=5, ∴点P的坐标为(0,5). (3)∵直线AB的表达式为y=-2x+8, ∴由平移可知直线EF的表达式为y=-2x+8-a, ∴E(,0),F(0,8-a). ∵EF=AB, ∴=×, 整理,得(8-a)2=4, 解得a=6或a=10.　　　 7 (1)将点A的坐标代入反比例函数的表达式(点拨:待定系数法),得4=, ∴k=4, ∴反比例函数的表达式为y=. 将点B的坐标代入反比例函数的表达式,得n==-4, ∴B(-4,-1). 将点A,B的坐标分别代入一次函数表达式, 得解得 则一次函数表达式为y=x+3. (2)0<x<1或x<-4. (3)已知A(1,4),B(-4,-1).设点C的坐标为(m,),点D的坐标为(n,0). 当AB为对角线时,由中点坐标公式,得4+(-1)=, 解得m=,则点C(,3). 当AC为对角线时,由中点坐标公式,得4+=-1, 解得m=-,则点C(-,-5). 当AD为对角线时,由中点坐标公式,得4=+(-1), 解得m=,则点C(,5). 综上,点C的坐标为(,3)或(-,-5)或(,5). 8 (1)∵点A在y=的图象上,当x=2时,y==3, ∴将点A(2,3)代入y=kx+1,得k=1. (2)x<-3或0<x<2. (3)由题意可知C(0,1),CE=4. 如图,过点C作CG⊥DE,垂足为点G.可求得CG=2. 又∵A(2,3),C(0,1),∴AC=2. 连接CF,AD,由平移性质可知,阴影部分面积就是▱ACFD的面积,即2×2=8. 9 (1)将A(2,a)代入y=2x, 得a=4,∴A(2,4). 将A(2,4)代入y=-x+m,得4=-2+m, 解得m=6,∴y=-x+6. 将B(b,0)代入y=-x+6,得b=6. (2)如图(1),当点C在第二象限时,记为C1. 图(1) ∵四边形OBAC1是平行四边形, ∴AC1=OB=6,AC1∥OB, ∴C1(-4,4),∴k=-16,∴y=-. 当点C在第四象限时,记为C2. ∵四边形OC2BA是平行四边形, ∴点C2,A到OB的距离相等, ∴点C2的纵坐标为-4. 将y=-4代入y=-,得x=4, ∴C2(4,-4). 综上所述,点C的坐标为(-4,4)或(4,-4),k的值为-16. (3)设E(d,0)(d>0),则D(-d,0). 若△BAE∽△BDA,如图(2), 图(2) 则=,∴AB2=BE·BD, ∴(4)2=(6-d)(6+d), 解得d1=2,d2=-2(舍去). 由A(2,4),D(-2,0),得直线AD的解析式为y=x+2. 令=x+2,整理,得x2+2x-k=0, 由题意可知,关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根, ∴4+4k=0,解得k=-1. 由题意可知,△ABD∽△ABE不存在, 故满足条件的k的值为-1. 10 (1)当x=0时,y=-x+5=5,∴A(0,5). 将(a,4)代入y=-x+5,得4=-a+5, 解得a=1, ∴B(1,4). 将(1,4)代入y=, 得k=4, ∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵A(0,5),B(1,4), ∴AB==. ∵S△ABC=5,AB⊥l,点C在l上, ∴BC×=5, ∴BC=5,∴BC2=50. ∵AB⊥l,直线AB的表达式为y=-x+5, ∴可设直线l的表达式为y=x+d, 将(1,4)代入,得4=1+d,解得d=3, 故直线l的表达式为y=x+3. 设点C(m,m+3),则BC2=(m-1)2+(m+3-4)2=50, 解得m=-4或m=6, ∴点C的坐标为(6,9)或(-4,-1). (3)∵△PAB,△PDE是以点P为位似中心的位似图形, ∴点P,B,E和点P,A,D分别共线,且AB∥DE. 如图,过点E作ED∥AB,交反比例函数y=的图象于点D,交y轴于点F,连接AD交直线l于点P,则点P即为所求的位似中心. ∵反比例函数y=的图象关于直线y=-x对称,直线AB,ED均与直线y=-x平行, ∴直线AB,ED关于直线y=-x对称, ∴F(0,-5), ∴直线ED的表达式为y=-x-5. 令-x-5=,解得x1=-1,x2=-4, ∴D(-1,-4),E(-4,-1). 由A(0,5),D(-1,-4),可求得直线AD的表达式为y=9x+5. 联立直线AD,l的表达式,得 解得 ∴P(-,). ∵AB=,DE==3, ∴m==3. 学科网（北京）股份有限公司 $