2026年九年级中考数学真题分类训练考点12反比例函数的图象与性质、实际应用练习

考点12反比例函数的图象与性质、实际应用 命题点1 反比例函数图象上的点 1.(2024重庆B)反比例函数y=-的图象一定经过的点是 (　　) A.(1,10) B.(-2,5) C.(2,5) D.(2,8) 2.(2023永州)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2024云南)已知点P(2,n)在反比例函数y=的图象上,则n=　　　　.  4.(2024北京)在平面直角坐标系xOy中,若函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),则y1+y2的值是　　　　.  5.(2024陕西)已知点A(-2,y1)和点B(m,y2)均在反比例函数y=-的图象上,若0<m<1,则y1+y2　　　　0.(填“>”“=”或“<”)  命题点2 反比例函数的图象与性质 6.(2023武汉)关于反比例函数y=,下列结论正确的是 (　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小 D.图象经过点(a,a+2),则a=1 7.(2024广西)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0<x2,则有 (　　) A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.0<y1<y2 8.(2023天门)在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2时,有y1<y2,则k的取值范围是 (　　) A.k<0 B.k>0 C.k<4 D.k>4 9.(2024天津)若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 (　　) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3 10.(2024浙江)反比例函数y=的图象上有P(t,y1),Q(t+4,y2)两点.下列选项正确的是 (　　) A.当t<-4时,y2<y1<0 B.当-4<t<0时,y2<y1<0 C.当-4<t<0时,0<y1<y2 D.当t>0时,0<y1<y2 11.(2024遂宁)反比例函数y=的图象在第一、三象限,则点(k,-3)在第　　　　象限.  12.(2024武汉)某反比例函数y=具有下列性质:当x>0时,y随x的增大而减小.写出一个满足条件的k的值:　　　　.  命题点3 反比例函数解析式的确定 角度1直接代点的坐标型 13.(2024重庆A)已知点(-3,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为 (　　) A.-3 B.3 C.-6 D.6 14.(2023河北)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值:　　　　　.  15.(2024贵州)已知点(1,3)在反比例函数y=的图象上. (1)求反比例函数的表达式; (2)若点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由. 角度2求点的坐标代入型 16.(2024绥化)如图,已知点A(-7,0),B(m,10),C(-17,n),▱ABCO的对角线OB与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于点D,且OD∶OB=1∶4,则k=　　　　.  17.(2023徐州)如图,点P在反比例函数y=(k>0)的图象上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图象与PB交于点D.若D为PB的中点,则k的值为　　　　.  (第17题)　　(第18题) 18.(2023新疆)如图,在平面直角坐标系中,△OAB为直角三角形,∠A=90°,∠AOB=30°,OB=4.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过OA的中点C,交AB于点D,则k=　　　　.  角度3利用|k|的几何意义求解型 19.(2023广西)如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2+S3+S4=,则k的值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 (第19题)　　(第20题)　　(第21题) 20.(2024牡丹江)矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数y=的图象与AB边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点E,OE=2AE,若四边形ODAF的面积为2,则k的值是 (　　) A. B. C. D. 21.(2024齐齐哈尔)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过▱ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),=3,则实数k的值为　　　　.  22.(2023连云港)如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,顶点B,C在第一象限,对角线AC∥x轴,交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6,cos∠OAC=,则k=　　　　.  (第22题)　(第23题) 23.(2023达州)如图,一次函数y=2x与反比例函数y=的图象相交于A,B两点,以AB为边作等边三角形ABC,若反比例函数y=的图象过点C,则k的值为　　　　.  24.(2024通辽)如图,平面直角坐标系中,原点O为正六边形ABCDEF的中心,EF∥x轴,点E在双曲线y=(k为常数,k>0)上,将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度,点D恰好落在双曲线上,则k的值为　　　　.  (第24题) (第25题) 　(第26题) 角度4其他类型 25.(2024扬州)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°,将△ABC沿AB翻折,若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上,则k的值为　　　　.  26.(2023本溪)如图,矩形ABCD的边AB平行于x轴,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,对角线CA的延长线经过原点O,且AC=2AO,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为　　　　.  命题点4 反比例函数的实际应用 27.(2024河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是 (　　) A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小,则y也减小 D.若x减小一半,则y增大一倍 28.(2024连云港)杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力臂”,已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数表达式为　　　　.  29.(2024山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=90 kg时,它的最快移动速度v=　　　　 m/s.  30.(2023温州)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加到100 kPa,则气体体积压缩了　　　　mL.  31.(2023扬州)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强 p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数,且当V=3 m3时,p=8 000 Pa.当气球内的气体压强大于40 000 Pa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于　　　　m3.  32.(2024吉林)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围). (2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I. 命题点5 反比例函数与几何图形的简单综合 33.(2024宜宾)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A,B及AC的中点M,BC∥x轴,AB与y轴交于点N,则的值为 (　　) A. B. C. D. (第33题)　　(第34题) 34.(2024黑龙江龙东地区)如图,双曲线y=(x>0)经过A,B两点,连接OA,AB,过点B作BD⊥y轴,垂足为D,BD交OA于点E,且E为AO的中点,则△AEB的面积是 (　　) A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 35.(2024河南)如图,矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上,对角线AC,BD相交于点E,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A. (1)求这个反比例函数的表达式. (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点,再画出反比例函数的图象. (3)将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为　　　　.  36.(2024盐城)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象,并把矩形直尺放在上面,如图. 请根据图中信息,求: (1)反比例函数表达式; (2)点C坐标. 命题点6 反比例函数与一次函数的简单综合 37.(2024安徽)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则k的值为(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 38.(2024泸州)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与函数y=的图象的交点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 39.(2024大庆)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx-k(k≠0)与y=的大致图象为 (　　) 40.(2024新疆)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A,B两点,AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y=的图象上任取点P(x1,y1)和点Q(x2,y2),如果y1>y2,那么x1>x2;④S△BOD=.其中正确结论的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 41.(2024威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围是　　　　.  42.(2024临沂)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系: x - a 1 2x+b a 1 　　　  　　　  　　　  7 (1)求a,b的值,并补全表格; (2)结合表格,当y=2x+b的图象在y=的图象上方时,直接写出x的取值范围. 43.(2024湖北)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4). (1)求m,n,k的值; (2)若C是反比例函数y=的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围. 44.(2024甘肃)如图,在平面直角坐标系中,将函数y=ax的图象向上平移3个单位长度,得到一次函数y=ax+b的图象,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,4).过点B(0,2)作x轴的平行线分别交y=ax+b与y=(x>0)的图象于C,D两点. (1)求一次函数y=ax+b和反比例函数y=的表达式; (2)连接AD,求△ACD的面积. 45.(2024南充)如图,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=(x<0)交于点C(a,2). (1)求直线和双曲线的解析式. (2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,直接写出点P的坐标. 考点12反比例函数的图象与性质、实际应用 1 B　2 A　3 5 4 0 【解析】∵函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),∴y1=,y2=-,∴y1+y2=-=0. 5 < 【解析】∵点A(-2,y1)和点B(m,y2)均在反比例函数y=-的图象上,∴y1=,y2=-.∵0<m<1,∴y2<-5,∴y1+y2<-<0. 6 C　逐项分析如下. 选项 分析 正误 A ∵3>0,∴图象位于第一、三象限. ✕ B 因x≠0,y≠0,故图象与坐标轴无公共点. ✕ C 图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小. √ D 图象过点(a,a+2),则a(a+2)=3,解得a=1或a=-3. ✕ 7 A　方法一:将点M,N的大致位置标注如图,易知y1<0<y2. 方法二:易知反比例函数的图象在第一、三象限,又x1<0<x2,∴点M在第三象限,点N在第一象限,∴y1<0<y2. 方法三:不妨设x1=-1,x2=1,则y1=-2,y2=2,∴y1<0<y2. 8 C　∵当x1<0<x2时,有y1<y2,∴反比例函数y=的图象在第一、三象限,∴4-k>0,∴k<4. 9 B　∵5>0,∴反比例函数y=的图象位于第一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小.∵点B(x2,1),C(x3,5)在第一象限反比例函数y=的图象上,1<5,∴x2>x3>0.∵点A(x1,-1)在第三象限反比例函数y=的图象上,∴x1<0,∴x1<x3<x2.故选B. 本题也可直接将y=-1,1,5分别代入y=,求出x1,x2,x3的值,再比较大小. 10 A 11 四 【解析】∵反比例函数y=的图象在第一、三象限,∴k-1>0,∴k>1,∴点(k,-3)在第四象限. 12 1(答案不唯一,满足k>0即可)　13 C 14 6(答案不唯一,满足3≤k≤9且k为整数即可) 【解析】当点A(3,3)在反比例函数y=的图象上时,k=9;当点B(3,1)在反比例函数y=的图象上时,k=3,故k的取值范围是3≤k≤9且k为整数. 好题评析 ◀ ◀ ◀ 此题考查了反比例函数图象与线段的交点问题,找出线段上的两个关键点,并将关键点的坐标代入反比例函数解析式,继而可得到k的取值范围.此题难易适中,考查的知识既基础又核心,结果的不唯一导致的开放性,是这道题的亮点. 15 (1)把(1,3)代入y=,得3=, ∴k=3, ∴反比例函数的表达式为y=. (2)方法一:∵k=3, ∴a=-1,b=3,c=1, ∴a<c<b. 方法二:∵k=3>0, ∴函数图象位于第一、三象限. ∵点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,-3<0<1<3, ∴a<0<c<b, ∴a<c<b. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 比较反比例函数值大小的方法 1.在同一分支上的点,可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点,可根据函数值的正负进行比较. 3.特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 16 -15 17 4 【解析】由题意,可设点P的坐标为(a,a),则B(0,a).∵点D为BP的中点,∴D(a,a).把(a,a)代入y=x+1,得a+1=a,解得a=2,∴P(2,2),∴k=2×2=4. 18 【解析】在Rt△OAB中,∠AOB=30°,∴OA=OBcos 30°=2.∵C为OA中点,∴OC=.过点C作CE⊥x轴于点E,如图.在Rt△OCE中,∠COE=30°,∴OE=,CE=,∴C(,),∴k=. 19 C　 知识积累 ◀ ◀ ◀ 反比例函数中|k|的几何意义及易错点 1.反比例函数中|k|的几何意义 反比例函数y=(k≠0)的图象上有一点P,过点P分别作PA⊥y轴,PB⊥x轴,垂足分别为A,B,则矩形AOBP的面积为|k|,且S△AOP=S△BOP=|k|. 2.利用反比例函数中|k|的几何意义求解时的易错点 (1)忽略反比例函数的图象所在象限而导致k的符号出错; (2)弄错矩形或三角形的面积与|k|的倍数关系. 20 D　如图,过点E作EM⊥x轴于点M,易证△OEM∽△OAC,∴=()2=()2=.又S△OEM=,∴S△OAC=,∴=.∵S四边形ODAF=S矩形OBAC-S△OBD-S△OCF,∴2=--,解得k=. 21 -6 22 - 【解析】∵AC∥x轴,∴AC⊥y轴.∵cos∠OAC=,∴cos∠OAC===.设AD=2x,则OA=3x,∴AC=x,∴==,∴=,∴=.∵S矩形OABC=6,∴S△OAD=6×=,即=,∴|k|= .∵反比例函数y=(x<0)的图象在第二象限,∴k的值为-. 23 -6　 【解析】如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,连接OC.根据反比例函数和正比例函数图象的对称性可知点A,B关于点O对称,∴AO=BO.又∵△ABC是等边三角形,∴OC⊥AB,∴=.令2x=,解得x=±1,∴A(1,2),∴OD=1,AD=2.易证△OCE∽△AOD(提示:“一线三直角”模型),∴=()2=3.又S△AOD=1,∴S△OCE=3,∴|k|=6.又∵反比例函数y=的图象在第二、四象限,∴k=-6. 24 4 25 2 【解析】如图,过点D作DE⊥x轴于点E.∵点A的坐标为(1,0),∴OA=1.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,设BC=a,则AC=a,∴B(1+a,a).由翻折可知,∠DAB=∠CAB=30°,AD=AC=a,∴∠DAC=60°,∴AE=a,DE=a,∴D(1+a,a).∵点B,D落在该反比例函数的图象上,∴k=a(1+a)=a·(1+a),解得a=(另一值不合题意,已舍去),∴k=2. 26 6　　 【解析】延长CD交y轴于点F,如图,设D(a,).∵AB∥x轴,∴CD⊥y轴,∴DF =a,OF=.易知AD∥OF,∴△CDA∽△CFO,∴==.∵AC=2AO,∴=,∴CD=CF=2DF=2a, AD=OF=. 由矩形ABCD的面积为8,可知AD·CD=8,即·2a=8,∴k=6. 27 C　由题意知xy=500,∴y=.当x=5时,y=100,故A中说法正确;当y=125时,x==4,故B中说法正确;易知y随x的增大而减小,故C中说法错误;∵xy=500,∴若x减小一半,则y增大一倍,故D中说法正确.故选C. 28 F= 29 4 【解析】由题意可设v=,∵当m=60时,v=6,∴k=360,∴当m=90时,v==4,故这款机器狗的最快移动速度为4 m/s. 30 20 【解析】易得p关于V的函数表达式为p=,当p=75 kPa时,V=80 mL;当p=100 kPa时,V=60 mL,∴若压强由75 kPa加到100 kPa,则气体体积压缩了80-60=20(mL). 31 0.6 【解析】设p=,则k=3×8 000=24 000,∴p=,∴当p=40 000时,V=0.6.易知p随V的增大而减小,故为确保气球不爆炸,气球的体积应不小于0.6 m3. 32 (1)设这个反比例函数的解析式为I=(R>0), 将(9,4)代入,得k=9×4=36, ∴这个反比例函数的解析式为I=(R>0). (2)由(1)知I=(R>0),当R=3时,I=12, 即当电阻为3 Ω时,电流为12 A. 33 B　过点A作BC的垂线,垂足为点D,设BC与y轴交于点E,如图.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,D是BC的中点,设A(a,)(a>0),B(b,)(b<0).∵AB=AC,∴BD=DC=a-b,∴C(2a-b,).∵AC的中点为M,∴M(,)(点拨:中点坐标公式).∵点M在反比例函数图象上,∴·=k,∴b=-3a(b=a不合题意,已舍去).由题可知,AD∥NE,∴===.故选B. 34 A 35 (1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3,2), ∴2=, ∴k=6, ∴这个反比例函数的表达式为y=. (2)作图如图所示. (3) 36 (1)根据图象信息,点A的坐标为(-3,2), 设反比例函数表达式为y=(k≠0), ∵反比例函数的图象过点A, ∴k=-3×2=-6, ∴反比例函数表达式为y=-. (2)直线OA经过点A,设直线OA的表达式为y=mx, 将A(-3,2)代入表达式,得2=-3m, 解得m=-, ∴直线OA的表达式为y=-x. ∵直尺为矩形, ∴OA∥BC. 由图象可知,直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC, ∴直线BC的表达式为y=-x+3, 令-x+3=-,∴x=-(不符合题意的值已舍去), ∴C(-,4). 37 A　将x=3代入y=2-x中,得y=-1.将(3,-1)代入 y=中,得k=3×(-1)=-3. 38 A 　39 C 40 C　反比例函数与正比例函数的图象均关于坐标原点中心对称,若有交点,一定是两个,且这两个点关于原点对称,故结论①正确.AC⊥x轴,则AC∥y轴.又∵AO=BO,∴DB=DC,即点D是BC的中点(依据:平行线分线段成比例),故结论②正确.当点P,Q在同一象限内时,若y1>y2,则x1<x2,故结论③错误.易知S△BOC=S△AOC=×2=1,∴S△ABC=2.易证△BOD∽△BAC,∴=()2=,∴S△BOD=S△BAC=,故结论④正确.因此结论①②④正确,故选C. 41 -1≤x<0或x≥2 42 (1)当x=-时,2x+b=a,即-7+b=a, 当x=a时,2x+b=1,即2a+b=1, ∴解得 补全表格如下: x - a 1 2x+b a 1 7 -2 - 7 (2)-<x<0或x>1. 解法提示:由表格信息可得两函数的交点坐标分别为(-,-2),(1,7),画出两函数的大致图象如图所示, 由图象可知,当函数y=2x+b的图象在函数y=的图象上方时,x的取值范围为-<x<0或x>1. 43 (1)∵一次函数y=x+m的图象经过点A(-3,0), ∴-3+m=0,∴m=3,∴y=x+3. 将(n,4)代入y=x+3,得n=1, ∴B(1,4),∴k=1×4=4. (2)a>1. 44 (1)∵将函数y=ax的图象向上平移3个单位长度,得到一次函数y=ax+b的图象, ∴b=3,∴y=ax+3. ∵y=ax+3与y=(x>0)的图象交于点A(2,4), ∴2a+3=4,解得a=.故一次函数的表达式为y=x+3. =4,解得k=8.故反比例函数的表达式为y=. (2)由已知可得点C,点D的纵坐标都等于2. 当y=2时,x+3=2,解得x=-2,∴C(-2,2), 当y=2时,=2,解得x=4,∴D(4,2), ∴CD=CB+BD=2+4=6. 如图,过点A作AM⊥x轴于点N,交CD于点M, ∴AM=AN-MN=4-2=2, ∴S△ACD=CD·AM=×6×2=6. 45 (1)∵点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kx+b上, ∴ 解得∴直线的解析式为y=-2x-2. ∵点C(a,2)在直线y=-2x-2上, ∴a=-2,即点C(-2,2). ∵双曲线y=(x<0)过点C(-2,2),∴m=-4, ∴双曲线解析式为y=-(x<0). (2)点P的坐标为(-4,0),(-1,0),(1,0)或(4,0). 解法提示:易知OA=2,BD=1,CD=2,∠CDB=∠AOP=90°. 当以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似时,分两种情况进行讨论: ①当△AOP∽△CDB时,=,∴==2, ∴OP=OA=1,∴P(1,0)或P(-1,0). ②当△POA∽△CDB时,=,∴==2, ∴OP=2OA=4,∴P(4,0)或P(-4,0). 综上,点P的坐标为(-4,0),(-1,0),(1,0)或(4,0). 学科网（北京）股份有限公司 $