精品解析：天津市崇化中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段质量监测数学试卷

2025—2026学年第一学期高二年级数学学科阶段 质量监测试卷 一、单选题：本题共10小题，共30分. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2. 已知向量，，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以解得， 故选:D. 3. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故重合，舍去； 当时，，满足条件， 所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】由题意，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点， 连接, 得 , 故选：A 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，结合的条件，可知，故选C． 考点：椭圆和双曲线的性质． 6. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，计算圆心距并与半径差比较，判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线. 故选：A 7. 已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为且，故为等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可为，解得或. 故选：A. 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+, 得出x0求得p，即可得答案． 【详解】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2. 故选D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题． 9. 已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为 【详解】设圆心关于的对称点为，则解得即， 所以.N为与直线交点时等号成立， 故选：B 10. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆定义列等量关系，再根据基本不等式求最小值. 【详解】因为点为线段的中点，所以，且，因为，所以， 因此， 故选：B 【点睛】本题考查椭圆定义以及利用基本不等式求最小值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题：本题共5小题，共15分. 11. 直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】化为斜截式方程进行求解即可． 【详解】由， 得， 得， 设直线的倾斜角为， 得，故， 故答案为： 12. 设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为 故答案为： 13. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】 由题得椭圆的左焦点， 所以直线经过左焦点， 的周长， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题. 14. 已知双曲线（，）的右焦点到抛物线（）的准线的距离为8，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用抛物线的准线与双曲线右焦点的距离关系，结合抛物线上点的坐标求出与，再通过渐近线过已知点得到的关系，最后结合求出，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，双曲线右焦点为，由题意得， 将点代入抛物线方程，得，解得， 代入，得， 双曲线一条渐近线方程为，将点代入得，即， 由，得，解得，， 故双曲线的标准方程为. 故答案为：. 15. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心，为半径的半圆，求出直线过定点坐标，再结合图象求出临界值，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：对于曲线，则，所以， 即，表示以为圆心，为半径的圆在轴及轴以上部分， 直线，即，令， 解得，即直线恒过定点， 因为直线与曲线有两个交点， 当直线过点时，当直线恰好与半圆相切时， 则，解得或（舍去）， 结合图象可知，即. 故答案为： 三、解答题：共5题，共55分. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出圆心坐标，再由列出方程求解. （2）按切线斜率是否存在，结合点到直线距离公式列式求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，则切线可以为直线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 17. 已知双曲线，抛物线（）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程 （2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程； （3）若点到抛物线的焦点的距离是7，求的坐标. 【答案】（1）离心率为，渐近线方程为：； （2）抛物线的方程为，抛物线的准线方程为； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的离心率和渐近线方程； （2）由题意求出的值，即可求出抛物线的方程和抛物线的准线方程. （3）由抛物线的定义可得，解方程可得横坐标，代入抛物线方程可得纵坐标. 【小问1详解】 因为双曲线的方程为， 所以. 所以.所以. 所以双曲线的离心率为，渐近线方程为： 【小问2详解】 因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同， 所以抛物线的焦点坐标是， 所以. 抛物线的方程为，抛物线的准线方程为. 【小问3详解】 因为点为抛物线上一点， 所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离. 因为点到拋物线的焦点的距离是7，即， 所以，代入得,解得， 所以点的坐标为或. 18. 已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由离心率得到，，设，，表达出，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【小问1详解】 由题意得，，故， 又，故， 设，，则，即， ， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 则，椭圆方程为； 【小问2详解】 当过点的直线的斜率为0时，，不合要求， 当过点的直线的斜率不为0时，设为， 联立得， 恒成立， 设，则， 故， 故，解得， 故直线的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 过作于点，则. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， ∵为的中点．∴， 则，. 设平面的法向量为，则,即， 令，则，∴ ． ∴ ，又平面．∴∥平面. （2） （3）存在，．理由如下： 令，.设，∴ ， ∴， . 由（1）知，平面的法向量为. ∵ 直线与平面所成角的正弦值为， ∴ ， 化简得，∵，∴，故． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，从而可证明线面平行； （2）利用两个平面夹角的向量公式即可求解； （3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的法向量为， 则,即，令，则.. 所以平面与平面夹角的正弦值为 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设列方程可得，进而求解即可； （2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即， 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高二年级数学学科阶段 质量监测试卷 一、单选题：本题共10小题，共30分. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 4 3. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点, 则的值为 A. B. C. D. 6. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A. B. 1 C. D. 2 9. 已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共15分. 11. 直线的倾斜角为______. 12. 设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 13. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 14. 已知双曲线（，）的右焦点到抛物线（）的准线的距离为8，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为______. 15. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 三、解答题：共5题，共55分. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程 （2）求过点的切线方程； 17. 已知双曲线，抛物线（）的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点. （1）求双曲线的离心率和渐近线方程 （2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程； （3）若点到抛物线的焦点的距离是7，求的坐标. 18. 已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $