2026年九年级中考数学真题分类训练考点6分式方程及其应用练习

考点6分式方程及其应用 命题点1 分式方程的解法及解的应用 1.(2024广东)方程=的解是 (　　) A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 2.(2024济宁)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是 (　　) A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 3.(2024遂宁)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围是 (　　) A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 C.m<3 D.m<3且m≠-2 4.(2024武汉)分式方程=的解是　　　　.  5.(2023永州)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是　　　　.  6.(2024达州)若关于x的方程-=1无解,则k的值为　　　　.  7.(2024陕西)解方程:+=1. 8.(2023嘉兴)小丁和小迪分别解方程-=1,过程如下: 小丁: 解:去分母,得x-(x-3)=x-2, 去括号,得x-x+3=x-2, 合并同类项,得3=x-2, 解得x=5, ∴原方程的解是x=5.　　小迪: 解:去分母,得x+(x-3)=1, 去括号,得x+x-3=1, 合并同类项,得2x-3=1, 解得x=2, 经检验,x=2是方程的增根, ∴原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程. 命题点2 分式方程的实际应用 角度1数学文化 9.(2023张家界)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽?设6 210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (　　) A.3(x-1)=　 B.3(x-1)=6 210 C.3(x-1)= D.=3x 角度2购买、销售问题 10.(2024广元)广元市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程为 (　　) A.-50= B.-50= C.+50= D.+50= 11.(2023重庆A)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品. (1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时每份杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份. (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份. 12.(2024重庆A)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? (2)经测算,更新1条甲类生产线的设备比更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备? 角度3行程问题 13.(2024新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程 (　　) A.-=5 B.-=5 C.-= D.-= 14.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为 (　　) A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 15.(2024云南)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度. 角度4生产、工程问题 16.(2024临沂)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造.改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为 (　　) A.200 B.300 C.400 D.500 17.(2024达州)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件.可列方程为 (　　) A.-=30 B.-=30 C.-= D.-= 18.(2024泰安)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人,甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工的农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人. 19.(2024扬州)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B两种机器,A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾? 20.(2024重庆B)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元. (1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元. (2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙的面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米. 角度5其他问题 21.(2024威海)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量. 22.(2024广西)综合与实践 　　在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干; 步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干,重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 　　假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5 kg水. 浓度关系式:d后=.其中d前,d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:kg). 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%. 【动手操作】请按要求完成下列任务: (1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水? (2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标? (3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法. 考点6分式方程及其应用 1 D　方程两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3),解得x=9.检验:当x=9时,x(x-3)≠0,∴x=9是原分式方程的解. 2 A 3 B　方程两边同时乘(x-1),得2=x-1-m,解得x=m+3.∵分式方程=1-的解为正数,∴m+3>0,∴m>-3.又∵x≠1,即m+3≠1,∴m≠-2(易忽略点),∴m的取值范围为m>-3且m≠-2.故选B. 4 x=-3 【解析】等号两边同时乘(x-3)(x-1),得 (x-1)x=(x-3)(x+1),解得 x=-3.检验:当x=-3时,(x-3)(x-1)≠0,∴x=-3是该分式方程的解. 5 x=4 6 2或-1 【解析】去分母,得3-(kx-1)=x-2,解得x=.①当x=2,即=2时,方程无解,此时k=2.②当k+1=0,即k=-1时,方程无解.故k的值为2或-1. 7 去分母,得2+x(x+1)=x2-1, 去括号,得2+x2+x=x2-1, 移项、合并同类项,得x=-3, 检验:把x=-3代入(x+1)(x-1),得(-3+1)(-3-1)=8≠0(提示:解分式方程时,一定要验根), ∴x=-3是原方程的解. 8 小丁和小迪的解法都错误. 去分母,得x+x-3=x-2, 移项、合并同类项,得x=1, 检验:当x=1时,x-2≠0, ∴原方程的解是x=1. 9 C　10 C 11 (1)设购买杂酱面x份,则购买牛肉面(170-x)份, 根据题意,得15x+20(170-x)=3 000, 解得x=80, 则170-x=90. 答:该公司购买杂酱面80份,牛肉面90份. (2)设购买牛肉面y份,则购买杂酱面(1+50%)y份, 根据题意,得=-6, 解得y=60, 经检验,y=60是原方程的解且符合题意(提示:解分式方程请务必验根). 答:该公司购买牛肉面60份. 12 题干①:……更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴…… 提取信息:更新1条甲类生产线的设备获得的补贴×甲类生产线的条数+更新1条乙类生产线的设备获得的补贴×乙类生产线的条数=70. 题干②:……用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同…… 提取信息:=. (1)设该企业甲类生产线有x条,则乙类生产线有(30-x)条, 根据题意,得3x+2(30-x)=70, 解得x=10, 30-x=30-10=20. 答:该企业甲类生产线有10条,乙类生产线有20条. (2)设更新1条甲类生产线的设备需投入m万元,则更新1条乙类生产线的设备需投入(m-5)万元, 根据题意,得=, 解得m=50, 经检验,m=50是所列方程的解,且符合题意, m-5=50-5=45. 10×50+20×45-70=1 330. 答:该企业还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 13 D　5 min= h(注意:不要忘记单位换算).甲车的速度为x km/h,则乙车的速度为1.2x km/h,由题意得-=.故选D.  14 D 15 设D型车的平均速度是x千米/时,则C型车的平均速度是3x千米/时, 根据题意,得=-2, 解得x=100, 经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意. 答:D型车的平均速度是100千米/时. 16 B　设改造后每天生产x件产品,则改造前每天生产(x-100)件产品,根据题意,得=,解得x=300,经检验,x=300是分式方程的解(易错点:解分式方程不要忘记检验),且符合题意.故选B. 17 D　乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,由题意,得-=.故选D. 18 设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人, 根据题意得=×1.2, 解得x=20. 检验:当x=20时,x(35-x)≠0,且符合题意, ∴原分式方程的解为x=20, ∴35-x=35-20=15. 答:甲组有20名工人,乙组有15名工人. 19 设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾, 根据题意,得=, 解得x=60. 经检验,x=60是所列方程的解. 答:B型机器每天处理60吨垃圾. 20 (1)设B种外墙漆每千克的价格为x元,则A种外墙漆每千克的价格为(x+2)元, 根据题意,得300x+300(x+2)=15 000, 解得x=24, x+2=24+2=26. 答:A种外墙漆每千克的价格为26元,B种外墙漆每千克的价格为24元. (2)设甲每小时粉刷外墙的面积为y平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积为y平方米, 根据题意,得=+5, 解得y=25, 经检验,y=25是所列方程的解,且符合题意. 答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 解题步骤 ◀ ◀ ◀ 列方程(组)解决实际问题的一般步骤 1.审:审清题意,分清题中的已知量、未知量. 2.设:设出关键未知数. 3.列:根据题意,找出题中的等量关系,列方程(组). 4.解:解所列的方程(组),求得未知数的值. 5.验:检验未知数的值是否符合题意. 6.答:规范作答,注意单位名称. 21 设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 根据题意,得=, 整理,得5x=3(2x-32), 解得x=96. 经检验,x=96是原分式方程的解,且符合题意(易错点:解分式方程一定要验根), 2x-32=160. 答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 22 (1)依题意易知:d前=0.2%,d后=0.01%, 代入浓度关系式,得=0.01%, 解得w=9.5. 检验:当w=9.5时,0.5+w≠0, 所以w=9.5是原分式方程的解. 答:需要9.5 kg清水. (2)4÷2=2(kg). 第一次漂洗后浓度:d后1==0.04%. 第二次漂洗后浓度:d后2==0.008%<0.01%. 答:进行两次漂洗,能达到洗衣目标. (3)达到相同的清洗效果,分两次漂洗更节约水.(注:答案不唯一,合理即可) 学科网（北京）股份有限公司 $