期末专项突破之解答题2025-2026学年湘教版数学九年级上册

期末专项突破之解答题2025-2026学年 湘教版九年级上册 板块一：反比例函数 1.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 2.已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 3.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与时间x （min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x （min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 5.如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 板块二：一元二次方程 1.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 2.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 3.2023年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2025年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？ 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2? 5．某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．要想平均每天销售这种童装能盈利 1200 元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元? 板块三：图形的相似 1．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 2.如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 4．如图，在 中， 是角平分线， 平分 交 于点 ，且 ． （1） 求证： ． （2） 若 ，求 的长． 5．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 板块四：锐角三角函数 1.计算：． 2.已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 4.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 5.如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求点C到线段AB的距离； (2)求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：， 6.图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 板块五：用样本推断总体 1.互联网时代，我国的快递行业蓬勃发展且极其庞大，年均百亿．某校调查实践小组为了解花园小区居民每月收快递的数量，随机抽取了该小区部分住户进行问卷调查，形成了如下调查报告： 花园小区居民每月收快递的数量情况调查报告 调查方式 抽样调查 调查对象 花园小区居民 调查内容 请问你每月收几件快递？ 数据收集 随机抽取的20位住户每月收快递的数量（单位：件）： 数据整理 将所收集的数据整理画出条形统计图（不完整）    调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并填空：所抽取住户每月收快递的数量的中位数是______件，众数是______件； (2)该小区的林女士每月收3件快递，林女士每月所收快递数量比所抽取的这20位住户每月收快递的平均数量要______．（填“多”或“少”）； (3)若该小区共有2000位住户，请估计该小区每月收快递的总数量． 2.为保护环境，增强居民环保意识，某校七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下： 根据统计图，请回答下列问题： (1)这组数据共调查了居民有多少户？ (2)这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个， (3)该校所在的居民区约有户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？ 3.为了加强学生的安全教育，某市中学举行了一次“安全知识竞赛”，共有1600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表 组别 A B C D E 成绩（分） 频数 4 a 12 10 6 成绩在这组的数据是（单位：分） 71  73  73  74  74  75  75  75  76  78  78  79 (1)请补全频数分布直方图； (2)求扇形C的圆心角的度数； (3)求这次测试成绩的中位数； (4)若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人． 【答案】 期末专项突破之解答题2025-2026学年 湘教版九年级上册 板块一：反比例函数 1.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 2.已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)13 (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，设点P的坐标为， ∵点P在正比例函数的图象上， ∴，即． ∴点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴，解得． （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵与点在该函数的第二象限的图象上，且， ∴ 故答案为： 3.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg）与时间x （min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x （min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式为y=kx， 把点（8，6）代入解析式，得 8k=6， 解得　k=， ∴y关于x的函数关系式为y=（0≤x≤8）； 当x＞8时，设反比例函数的解析式为y=，把点（8，6）代入解析式，得 m=6×8=48， ∴y关于x的函数关系式为y=（x＞8）； （2）当y=3时， =3， 解得=4； 当y=3时， =3， 解得=16； ∴持续时间为-=16-4=12＞10， ∴本次消毒有效． 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ， ， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：如图，作轴于，则， ∵， ∴ 解得：， 点的坐标为或． 5.如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵曲线经过点C、G， ∴， 解得：， 如图：作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 板块二：一元二次方程 1.解方程： （1）3y（y+1）＝y+1； （2）x2+4x﹣1＝0． 【答案】解：（1）3y（y+1）＝y+1， 3y（y+1）﹣（y+1）＝0， （y+1）（3y﹣1）＝0， y+1＝0或3y﹣1＝0， 所以y1＝﹣1，y2＝； （2）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝5， （x+2）2＝5， x+2＝±， 所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 2.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 【答案】解：（1） 由于方程有实数根，所以根的判别式，则 解得 （2）由一元二次方程根与系数关系得 而 解得 由于符合题意，所以k的值为4． 3.2023年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2025年当年用于社区基础设施维护与建设资金达到100万元，求从2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率？ 【答案】解：设2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x， 由题意列方程可得：，解得：或（舍去）， 所以年平均增长率为：％， 答：2023年至2025年该社区每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率是25%. 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2? 【答案】解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm， 依题意得×2t(6－t)＝8， 整理得t2－6t＋8＝0， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8 cm2． 5．某服装柜在销售中发现：其专柜某款童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．要想平均每天销售这种童装能盈利 1200 元，又能尽量减少库存，那么每件童装应降价多少元? 【答案】解：设每件童装应降价x元，则每件童装实际盈利(40﹣x)元．由题意可得： (40﹣x)(20+2x)=1200， 整理得：x2﹣30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵为扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存， ∴当x=20时更符合题意， ∴每件童装应降价20元． 板块三：图形的相似 1．已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 2.如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在四边形，， ∵四边形四边形， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则，画图如下： 则即为所求． （2）内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 4．如图，在 中， 是角平分线， 平分 交 于点 ，且 ． （3） 求证： ． （4） 若 ，求 的长． 【答案】（1）证明：∵ 是角平分线， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∽ ， ∴ ， ∴ （2）解：∵ ， ∴ ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 5．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 【答案】解：根据题意，得，，， ∵Rt△ABC ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AC＝0.8米，BC＝0.5米，AE＝20米 ∴米 ∵，， ∴四边形为矩形 ∴米 ∴米． 板块四：锐角三角函数 1.计算：． 【答案】1 【详解】解：原式 2.已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【答案】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 4.如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， 在Rt中，， 解得， 设，则， 在Rt中，， 解得． 经检验是原方程的解且符合题意． ∴CD的长度为． 5.如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求点C到线段AB的距离； (2)求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：， 【答案】(1)40海里；(2)109海里． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M， 由题意可得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， 即点C到线段的距离为40海里； （2）（2）∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵（海里）， 答：A处与灯塔B相距109海里． 6.图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 板块五：用样本推断总体 1.互联网时代，我国的快递行业蓬勃发展且极其庞大，年均百亿．某校调查实践小组为了解花园小区居民每月收快递的数量，随机抽取了该小区部分住户进行问卷调查，形成了如下调查报告： 花园小区居民每月收快递的数量情况调查报告 调查方式 抽样调查 调查对象 花园小区居民 调查内容 请问你每月收几件快递？ 数据收集 随机抽取的20位住户每月收快递的数量（单位：件）： 数据整理 将所收集的数据整理画出条形统计图（不完整）    调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)请补全条形统计图，并填空：所抽取住户每月收快递的数量的中位数是______件，众数是______件； (2)该小区的林女士每月收3件快递，林女士每月所收快递数量比所抽取的这20位住户每月收快递的平均数量要______．（填“多”或“少”）； (3)若该小区共有2000位住户，请估计该小区每月收快递的总数量． 【答案】(1)统计图见解析；3；3(2)少(3)件 【详解】（1）解：根据已知数据得出快递为件的住户数为，补全统计图如图所示，    第10和11个数据都是， 所抽取住户每月收快递的数量的中位数是件， 众数是件 故答案为：，． （2）解：这20为住户每月收快递的平均数量为：（件） 林女士每月所收快递数量比所抽取的这20位住户每月收快递的平均数量要少； （3）解：估计该小区每月收快递的总数量为（件）． 2.为保护环境，增强居民环保意识，某校七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，统计结果的条形统计图如下： 根据统计图，请回答下列问题： (1)这组数据共调查了居民有多少户？ (2)这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个， (3)该校所在的居民区约有户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？ 【答案】(1)一共调查了50户居民(2)4；4 (3)该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是个 【详解】（1）解：这组数据共调查了居民：（户）； （2）将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置第25与第26的数据落在4个塑料袋这组，中位数是4，出现次数最多的数是4，共20个，则众数是4， 故答案为4；4； （3）这组数据的平均数为（个）， 该校所在的居民区约有户居民，则该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是 （个）． 3.为了加强学生的安全教育，某市中学举行了一次“安全知识竞赛”，共有1600名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表 组别 A B C D E 成绩（分） 频数 4 a 12 10 6 成绩在这组的数据是（单位：分） 71  73  73  74  74  75  75  75  76  78  78  79 (1)请补全频数分布直方图； (2)求扇形C的圆心角的度数； (3)求这次测试成绩的中位数； (4)若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，估计该校成绩达到优秀的学生有多少人． 【答案】(1)见解析 (2)扇形C的圆心角的度数 (3)这次测试成绩的中位数是75.5分 (4)该校成绩达到优秀的学生约有640人 【详解】（1）解：被抽取的学生人数为， 故， 补全频数分布直方图如图所示： ； （2）解：， 答：扇形的圆心角的度数； （3）解：把40个学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是75，75， 故这次测试成绩的中位数是：（分）； （4）解：（人）， 答：估计该校成绩达到优秀的学生有640人． 学科网（北京）股份有限公司 $