奥数培优：质数与合数（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：质数与合数深度解析》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 基础回顾 1.质数（素数）定义：大于1的自然数，除了1和自身外没有其他正因数。最小质数是2（唯一的偶质数），最小奇质数是3。 2.合数定义：大于1的自然数，除了1和自身外还有其他正因数。最小合数是4。 3.1的特殊性：既不是质数也不是合数，是所有自然数的公因数。 4.常见质数特征： （1）2是唯一的偶质数，所有大于2的质数都是奇数； （2）5是唯一末位为5的质数，其余奇质数末位只能是1、3、7、9。 拓展考点 1.分解质因数核心：任何合数都可唯一分解为若干质数的乘积（算术基本定理），常用短除法实现。 2.质数判定方法： （1）试除法：用小于等于√n的所有质数试除n，若均不整除则n为质数； （2）筛法（埃拉托斯特尼筛）：快速找出范围内所有质数的经典方法。 3.互质数与质数关系： （1）两个不相等的质数一定互质； （2）一个质数与一个合数，若合数不是该质数的倍数，则二者互质。 4.完全平方数的质因数特征：完全平方数的所有质因数的指数均为偶数。 5.小升初适配哥德巴赫猜想：大于2的偶数可表示为两个质数之和（常考验证小偶数或利用奇偶性推理）。 例题讲解 【例题1】质数奇偶性与数值推理 题目：已知两个质数的和为20，积为91，求这两个质数；若两质数和为19，求这两个质数。 思路分析：利用“2是唯一偶质数”的特性：和为偶数时，两质数同为奇数（或同为2，但仅当和为4时成立）；和为奇数时，必有一个质数是2。 详细解答： （1）和为20（偶数）：91分解质因数为7×13，且7+13=20，均为质数，故两数为7和13； （2）和为19（奇数）：必有一个质数为2，另一个为19-2=17（17是质数），故两数为2和17。 【跟踪训练1】 已知两个质数的和为39，积为74，求这两个质数；若两质数和为40，积为391，求这两个质数。 【例题2】多质数的综合推理 题目：已知a、b、c均为质数，且a+b+c=30，a×b×c=646，求a、b、c的值。 思路分析：三个质数的和为偶数，说明必有一个偶质数2（三个奇质数和为奇数），代入后转化为两质数的和与积的问题。 详细解答： （1）30为偶数，故其中一个质数为2，设a=2，则b+c=30-2=28，b×c=646÷2=323； （2）323分解质因数为17×19，且17+19=28，均为质数，故三个数为2、17、19（顺序可互换）。 【跟踪训练2】 已知x、y、z均为质数，x+y+z=40，x×y×z=1458，求x、y、z的值。 【例题3】完全平方数的质因数特征 题目：判断1225、1849是否为完全平方数；若一个完全平方数的质因数分解式为2^a×3^4×5^2，求a的最小值。 思路分析：完全平方数的所有质因数指数均为偶数，据此判断或求指数最小值。 详细解答： （1）1225=5²×7²，所有指数为偶数，是完全平方数（35²）； （2）1849=43²，是质数的平方，属于完全平方数； （3）3^4、5^2的指数均为偶数，2^a的指数a需为非负偶数，故最小值为0。 【跟踪训练3】 判断2025、2809是否为完全平方数；若一个完全平方数的质因数分解式为3^a×5^6×7^2，求a的最小值。 提升训练 1.找出100以内既是质数又是奇数，且末位为1的所有数。 2.将396分解质因数，并用质因数求它的正因数个数及所有正因数的和。 3.已知两个质数的差为15，求这两个质数的积。 4.若三个质数的乘积为1001，求这三个质数的和。 模拟赛场（奥数难度） 1.已知p是质数，且p+8、p+14均为质数，求p的值。 2.一个两位数，十位和个位数字均为质数，且这个两位数是3的倍数，求所有符合条件的两位数。 3.一个数的质因数分解式为2³×3²×5¹，求这个数的平方的质因数分解式，并计算该平方数的正因数个数。 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 和为39（奇数）：必有一个质数为2，另一个为39-2=37（37是质数），2×37=74，符合条件，故两数为2和37； 和为40（偶数）：391分解质因数为17×23，17+23=40，均为质数，故两数为17和23。 【跟踪训练2】 分解质因数：180=2²×3²×5，240=2⁴×3×5 GCD=2²×3×5=60，LCM=2⁴×3²×5=720； 3024分解质因数为2⁴×3³×7，组合为连续自然数6、7、8、9（6×7×8×9=3024）。 【跟踪训练3】 2025=45²=3⁴×5²，所有指数为偶数，是完全平方数； 2809=53²，是质数的平方，属于完全平方数； 5^6、7^2的指数均为偶数，3^a的指数a需为非负偶数，故最小值为0。 提升练习参考答案 1.100以内符合条件的数为：11、31、41、61、71。 2.396=2²×3²×11；正因数个数=(2+1)(2+1)(1+1)=18个；正因数和=(1+2+4)(1+3+9)(1+11)=7×13×12=1092。 3.两质数差为15（奇数），必有一个为2，另一个为17，积为2×17=34。 4.1001=7×11×13，和为7+11+13=31。 模拟赛场参考答案及解析 1.答案：3 解析：p为质数，若p≠3，则p mod3为1或2： （1）若p≡1 mod3，p+8≡1+2=3 mod3，p+8是3的倍数且大于3，为合数，矛盾； （2）若p≡2 mod3，p+14≡2+2=4≡1 mod3，p+8≡2+2=4≡1 mod3，p=3时，3+8=11、3+14=17均为质数，符合条件。 2.答案：27、33、57、72、75 解析：十位和个位质数为2、3、5、7，两位数是3的倍数则数字和为3的倍数： 2+7=9（3的倍数）→27； 3+3=6→33； 5+7=12→57； 7+2=9→72； 7+5=12→75。 3.答案：质因数分解式为2⁶×3⁴×5²；正因数个数=(6+1)(4+1)(2+1)=7×5×3=105个。 解析：一个数的平方的质因数指数为原指数的2倍，正因数个数为各指数加1的乘积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $