奥数培优：质数与合数（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数数论：质数与合数深度解析》

【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】

知识梳理

基础回顾

1.质数（素数）定义：大于1的自然数，除了1和自身外没有其他正因数。最小质数是2（唯一的偶质数），最小奇质数是3。

2.合数定义：大于1的自然数，除了1和自身外还有其他正因数。最小合数是4。

3.1的特殊性：既不是质数也不是合数，是所有自然数的公因数。

4.常见质数特征：

（1）2是唯一的偶质数，所有大于2的质数都是奇数；

（2）5是唯一末位为5的质数，其余奇质数末位只能是1、3、7、9。

拓展考点

1.分解质因数核心：任何合数都可唯一分解为若干质数的乘积（算术基本定理），常用短除法实现。

2.质数判定方法：

（1）试除法：用小于等于√n的所有质数试除n，若均不整除则n为质数；

（2）筛法（埃拉托斯特尼筛）：快速找出范围内所有质数的经典方法。

3.互质数与质数关系：

（1）两个不相等的质数一定互质；

（2）一个质数与一个合数，若合数不是该质数的倍数，则二者互质。

4.完全平方数的质因数特征：完全平方数的所有质因数的指数均为偶数。

5.小升初适配哥德巴赫猜想：大于2的偶数可表示为两个质数之和（常考验证小偶数或利用奇偶性推理）。

例题讲解

 【例题1】质数奇偶性与数值推理

题目：已知两个质数的和为20，积为91，求这两个质数；若两质数和为19，求这两个质数。

思路分析：利用“2是唯一偶质数”的特性：和为偶数时，两质数同为奇数（或同为2，但仅当和为4时成立）；和为奇数时，必有一个质数是2。

详细解答：

（1）和为20（偶数）：91分解质因数为7×13，且7+13=20，均为质数，故两数为7和13；

（2）和为19（奇数）：必有一个质数为2，另一个为19-2=17（17是质数），故两数为2和17。

【跟踪训练1】 已知两个质数的和为39，积为74，求这两个质数；若两质数和为40，积为391，求这两个质数。

 

 

 

 

 

 

 

 

【例题2】多质数的综合推理

题目：已知a、b、c均为质数，且a+b+c=30，a×b×c=646，求a、b、c的值。

思路分析：三个质数的和为偶数，说明必有一个偶质数2（三个奇质数和为奇数），代入后转化为两质数的和与积的问题。

详细解答：

（1）30为偶数，故其中一个质数为2，设a=2，则b+c=30-2=28，b×c=646÷2=323；

（2）323分解质因数为17×19，且17+19=28，均为质数，故三个数为2、17、19（顺序可互换）。

【跟踪训练2】 已知x、y、z均为质数，x+y+z=40，x×y×z=1458，求x、y、z的值。

 

 

 

 

【例题3】完全平方数的质因数特征

题目：判断1225、1849是否为完全平方数；若一个完全平方数的质因数分解式为2^a×3^4×5^2，求a的最小值。

思路分析：完全平方数的所有质因数指数均为偶数，据此判断或求指数最小值。

详细解答：

（）1225=5²×7²，所有指数为偶数，是完全平方数（35²）；

（）1849=43²，是质数的平方，属于完全平方数；

（）3^4、5^2的指数均为偶数，2^a的指数a需为非负偶数，故最小值为0。

【跟踪训练3】 判断2025、2809是否为完全平方数；若一个完全平方数的质因数分解式为3^a×5^6×7^2，求a的最小值。

 

 

 

 

 

提升训练

1.找出100以内既是质数又是奇数，且末位为1的所有数。

 

 

 

 

 

 

2.将396分解质因数，并用质因数求它的正因数个数及所有正因数的和。