奥数培优：相遇与追及基础题型（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数行程：相遇与追及基础题型》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 一、相遇问题核心定义与公式 1.基本定义：两个物体从不同地点出发，相向而行，经过一段时间在途中相遇的行程问题。 2.核心公式： （1）相遇路程（两地初始距离）=速度和×相遇时间 （2）相遇时间=相遇路程÷速度和 （3）速度和=相遇路程÷相遇时间 3.关键变形： （1）不同时出发：相遇路程=总距离-先出发物体单独行驶的路程 （2）环形相遇（反向出发）：每次相遇时，路程和为1圈；相遇n次时，总路程和为n圈。 二、追及问题核心定义与公式 1.基本定义：两个物体从同一地点或不同地点出发，同向而行，速度快的物体追上速度慢的物体的行程问题。 2.核心公式： （1）追及路程（初始距离差）=速度差×追及时间 （2）追及时间=追及路程÷速度差 （3）速度差=追及路程÷追及时间 3.关键变形： （1）不同时出发：追及路程=初始距离+慢物体先行驶的路程（若慢物体先出发） （2）环形追及（同向出发）：每次追及时，路程差为1圈；追及n次时，总路程差为n圈。 三、通用解题要点 1.明确运动三要素：方向（相向/同向）、出发时间（同时/不同时）、出发地点（同地/异地）； 2.画线段图辅助分析路程关系，标注已知量和未知量； 3.灵活运用公式，复杂问题优先用方程设未知量（如时间、速度）求解。 例题讲解 【例题1】直线同时出发相遇问题 题目：A、B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米。请问： （1）两车经过多长时间相遇？ （2）相遇时甲车行驶了多少千米？ 思路分析：（1）直接套用“相遇时间=相遇路程÷速度和”计算；（2）用甲车速度×相遇时间得到行驶路程。 详细解答：（1）速度和=60+40=100（千米/小时） 相遇时间=360÷100=3.6（小时） （2）甲车行驶路程=60×3.6=216（千米） 答：（1）两车经过3.6小时相遇；（2）相遇时甲车行驶216千米。 【跟踪训练1】 A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。 （1）两车几小时后相遇？ （2）相遇时乙车比甲车少行驶多少千米？ 【例题2】直线不同时出发追及问题 题目：甲、乙两人从同一地点出发，同向而行。甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，乙先出发5分钟后甲才出发。请问：甲出发后多长时间能追上乙？ 思路分析：乙先出发5分钟的行驶路程即为追及路程，再用“追及时间=追及路程÷速度差”计算。 详细解答： 追及路程=60×5=300（米） 速度差=80-60=20（米/分钟） 追及时间=300÷20=15（分钟） 答：甲出发后15分钟能追上乙。 【跟踪训练2】 甲、乙两车从同一地点同向出发，甲车每小时行90千米，乙车每小时行60千米，乙车先出发2小时后甲车开始追。甲车追上乙车时，两车一共行驶了多少千米？ 【例题3】环形追及问题 题目：一个圆形跑道周长400米，小明和小军从跑道同一地点同向出发，小明每秒跑5米，小军每秒跑3米。请问： （1）小明第一次追上小军需要多长时间？ （2）出发后8分钟内，小明一共追上小军多少次？ 思路分析：（1）环形同向追及，追及路程为1圈周长，套用追及时间公式；（2）计算8分钟内总路程差，除以每追及一次的路程差（1圈）得到追及次数。 详细解答： （1）速度差=5-3=2（米/秒） 第一次追及时间=400÷2=200（秒） （2）8分钟=480秒 总路程差=2×480=960（米） 追及次数=960÷400=2（次）（余160米，不足1圈，故取整数2次） 答：（1）小明第一次追上小军需要200秒；（2）8分钟内一共追上2次。 【跟踪训练3】 一个圆形跑道周长500米，小强和小刚从同一地点同向出发，小强每分钟跑300米，小刚每分钟跑250米。请问：小强第3次追上小刚需要多长时间？ 提升训练 1.A、B两地相距500千米，甲车从A地先出发1小时，每小时行驶60千米，之后乙车从B地出发，每小时行驶40千米，两车相向而行。乙车出发后多久两车相遇？ 2.甲每分钟走70米，乙每分钟走50米，两人从同一地点同向出发，乙先走10分钟后甲开始追。甲追上乙时，一共走了多少米？ 3.环形跑道周长300米，甲乙两人反向出发，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米。两人第一次相遇后继续按原方向行驶，第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 5.甲乙两人同时从A地出发前往B地，甲每小时行驶60千米，乙每小时行驶40千米。甲到达B地后立即返回，两人相遇时乙一共行驶了多少千米？（已知A、B两地相距300千米） 6.甲乙两车相向而行，甲车速度是乙车的2倍，两车相遇时甲车比乙车多行驶了60千米。求A、B两地的总距离。 模拟赛场（奥数难度） 1.甲乙两地相距420千米，甲车从A地、乙车从B地同时相向而行，甲车每小时60千米，乙车每小时80千米。两车相遇后继续行驶，甲车到达B地后立即返回，乙车到达A地后也立即返回。求两车从出发到第二次相遇一共用了多长时间？ 2.环形跑道周长400米，甲乙两人同向出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。请问：出发后多久甲第三次追上乙？ 3.甲先从A地出发，每小时行驶50千米，2小时后乙从A地出发以每小时70千米的速度追甲。乙追上甲后立即返回A地，请问乙从出发到返回A地一共用了多长时间？ 4.甲乙两人从A、B两地相向而行，相遇时甲走了全程的 。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后也立即返回，当两人再次相遇时，乙一共走了180千米。求A、B两地的距离。 5.甲乙丙三人，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米。甲乙从A地出发，丙从B地出发，三人同时相向而行。甲与丙相遇后5分钟，乙才与丙相遇。求A、B两地的距离。 6.环形跑道周长500米，甲乙两人反向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。两人每次相遇后都休息1分钟再继续出发。请问：从出发到第二次相遇一共用了多长时间？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 （1）速度和=70+50=120（千米/小时） 相遇时间=480÷120=4（小时） （2）路程差=（70-50）×4=80（千米） 答：（1）4小时后相遇；（2）乙车比甲车少行驶80千米。 【跟踪训练2】 追及路程=60×2=120（千米） 速度差=90-60=30（千米/小时） 追及时间=120÷30=4（小时） 甲车行驶路程=90×4=360（千米） 乙车行驶路程=60×(2+4)=360（千米） 总路程=360+360=720（千米） 答：两车一共行驶了720千米。 【跟踪训练3】 第3次追及的总路程差=500×3=1500（米） 速度差=300-250=50（米/分钟） 追及时间=1500÷50=30（分钟） 答：需要30分钟。 提升练习参考答案 1.甲车先行驶路程=60×1=60（千米） 剩余相遇路程=500-60=440（千米） 速度和=60+40=100（千米/小时） 相遇时间=440÷100=4.4（小时） 答：乙车出发后4.4小时相遇。 2.追及路程=50×10=500（米） 追及时间=500÷(70-50)=25（分钟） 甲行驶路程=70×25=1750（米） 答：甲一共走了1750米。 3.第二次相遇时总路程和=300×2=600（米） 相遇总时间=600÷(4+6)=60（秒） 甲行驶路程=4×60=240（米） 答：甲一共跑了240米。 4.两人共行驶路程=300×2=600（千米） 相遇时间=600÷(60+40)=6（小时） 乙行驶路程=40×6=240（千米） 答：乙一共行驶了240千米。 5.设乙车速度为v，则甲车速度为2v，相遇时间为t 路程差=2vt - vt=vt=60千米 总路程=2vt + vt=3vt=3×60=180千米 答：两地总距离180千米。 模拟赛场参考答案及解析 1.第二次相遇时总路程和=420×3=1260（千米） 速度和=60+80=140（千米/小时） 总时间=1260÷140=9（小时） 答：一共用了9小时。 解析：两次相遇时，两车共行驶3个全程，套用相遇时间公式。 2.第三次追及总路程差=400×3=1200（米） 速度差=6-4=2（米/秒） 追及时间=1200÷2=600（秒）=10（分钟） 答：10分钟后甲第三次追上乙。 解析：每次追及路程差为1圈，第三次追及需追3圈。 3.追及路程=50×2=100（千米） 追及时间=100÷(70-50)=5（小时） 乙返回时间=5小时（往返路程相同，速度不变） 总时间=5+5=10（小时） 答：一共用了10小时。 解析：先算追及时间，返回路程与追及路程相同，时间相等。 4.第一次相遇时乙走了全程的 ，第二次相遇时两人共走3个全程，乙走了 ×3= 个全程 全程=180÷ =150（千米） 答：两地距离150千米。 解析：多次相遇时，路程与全程数成正比。 5.设甲丙相遇时间为t分钟，则乙丙相遇时间为t+5分钟 (80+50)t=(60+50)(t+5) 130t=110t+550 20t=550→t=27.5分钟 全程=130×27.5=3575（米） 答：两地距离3575米。 解析：利用A、B距离不变列方程求解。 6.第一次相遇时间=500÷(5+3)=62.5（秒） 休息1分钟=60秒，到第一次相遇后休息结束共62.5+60=122.5秒 第二次相遇时间=500÷(5+3)=62.5秒 总时间=122.5+62.5=185（秒）=3分5秒 答：一共用了185秒。 解析：分相遇时间和休息时间两部分计算，第二次相遇无需再算休息时间（题目问的是到第二次相遇的时间）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $