奥数培优：火车过桥与错车问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

《小升初奥数行程：火车过桥与错车问题》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 知识梳理 （一）火车过桥问题核心定义与公式 1. 基本定义 火车通过桥梁、隧道、站台等固定有长度的物体时，行驶总路程必须包含火车自身长度，因为从“车头进入物体”到“车尾离开物体”，火车实际行驶的距离是物体长度与车身长度之和。 2. 核心公式 （1)行驶总路程 = 固定物体长度（桥/隧道/站台） + 火车车身长度 （2)过桥时间 = （固定物体长度 + 车长）÷ 火车速度 （3)火车速度 = （固定物体长度 + 车长）÷ 过桥时间 （4)火车车身长度 = 火车速度×过桥时间 - 固定物体长度 3. 特殊变形 （1)火车过静止行人/电线杆：静止物体长度可忽略，行驶总路程 = 火车车身长度 （2)火车过短站台/窄桥：若物体长度远小于车长，仍需按“物体长+车长”计算，不可忽略物体长度 （3)火车完全在桥上：行驶总路程 = 桥长 - 车长（从车尾进入桥到车头离开桥的阶段） （二）错车与超车问题核心定义与公式 1. 错车问题（相向而行） （1)定义：两列火车从车头相遇到车尾完全分离的过程，属于相遇类行程问题 （2)核心逻辑：两列火车共同行驶的总路程 = 甲火车长 + 乙火车长 （3)公式：错车时间 = （甲火车长 + 乙火车长）÷（甲速度 + 乙速度） 2. 超车问题（同向而行） （1)定义：快车从追上慢车车头到完全超过慢车车尾的过程，属于追及类行程问题 （2)核心逻辑：快车比慢车多行驶的路程 = 快火车长 + 慢火车长 （3)公式：超车时间 = （快火车长 + 慢火车长）÷（快速度 - 慢速度） （三）通用解题要点 1.关键前提：明确“行驶总路程”的构成，是区分普通行程与火车行程的核心 2.辅助工具：画线段图，标注桥长、车长、行驶方向、相遇/追及节点（如车头进桥、车尾离桥） 3.单位统一：速度单位换算：1米/秒 = 3.6千米/小时（反之，1千米/小时 = 1/3.6 米/秒） 4.复杂问题解法：优先设未知量（如火车速度、车身长度），利用“两次过桥路程差=时间差×速度”或列方程求解 例题讲解 【例题1】基础火车过桥问题 题目：一列火车长150米，通过一座长450米的大桥，从车头进入桥到车尾离开桥共用了30秒。请问： （1）这列火车的速度是多少米/秒？ （2）如果这列火车通过一条长600米的隧道，需要多长时间？ 思路分析： （1）直接套用“总路程=桥长+车长”，再用“速度=路程÷时间”计算； （2）先算隧道与车长的总路程，再用“时间=路程÷速度”求解。 详细解答： （1）总路程 = 450 + 150 = 600（米） 火车速度 = 600 ÷ 30 = 20（米/秒） （2）隧道行驶总路程 = 600 + 150 = 750（米） 所需时间 = 750 ÷ 20 = 37.5（秒） 答：（1）火车速度是20米/秒；（2）通过隧道需要37.5秒。 【跟踪训练1】 一列火车以18米/秒的速度通过一座大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用了50秒，已知火车长200米，求这座大桥的长度。 【例题2】两列火车错车问题 题目：甲火车长200米，速度为25米/秒；乙火车长180米，速度为15米/秒。两列火车从车头相遇到车尾相离，一共需要多长时间？ 思路分析： 错车属于相向相遇问题，总路程为两车长之和，速度为两车速度和，直接套用错车时间公式。 详细解答： 错车总路程 = 200 + 180 = 380（米） 速度和 = 25 + 15 = 40（米/秒） 错车时间 = 380 ÷ 40 = 9.5（秒） 答：一共需要9.5秒。 【跟踪训练2】 甲、乙两列火车相向而行，甲火车长120米，速度20米/秒，两车错车时间为6秒；已知乙火车速度15米/秒，求乙火车的长度。 【例题3】火车过静止物体问题 题目：一名行人站在铁路旁，一列长120米的火车从他身边经过，从车头到车尾经过他共用了8秒。请问这列火车的速度是多少千米/小时？ 思路分析： 火车过静止行人，行驶总路程=火车长，先求速度（米/秒），再换算为千米/小时（×3.6）。 详细解答： 火车速度（米/秒） = 120 ÷ 8 = 15（米/秒） 换算为千米/小时：15 × 3.6 = 54（千米/小时） 答：火车速度是54千米/小时。 【跟踪训练3】 一列长180米的火车以30米/秒的速度通过一根电线杆，从车头遇到电线杆到车尾离开电线杆需要多长时间？ 【例题4】两次过桥求车长与速度 题目：一列火车通过长320米的桥用了25秒，通过长440米的桥用了30秒。求这列火车的车身长度和速度。 思路分析： 两次过桥的路程差=桥长差，时间差已知，先通过“速度=路程差÷时间差”求速度，再代入公式求车长。 详细解答： 桥长差 = 440 - 320 = 120（米） 时间差 = 30 - 25 = 5（秒） 火车速度 = 120 ÷ 5 = 24（米/秒） 车身长度 = 24×25 - 320 = 600 - 320 = 280（米） 答：火车车身长280米，速度24米/秒。 【跟踪训练4】 一列火车通过长270米的隧道用了20秒，通过长420米的隧道用了25秒，求火车的速度和车身长度。 提升训练 1.一列火车长200米，以15米/秒的速度通过一座长1000米的大桥，从车头进入桥到车尾离开桥需要多少秒？ 2.两列火车同向而行，快车长240米，速度30米/秒；慢车长180米，速度20米/秒。快车从追上慢车到完全超过慢车需要多长时间？ 3.甲火车长150米，速度25米/秒；乙火车长200米，两车同向而行时，快车从追上到超过慢车用时35秒；如果两车相向而行，错车需要多长时间？ 4.一名行人以5米/秒的速度与一列长180米的火车同向而行，火车从追上行人到完全超过行人共用了12秒，求火车的速度。 5.一列火车完全在长800米的桥上行驶用了20秒，从车头进入桥到车尾离开桥用了30秒，求火车的速度和车身长度。 模拟赛场（奥数难度） 1.两列火车相向而行，甲火车长180米，速度24米/秒；乙火车长220米，速度16米/秒。两车错车时，甲火车上的一名乘客从看到乙火车车头到看到车尾离开，需要多长时间？ 2.一列火车从A地开往B地，途中经过一座长300米的桥，从车头进桥到车尾出桥用了20秒；火车又经过一个长180米的站台，从车头进站台到车尾出站台用了16秒。求火车的速度和车身长度。 3.甲、乙两列火车分别从相距450千米的两地同时出发相向而行，甲火车速度120千米/小时，乙火车速度90千米/小时。已知甲火车长150米，乙火车长200米，从两车车头相遇到车尾相离共用了多少秒？ 4.环形跑道周长600米，一列长100米的慢火车以20米/秒的速度在跑道上行驶，另一列长150米的快火车以25米/秒的速度同向行驶。快车从追上慢车到完全超过慢车后，又经过多久快车车头再次追上慢车车头？ 5.一列火车通过长400米的桥用了25秒，通过长240米的隧道用了17秒。如果这列火车与另一列长160米、速度20米/秒的火车相向而行，错车需要多长时间？ 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 一、跟踪训练参考答案 【跟踪训练1】 总路程 = 18×50 = 900（米） 大桥长度 = 900 - 200 = 700（米） 答：大桥长度700米。 【跟踪训练2】 速度和 = 20 + 15 = 35（米/秒） 错车总路程 = 35×6 = 210（米） 乙火车长度 = 210 - 120 = 90（米） 答：乙火车长90米。 【跟踪训练3】 行驶总路程 = 火车长 = 180米 时间 = 180÷30 = 6（秒） 答：需要6秒。 【跟踪训练4】 隧道长差 = 420 - 270 = 150（米） 时间差 = 25 - 20 = 5（秒） 速度 = 150÷5 = 30（米/秒） 车身长 = 30×20 - 270 = 330（米） 答：速度30米/秒，车身长330米。 二、提升练习参考答案 1.总路程 = 1000 + 200 = 1200（米） 时间 = 1200÷15 = 80（秒） 答：需要80秒。 2.超车路程差 = 240 + 180 = 420（米） 速度差 = 30 - 20 = 10（米/秒） 时间 = 420÷10 = 42（秒） 答：需要42秒。 3.速度差 = （150+200）÷35 = 10（米/秒） 乙速度 = 25 - 10 = 15（米/秒） 错车时间 = （150+200）÷（25+15）= 8.75（秒） 答：错车需要8.75秒。 4.路程差 = 180米 速度差 = 180÷12 = 15（米/秒） 火车速度 = 15 + 5 = 20（米/秒） 答：火车速度20米/秒。 5.设火车速度为v，车身长为l： 完全在桥：800 - l = 20v 过桥全程：800 + l = 30v 两式相加：1600 = 50v → v=32（米/秒） 代入得：l=32×30-800=160（米） 答：速度32米/秒，车身长160米。 三、模拟赛场参考答案及解析 1.解析：乘客视角下，相对速度=两车速度和，行驶路程=乙火车长 相对速度 = 24+16=40（米/秒） 时间 = 220÷40=5.5（秒） 答：需要5.5秒。 2.解析：设速度为v，车身长为l，列方程： 20v = 300 + l 16v = 180 + l 两式相减：4v=120 → v=30（米/秒），l=20×30-300=300（米） 答：速度30米/秒，车身长300米。 3.解析：先统一单位，速度和=120+90=210（千米/小时）=210÷3.6≈58.33（米/秒） 错车总路程=150+200=350（米） 时间=350÷58.33≈6（秒） 答：共用了6秒。 4.解析：超车后，快车车头追慢车车头的路程差=环形周长600米（与车长无关） 速度差=25-20=5（米/秒） 时间=600÷5=120（秒） 答：经过120秒再次追上。 5.解析：先求原火车速度和车长： 速度=(400-240)÷(25-17)=20（米/秒） 车长=20×25-400=100（米） 错车时间=(100+160)÷(20+20)=260÷40=6.5（秒） 答：错车需要6.5秒。 1 学科网（北京）股份有限公司 $