专题03 角平分线与垂直平分线（11个高频易错考点 ）讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题三 角平分线与垂直平分线 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：垂直平分线的性质—求线段长】 【考点2：垂直平分线的性质—求角度】 【考点3：垂直平分线的性质—求周长】 【考点4：垂直平分线的交点】 【考点5：垂直平分线的判定】 【考点6：角平分线的性质—求面积】 【考点7：角平分线的性质—求线段长】 【考点8：角平分线的交点】 【考点9：尺规作图】 【考点10：角平分线的判定】 【考点11：截长法】 三、巩固练习 一、知识点回顾 1．线段的垂直平分线 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． （2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2．角平分线的性质和判定 （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 二、考点分析 【考点1：垂直平分线的性质—求线段长】 1．（2025秋•营口期末）如图，在△ABC中，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD．若AD＝4cm，BD＝10cm，则AC的长为（　　） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 2．（2025秋•大兴安岭期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 3．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，线段AB与线段AB外一点C，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧分别交于点C、D，连接AC、BC、AD、BD、CD，若AB＝10，四边形ADBC的面积为65，则CD的长为（　　） A．6.5 B．10 C．13 D．26 【考点2：垂直平分线的性质—求角度】 4．（2025秋•牡丹江期末）如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝（　　） A．75° B．45° C．30° D．25° 5．（2025秋•崆峒区校级期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 6．（2025秋•西岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，DE是AC的垂直平分线，连接AD，则∠BAD的度数为　 　 °． 【考点3：垂直平分线的性质—求周长】 7．（2025秋•陇南期末）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，则△BDF的周长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 8．（2025秋•科左中旗期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，E为AB边上一点，EF垂直平分BD，若AB＝8，AC＝6，则△ADE的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 9．（2025秋•呼兰区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为18，则△ABC的周长为　 　 ． 【考点4：垂直平分线的交点】 10．（2025秋•农安县期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 11．（2025秋•朝阳区期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 12．（2025秋•山东校级期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【考点5：垂直平分线的判定】 13．（2025秋•昭通期中）如图，AC＝AD，BC＝BD，那么下列判断正确的是（　　） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．∠ACB＝∠ADB＝90° 14．（2024秋•抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　） A．小明说得对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．两人说得都不对 【考点6：角平分线的性质—求面积】 15．（2025秋•陇南期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 16．（2025秋•海伦市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，DE⊥AB，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（　　） A．mn B．2mn C．m+n D． 17．（2025秋•南通校级期末）如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE，∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F，连接CF．若AC＝8，CE＝6，S△ACF＝16，则S△FCE＝　　 ． 【考点7：角平分线的性质—求线段长】 18．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 19．（2025秋•扬州期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点8：角平分线的交点】 20．（2025秋•拜泉县期末）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 21．（2025秋•临夏州期末）王岗社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在△ABC（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 22．（2025秋•牡丹江期末）在三角形内部到三角形的三边距离相等的点是（　　） A．三角形三条高交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【考点9：尺规作图】 23．（2025秋•拜泉县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝2，AB＝6，则△AEB的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 24．（2025春•张店区期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地ABC的边AB上建一个休息亭D，使它到AC和BC两边的距离相等．则下列方案中，能满足休息亭D的位置要求的是（　　） A． B． C． D． 25．（2024秋•沈北新区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【考点10：角平分线的判定】 26．（2025秋•松原期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　 ． 27．（2025秋•丰满区校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM、ON上，点C在∠MON的内部，已知AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，且AD＝BE，求证：OC平分∠MON． 28．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 【考点11：截长法】 29．（2025秋•连山区期中）如图，在四边形OABC中，OB平分∠AOC，BA⊥OA，若OC＝3，S△OBC＝9，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 30．（2025秋•大丰区校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 三、巩固练习 一．选择题 1．（2025秋•昆明月考）如图，点M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是（　　） A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO 2．（2025秋•苍南县校级期末）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 3．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2025秋•凉州区期末）如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，连接CD，若DE＝2.5，BC＝6，则△BCD的面积是（　　） A．6 B．7.5 C．10 D．15 5．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①EF＝BE+CF；②；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025秋•船营区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE＝5，EC＝3，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 二．填空题 7．（2025秋•祁阳市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为 　　 ． 8．（2025秋•天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长是　　 ． 9．（2025秋•房山区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，垂足为H．若DH＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　　 ． 10．（2025秋•兴隆台区期末）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，CD＝2，且△ABD的面积为2，则AB＝　　 ． 11．（2025秋•宜昌期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为　　 ． 12．（2025秋•固原校级期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，BC＝8，则△ADE的周长＝　　 ． 13．（2025秋•大兴安岭期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为　　 ． 14．（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　　 ． 15．（2025秋•呼玛县期末）如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　　 ． 三．解答题 16．（2025秋•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 17．（2025秋•南岗区期末）已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 18．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD． 19．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 20．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 21．（2025秋•长春期末）如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． 22．（2025秋•龙马潭区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 23．（2025秋•深圳校级月考）如图，∠BCD的平分线交∠ABC的平分线于点M，交AB于点N，若∠CMB＝90°． （1）求证：AB∥CD． （2）若CN＝6，CB＝5，求△CBN的面积． 24．（2024秋•凉州区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 25．（2025秋•连云港校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 26．（2025秋•南湖区校级期末）如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB． （1）证明：AP+BP＜AC+BC； （2）如图②，过点P的线段MN分别交AC、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PB的垂直平分线上．若∠ACB＝80°，求∠APB的度数． 27．（2025秋•岳阳楼区校级期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 28．（2024秋•潮南区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°． （1）求证：AD＝AG； （2）试判断△CDE的形状，并说明理由． 29．（2025秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与∠BAC的平分线交于点E，连接BE、CE，延长AC至点F，求证：∠ABE＝∠ECF． 30．（2024秋•滨州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，DM，EN分别垂直平分AB，AC，交线段BC于M，N；DM，EN的延长线交于点F，设O为BC中点，连接OF． （1）求∠MAN的度数； （2）证明：OF⊥BC； （3）若△AMN的周长为12，连接OA，当OA取最小值时，求△ABC的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题三 角平分线与垂直平分线 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：垂直平分线的性质—求线段长】 【考点2：垂直平分线的性质—求角度】 【考点3：垂直平分线的性质—求周长】 【考点4：垂直平分线的交点】 【考点5：垂直平分线的判定】 【考点6：角平分线的性质—求面积】 【考点7：角平分线的性质—求线段长】 【考点8：角平分线的交点】 【考点9：尺规作图】 【考点10：角平分线的判定】 【考点11：截长法】 三、巩固练习 一、知识点回顾 1．线段的垂直平分线 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． （2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 2．角平分线的性质和判定 （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 二、考点分析 【考点1：垂直平分线的性质—求线段长】 1．（2025秋•营口期末）如图，在△ABC中，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD．若AD＝4cm，BD＝10cm，则AC的长为（　　） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝10cm，则AC＝AD+CD＝14cm． 【解答】解：∵直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，AD＝4cm，BD＝10cm， ∴CD＝BD＝10cm， ∴AC＝AD+CD＝14cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 2．（2025秋•大兴安岭期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得CD＝AD＝4，再根据BD＝BC﹣CD求解即可得． 【解答】解：∵BC＝9，AD＝4，DE是AC的垂直平分线， ∴CD＝AD＝4， ∴BD＝BC﹣CD＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，线段AB与线段AB外一点C，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧分别交于点C、D，连接AC、BC、AD、BD、CD，若AB＝10，四边形ADBC的面积为65，则CD的长为（　　） A．6.5 B．10 C．13 D．26 【分析】先根据题意得到AB垂直平分CD，再根据四边形的面积可以看成两个三角形的面积和进行计算即可． 【解答】解：设AB与CD交于点M，如图， ∵分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧分别交于点C、D， ∴AC＝AD，BC＝BD， ∴AB垂直平分CD， ∴， ∴， ∵AB＝10，四边形ADBC的面积为65， ∴65＝10CM， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【考点2：垂直平分线的性质—求角度】 4．（2025秋•牡丹江期末）如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝（　　） A．75° B．45° C．30° D．25° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝105°， ∴∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝75°， ∴∠PAQ＝105°﹣75°＝30°， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．（2025秋•崆峒区校级期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝140°， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键是掌握等边对等角． 6．（2025秋•西岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，DE是AC的垂直平分线，连接AD，则∠BAD的度数为　60　 °． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，则∠DAC＝∠C＝35°，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝35°，DE是AC的垂直平分线，∠B＝50°， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝35°， ∴∠ADB＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA ＝180°﹣50°﹣70° ＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 【考点3：垂直平分线的性质—求周长】 7．（2025秋•陇南期末）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，则△BDF的周长是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，AF＝BF，再根据三角形周长公式计算即可得解． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于D，AB的垂直平分线交AD于F， ∴AD＝CD，AF＝BF， ∴AF+DF＝CD， ∵BC＝10cm， ∴△BDF的周长＝BF+DF+BD＝AF+DF+BD＝AD+BD＝CD+BD＝BC＝10cm， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 8．（2025秋•科左中旗期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC＝AD，E为AB边上一点，EF垂直平分BD，若AB＝8，AC＝6，则△ADE的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 【分析】先由线段垂直平分线的性质得ED＝BE，结合AE+BE＝AB＝8，AC＝AD，故AD+DE+AE＝14，即可作答． 【解答】解：∵EF为线段BD的垂直平分线， ∴ED＝BE， ∴AE+BE＝AE+DE＝8， ∵AC＝AD， ∴AD＝6， 则△ADE的周长为14， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025秋•呼兰区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为18，则△ABC的周长为　26　 ． 【分析】由DE是AC的垂直平分线得到AC＝2AE＝8，AD＝CD，由△ABD的周长为18得到AC+BC＝18，最后由△ABC的周长为AB+AC+BC，进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为18， ∴AC＝2AE＝8，AD＝CD， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝18+8＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【考点4：垂直平分线的交点】 10．（2025秋•农安县期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 11．（2025秋•朝阳区期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适． 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 12．（2025秋•山东校级期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质可知：到这三个地方的距离相等，应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【考点5：垂直平分线的判定】 13．（2025秋•昭通期中）如图，AC＝AD，BC＝BD，那么下列判断正确的是（　　） A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD C．CD平分∠ACB D．∠ACB＝∠ADB＝90° 【分析】根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断 AB垂直平分CD． 【解答】解：∵AC＝AD， ∴点A在线段CD的垂直平分线上， ∵BC＝BD， ∴点B在线段CD的垂直平分线上， ∴AB垂直平分CD． 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 14．（2024秋•抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　） A．小明说得对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．两人说得都不对 【分析】根据选项结合已知得出△PAO≌△PBO，从而得到AO＝BO，即可求出最终结果； 【解答】解：可添条件为PO⊥AB才能说：直线l是AB的垂直平分线， 证明如下： 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA＝PB，PO＝PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴AO＝BO， ∴直线l是AB的垂直平分线， 故选：C． 【点评】本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【考点6：角平分线的性质—求面积】 15．（2025秋•陇南期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 16．（2025秋•海伦市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，DE⊥AB，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（　　） A．mn B．2mn C．m+n D． 【分析】根据角平分线性质得到DE＝CD＝n，再运用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴BC⊥CD， 又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，CD＝n， ∴DE＝CD＝n， ∵AB＝m， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 17．（2025秋•南通校级期末）如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE，∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F，连接CF．若AC＝8，CE＝6，S△ACF＝16，则S△FCE＝　12　 ． 【分析】过F作FM⊥AC交AC的延长线于M，作FN⊥AB交AB的延长线于N，作FH⊥CE于H，由角平分线的性质推出FH＝FM，由三角形的面积公式求出FM＝4，得到FH＝4，于是得到S△FCECE•FH＝12． 【解答】解：过F作FM⊥AC交AC的延长线于M，作FN⊥AB交AB的延长线于N，作FH⊥CE于H， ∵AF平分∠BAC，EF平分∠BEC， ∴FN＝FM，FN＝FH， ∴FH＝FM， ∵AC＝8，S△ACF＝16， ∴△ACF的面积AC•FM8×FM＝16， ∴FM＝4， ∴FH＝4， ∴S△FCECE•FH6×4＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出FH＝FM． 【考点7：角平分线的性质—求线段长】 18．（2025秋•望奎县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则点D到AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3cm，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD是△ABC的角平分线，CD＝3cm， ∴DE＝DC＝3cm， 即点D到AB的距离为3cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 19．（2025秋•扬州期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由角平分线的性质可得，DF＝DE＝3，由题意知，计算求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得，AB， 解得AB＝7． 则AB的长为7， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【考点8：角平分线的交点】 20．（2025秋•拜泉县期末）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 21．（2025秋•临夏州期末）王岗社区是由AB，AC，BC三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在△ABC（　　） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵将充电点建设在到三条路的距离相等的位置， ∴充电点应该建在△ABC三个角的平分线的交点处． 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．（2025秋•牡丹江期末）在三角形内部到三角形的三边距离相等的点是（　　） A．三角形三条高交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【分析】根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可． 【解答】解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点， 故选：B． 【点评】本题考查了角的平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【考点9：尺规作图】 23．（2025秋•拜泉县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝2，AB＝6，则△AEB的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据角平分线的尺规作图可得AE平分∠CAB．作ET⊥AB，再根据角平分线的性质可得ET＝EC＝2，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：如图所示，过点E作ET⊥AB， 由题意可知：AE平分∠CAB，CE＝2，AB＝6， ∵EC⊥AC，ET⊥AB， ∴ET＝CE＝2， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 24．（2025春•张店区期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地ABC的边AB上建一个休息亭D，使它到AC和BC两边的距离相等．则下列方案中，能满足休息亭D的位置要求的是（　　） A． B． C． D． 【分析】在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【解答】解：由题意知CD平分∠ACB，D在AB上， A、满足休息亭D的位置要求，故A符合题意； B、CD⊥AB，CD不一定平分∠ACB，故B不符合题意； C、D不在AB上，故C不符合题意； D、垂直平分AB的直线交AB于D，故D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理． 25．（2024秋•沈北新区期末）在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PC，进而得出∠PAC＝∠C＝50°，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝50°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°， 根据线段垂直平分线的性质，得PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C＝50°， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝95°﹣50°＝45°， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【考点10：角平分线的判定】 26．（2025秋•松原期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　 ． 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 27．（2025秋•丰满区校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM、ON上，点C在∠MON的内部，已知AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，且AD＝BE，求证：OC平分∠MON． 【分析】由CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，得∠ADC＝∠BEC＝90°，而AC＝BC，AD＝BE，可根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BCE，得CD＝CE，则点C在∠MON的平分线上，所以OC平分∠MON． 【解答】证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）， ∴CD＝CE， ∵点C在∠MON的内部，且点C到OM、ON的距离相等， ∴点C在∠MON的平分线上， ∴OC平分∠MON． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明Rt△ACD≌Rt△BCE是解题的关键． 28．（2025秋•甘井子区期末）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线BE和一个外角∠ACD的平分线CE相交于点E． （1）若∠A＝m°，则∠E的大小是　m °；（用含m的式子表示） （2）如图2，连接AE．求证：AE平分另一个外角∠FAC． 【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可； （2）过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H，利用角平分线的性质解答即可． 【解答】（1）解：设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则可得：， 可得：∠Em， 故答案为：m； （2）证明：过点E分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，EH⊥BC于H， ∵EB，EC分别平分∠ABC，∠ACD， ∴EM＝EH，EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴E在∠EAC的平分线上， ∴EA平分∠FAC． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度． 【考点11：截长法】 29．（2025秋•连山区期中）如图，在四边形OABC中，OB平分∠AOC，BA⊥OA，若OC＝3，S△OBC＝9，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】在OA上截取OD＝OC，连接BD，易得△BCO≌△BDO（SAS），得到，即可求出AB． 【解答】解：在OA上截取OD＝OC＝3，连接BD，如图所示： ∵OB平分∠AOC， ∴∠COB＝∠DOB， 在△BCO与△BDO中， ， ∴△BCO≌△BDO（SAS）， ∵S△OBC＝9， ∴S△OBC＝S△ODB＝9（全等三角形面积相等）， ∵BA⊥OA， ∴， ∴AB＝6， 则AB的长为6． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是相关定义和判定定理的熟练掌握． 30．（2025秋•大丰区校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据△ADC的面积为14得CF＝4，由此得CF＝CE＝7，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，则BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝6，再根据AB﹣AD＝2BE得BE＝3，进而得EH＝BH＝3，由此得CE是线段BH的垂直平分线，则HC＝BC，再证明△HAC和△DAC全等得HC＝CD，据此即可得出结论． 【解答】证明：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示： ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH，如图所示： ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 三、巩固练习 一．选择题 1．（2025秋•昆明月考）如图，点M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是（　　） A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON C．PM＝PN，OM＝ON D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO 【分析】对于C，当PM＝PN，OM＝ON时，又OP＝OP，利用三角形全等的判定定理可得△OMP≌△ONP，进一步可得到∠MOP＝∠NOP，从而对C进行判断；同理对于B和D，利用全等三角形的判定定理和角平分线的判定定理即可判断，对于A，直接根据角平分线的判定定理进行判断． 【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN， ∴OC平分∠AOB． ∵PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON，OP为公共边， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），故B能推出OC平分∠AOB． ∵PM＝PN，OM＝ON时，又OP＝OP， ∴△OMP≌△ONP（SSS），即∠MOP＝∠NOP，故C能推出OC平分∠AOB． 当PM＝PN，∠PMO＝∠PNO，OP＝OP， 由“SSA”不能得到△OMP≌△ONP，故D不能推出OC平分∠AOB． 故选：D． 【点评】本题是一道判定角平分线的题目，掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． 2．（2025秋•苍南县校级期末）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【分析】根据角平分线的性质即可得出答案． 【解答】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 3．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK＝PC． 4．（2025秋•凉州区期末）如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，连接CD，若DE＝2.5，BC＝6，则△BCD的面积是（　　） A．6 B．7.5 C．10 D．15 【分析】作DF⊥AC于点F，由BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DF＝DE＝2.5，而BC＝6，则S△BCDBC•DF＝7.5，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DF⊥AC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E， ∴DF＝DE＝2.5， ∵BC＝6， ∴S△BCDBC•DF6×2.5＝7.5， 故选：B． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．（2025秋•秦淮区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①EF＝BE+CF；②；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得②正确；EF与BE不一定平行，进而得出①不正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，由角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OD＝m，然后利用三角形的面积公式即可得出④正确；由角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OD，于是可得结论③正确． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴（角平分线的性质）， ∴， ∴， 所以结论②正确，符合题意； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于O， ∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF， ∵EF与BE不一定平行， ∴∠EOB与∠OBC不一定相等，∠COF与∠BCO不一定相等， ∴∠EOB与∠OBC不一定相等，∠COF与∠FCO不一定相等， ∴OE与BE不一定相等，OF与CF不一定相等， ∴EF≠BE+CF， 所以结论①错误，不符合题意； 如图： 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O， ∴OM＝ON，ON＝OD＝m， ∴OM＝ON＝OD＝m， ∵AE+AF＝n， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF ， 所以结论④正确，符合题意； 由OM＝ON＝OD， 即点O到△ABC各边的距离相等， 所以结论③正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有：②③④，共3个，所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形的面积，关键是相关知识的熟练掌握． 6．（2025秋•船营区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE．若AE＝5，EC＝3，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由此性质得BE＝AE＝5，再由BC＝BE+EC即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝5， ∴BC＝BE+EC＝5+3＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握这一性质是关键． 二．填空题 7．（2025秋•祁阳市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为 　40°　 ． 【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB＝80°；根据线段垂直平分线的性质得AE＝CE，则∠C＝∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°， ∴∠BEA＝80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠C＝∠EAC． ∵∠BEA＝∠C+∠EAC， ∴∠C＝40°． 故答案为：40°． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中． 8．（2025秋•天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长是　4　 ． 【分析】根据基本作图，得AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，利用角的平分线性质，三角形的面积计算即可． 【解答】解：根据基本作图，得AD平分∠BAC， 过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∴DC＝DE； ∵AB＝8，△ABD的面积为16， ∴， 整理得，4DE＝16， 解得DE＝4， 所以DC的长为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 9．（2025秋•房山区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，垂足为H．若DH＝2，AB＝6，则△ABD的面积是　6　 ． 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由角平分线的性质得出DH＝DM，进而可得出结论． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M， ∵AD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DH＝2， ∴DH＝DM＝2， ∵AB＝6， ∴S△ABDBC•DM6×2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10．（2025秋•兴隆台区期末）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，CD＝2，且△ABD的面积为2，则AB＝　2　 ． 【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于点E，由∠BCD＝90°，∴DC⊥BC于点C，而BD平分∠ABC，所以DE＝CD＝2，由S△ABD2AB＝2，求得AB＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DE⊥BA交BA的延长线于点E， ∵∠BCD＝90°， ∴DC⊥BC于点C， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝CD＝2， ∵S△ABDAB•DE，且S△ABD＝2， ∴2AB＝2， ∴AB＝2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．（2025秋•宜昌期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为　15　 ． 【分析】过点O作OD⊥AB于点D，作OM⊥AC于点M，由角平分线的性质得出OD＝OM，再由△ABO的面积为20求出OD的长，进而可得出结论． 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OM⊥AC于点M， ∵O为△ABC角平分线的交点， ∴OD＝OM， ∵△ABO的面积为20，AB＝8， ∴AB•OD＝20，即8OD＝20， 解得OD＝5， ∴OD＝OM＝5， ∵AC＝6， ∴△ACO的面积AC•OM6×5＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．（2025秋•固原校级期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线，BC＝8，则△ADE的周长＝　8　 ． 【分析】如图，由题意可知DA＝DB，EA＝EC，再由BD+EC+DE＝8，即可推出AD+AE+DE＝8，即△ADE的周长＝8． 【解答】解：∵边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵BC＝BD+EC+DE＝8， ∴AD+AE+DE＝8，即△ADE的周长＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出DA＝DB，EA＝EC，正确的进行等量代换． 13．（2025秋•大兴安岭期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为　50°　 ． 【分析】根据线段垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠FDA，根据角平分线得出∠BAD＝∠CAD，根据三角形外角性质推出即可． 【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠FAC＝∠B＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出∠FAD＝∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力． 14．（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，解题的关键是读懂图象信息． 15．（2025秋•呼玛县期末）如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　13　 ． 【分析】根据垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式得到△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC，即可得出结果． 【解答】解：连接BE， 由条件可知：EA＝EB， ∵△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC， ∴当点E在边BC上时，△AEC的周长最小为BC+AC， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△AEC周长的最小值为13； 故答案为：13． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题 16．（2025秋•丛台区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接AO，BO，CO，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【解答】解：（1）∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10， ∴△ADE的周长为10； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AO，BO，CO， ∵OM，ON分别垂直平分AB，AC， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 17．（2025秋•南岗区期末）已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P． （1）如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）如图2，连接AP，若∠BPC＝75°，求∠PAC的度数． 【分析】（1）过P作PH⊥BC于H，PM⊥AD于M，PN⊥AE于N，由角平分线的性质推出PM＝PN＝PH，即可证明问题； （2）由角平分的定义求出∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°，由三角形的外角性质和三角形内角和定理求出∠BAC＝30°，由角平分线的定义得到∠PAC∠BAC＝15°． 【解答】（1）证明：过P作PH⊥BC于H，PM⊥AD于M，PN⊥AE于N， ∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线， ∴PM＝PH，PN＝PH， ∴PM＝PN＝PH， ∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； （2）解：∵∠BPC＝75°， ∴∠PBC+∠PCB＝180﹣75°＝105°， ∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线， ∴∠CBD＝2∠PBC，∠BCE＝2∠PCB， ∴∠CBD+∠BCE＝2（∠PBC+∠PCB）＝210°， ∵∠CBD＝∠BAC+∠BCA，∠BCE＝∠BAC+∠ABC， ∴∠CBD+∠BCE＝∠BAC+∠ABC+∠BCA+∠BAC＝180°+∠BAC＝210°， ∴∠BAC＝30°， 由（1）知PM＝PN， ∵PM⊥AD，PN⊥AE， ∴PA平分∠BAC， ∴∠PAC∠BAC＝15°． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质及其逆定理． 18．（2025秋•海淀区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD． 【分析】过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再求出∠DAE＝∠C，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵∠BAD与∠BCD互补，∠EAD+∠BAD＝180° ∴∠DAE＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 19．（2025春•城关区校级期中）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证； （2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2025秋•斗门区校级期中） 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BN于E，连接AD． （1）求证：AD平分∠MAC； （2）若△ABC周长为20，求BE的长． 【分析】（1）如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，由角平分线的性质证明DP＝DQ，则由角平分线的判定定理可得证明结论． （2）证明Rt△ADQ≌Rt△ADP可得AP＝AQ，同理BP＝BE、CQ＝CE，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得BC+CE＝10，据此即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：如图：过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BN，BD平分∠ABC，CD平分∠ACN， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ（等量代换）， ∵DP⊥BM，DQ⊥AC， ∴AD平分∠MAC； （2）解：如图，由（1）可知：DP＝DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL）， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）， 同理得：BP＝BE、CQ＝CE， ∵三角形ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC＝20， ∴AB+BC+AQ+CQ＝20， ∴AB+BC+AP+CE＝20 ∵AB+AP＝BC+CE， ∴BC+CE＝20÷2＝10，即：BE＝10， 则BE的长为10． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 21．（2025秋•长春期末）如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． 【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法通过SAS证明△ABD≌△CBD，得∠ADB＝∠CBD，从而根据角平分线的性质即可证明结论． 【解答】证明：在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB． 又PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．三角形全等的证明是解题的关键． 22．（2025秋•龙马潭区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法． 23．（2025秋•深圳校级月考）如图，∠BCD的平分线交∠ABC的平分线于点M，交AB于点N，若∠CMB＝90°． （1）求证：AB∥CD． （2）若CN＝6，CB＝5，求△CBN的面积． 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可得∠ABC+∠DCB＝180°，根据平行线的判定即可证得结论； （2）证明△BMN≌△BMC，从而求出CM，再用勾股定理求出BM，根据三角形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：在△CBM中，∠CMB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵CN，BM分别平分∠BCD，∠ABC， ∴∠ABC＝2∠1，∠DCB＝2∠2， ∴∠ABC+∠DCB＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵BM⊥CN，BM平分∠CBN， ∴在△BMN和△BMC中， ， ∴△BMN≌△BMC（ASA）， ∵CN＝6， ∴（全等三角形对应边相等）， ∴， ∴，即△CBN的面积为12． 【点评】本题考查角平分线的性质，平行线的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 24．（2024秋•凉州区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和进行计算即可解答； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H，然后根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC ∴∠DBC∠ABC60°＝30°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB∠ACB40°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°， ∴∠BDC的度数为130°； （2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2， ∴△ADC的面积 DF•AC 2×4 ＝4， ∴△ADC的面积为4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．（2025秋•连云港校级月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝140°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数； （2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出EH＝3，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°（垂直的定义）， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°， 则∠CAD的度数为40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠AEF＝50°， ∴由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH（等量代换）， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴， 所以△ABE的面积为9． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 26．（2025秋•南湖区校级期末）如图①，P为△ABC内一点，连接PA，PB． （1）证明：AP+BP＜AC+BC； （2）如图②，过点P的线段MN分别交AC、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PB的垂直平分线上．若∠ACB＝80°，求∠APB的度数． 【分析】（1）延长AP交BC于点D．根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出∠CMN+∠CNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NP＝NB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】（1）证明：如图①，延长AP交BC于点D． 在△ACD中，AC+CD＞AD， ∵AD＝AP+PD， ∴AC+CD＞AP+PD①， 在△BPD中，PD+BD＞BP②， ①+②，得AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP， ∴AC+CD+BD＞AP+BP， ∵CD+BD＝BC， ∴AC+BC＞AP+BP，即AP+BP＜AC+BC； （2）解：∵∠ACB＝80°， ∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PB的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NB， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NBP＝∠NPB， ∵∠CMN＝∠MAP+∠MPA，∠CNM＝∠NBP+∠NPB， ∴∠MPA+∠NPB（∠CMN+∠CNM）＝50°， ∴∠APB＝180°﹣50°＝130°． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 27．（2025秋•岳阳楼区校级期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，进而得AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN，再根据△CMN的周长为15cm得CM+MN+CN＝15cm，由此即可得出AB的长； （2）在△ABC中，根据∠ACB＝120°得∠A+∠B＝60°，再根据AM＝CM，BN＝CN得∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，进而得∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°，由此可得出∠MCN的度数． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN， ∵△CMN的周长为15cm， ∴CM+MN+CN＝15cm， ∴AB＝15cm， 即AB的长为15cm； （2）在△ABC中，∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B， ∴∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝120°﹣60°＝60°， 即∠MCN的度数为60°． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 28．（2024秋•潮南区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°． （1）求证：AD＝AG； （2）试判断△CDE的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据已知条件，根据三线合一以及三角形内角和定理得出CD⊥AB，∠A＝∠B（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝DB，进而根据∠CDG＝15°，得出∠AGD＝∠ADG，根据等角对等边即可得证； （2）根据EF是B的垂直平分线，得出DE＝EB，根据等边对等角得出∠EDB＝∠B＝30°，进而得出∠DCE＝∠CDE＝60°，可得△CDE是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线， ∴CD⊥AB，∠A＝∠B（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝BD， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠CDG＝15°， ∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝75°， ∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝75°， ∴∠AGD＝∠ADG， ∴AG＝AD； （2）△CDE是等边三角形．理由如下： ∵EF垂直平分线段BD， ∴DE＝EB， ∵∠B＝30°， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴∠CDE＝90°﹣∠EDB＝60°， 又∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线， ∴∠DCB∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 29．（2025秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与∠BAC的平分线交于点E，连接BE、CE，延长AC至点F，求证：∠ABE＝∠ECF． 【分析】作EG⊥AB于点G，EH⊥AF于点H，连接CD，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，根据角平分线的性质得到GE＝HE，证明Rt△BEG≌Rt△CEH，根据全等三角形的性质证明即可． 【解答】证明：如图，作EG⊥AB于点G，EH⊥AF于点H，连接CD， ∵直线l是BC边的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AF， ∴GE＝HE， 在Rt△BEG和Rt△CEH中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△CEH（HL）， ∴∠ABE＝∠ECF． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 30．（2024秋•滨州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，DM，EN分别垂直平分AB，AC，交线段BC于M，N；DM，EN的延长线交于点F，设O为BC中点，连接OF． （1）求∠MAN的度数； （2）证明：OF⊥BC； （3）若△AMN的周长为12，连接OA，当OA取最小值时，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AM＝BM，AN＝CN，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出∠BAM+∠CAN＝60°，即可求解； （2）连接AF，BF，CF，根据线段垂直平分线的性质得出AF＝BF，AF＝CF，证出BF＝CF，再根据点O是BC的中点，即可求解； （3）在四边形ADFE中，根据四边形内角和算出∠AFD+∠AFE＝60°，从而证明∠BFD＝∠AFD，同理，∠CFE＝∠AFE．即可算出∠BFC＝120°，∠OBF＝30°，求出，根据直角三角形性质和勾股定理得出OB的长，从而得出BC的长，根据（1）可知AM+AN+MN＝BM+MN+CN＝BC，再利用垂直平分线性质可以求出AB，AC的长，从而求出结果． 【解答】（1）解：∵DM，EN分别垂直平分AB，AC， ∴AM＝BM，AN＝CN， ∴∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN（等边对等角）， ∵根据三角形内角和定理得，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°． ∴∠BAM+∠CAN＝60°． 又∵∠BAM+∠CAN+∠MAN＝∠BAC， ∴∠MAN＝∠BAC﹣60°＝120°﹣60°＝60°； （2）证明：连接AF，BF，CF． ∵DM，EN分别垂直平分AB，AC， ∴AF＝BF，AF＝CF（线段垂直平分线的性质）． ∴BF＝CF（等量代换）． ∴F在线段BC的垂直平分线上． 又∵点O是BC的中点， ∴OF⊥BC； （3）解：如图，连接OA，AF， 在四边形ADFE中，∠ADF+∠DAE+∠AEF+∠DFE＝360°， ∵∠ADF＝∠AEF＝90°，∠DAE＝120°， ∴∠DFE＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°． 即∠AFD+∠AFE＝60°． ∵AF＝BF，FD⊥AB， ∴∠BFD＝∠AFD． 同理，∠CFE＝∠AFE． 则∠BFC＝∠BFD+∠AFD+∠AFE+∠CFE ＝2（∠AFD+∠AFE） ＝120°， ∵O是BC中点，且OF⊥BC， ∴∠OFB＝∠OFC＝60°． ∴∠OBF＝90°﹣∠OFB＝90°﹣60°＝30°， ∴BF＝2OF． ∵OA≥AF﹣OF， ∴当A在FO延长线上时，上式等号成立，为最小值， 则， ∴， ∵OB2+OF2＝BF2， ∴， ∴OB＝6， ∴BC＝2OB＝2×6＝12， ∵△AMN的周长为＝AM+AN+MN， 由（1）知，AM＝BM，AN＝CN． ∴AM+AN+MN＝BM+MN+CN＝BC＝12， ∵点A在FO延长线上，O是BC中点，且OF⊥BC， ∴OA为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAO＝60°，即∠B＝30° ∴， ∴，即△ABC的周长为12+8． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $