专项突破03 等腰三角形与等边三角形的性质与判定（期末复习-知识回顾+12个重难点培优题型+真题演练 共39题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

专项突破03 等腰三角形与等边三角形的性质与判定 （知识回顾+12种重难点培优题型+真题演练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形及其性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 知识点梳理05：含30°角的直角三角形的性质 3 知识点梳理06：直角三角形斜边上的中线 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 格点图中画等腰三角形 3 题型2 找出图中的等腰三角形 4 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 5 题型4 根据等角对等边证明边相等 6 题型5 根据等角对等边求边长 7 题型6 等腰三角形的性质和判定 8 题型7 等边三角形的判定和性质 8 题型8 含30度角的直角三角形 10 题型9 斜边的中线等于斜边的—半 12 题型10 直角三角形的两个锐角互余 13 题型11 锐角互余的三角形是直角三角形 14 题型12 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 15 期末真题 实战演练 17 知识点梳理01：等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点梳理03：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理04：等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点梳理05：含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点梳理06：直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 题型1 格点图中画等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 题型2 找出图中的等腰三角形 【精讲】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【变式】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 题型4 根据等角对等边证明边相等 【精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知，点，，，……在射线上，点，，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【变式】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 题型5 根据等角对等边求边长 【精讲】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【变式】（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图，，，，点为的中点，，则的长为 ． 题型6 等腰三角形的性质和判定 【精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，四边形的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④当点运动到点时，线段为； A． B． C． D． 题型7 等边三角形的判定和性质 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，在中，，，，垂足为D，点E在边上，以线段为边作等边三角形（点F在边的左侧）． (1)当线段平分时，如图1．求证：垂直平分线段； (2)当点E为线段的中点时，若点K为线段的中点，连接，，，如图2．求证：； (3)当点E在线段上，且时，若点H为线段的中点连接，并延长交于点G，如图3．求证：． 题型8 含30度角的直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·期中）（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，边上的两点，且．求证：； （3）如图③，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是AC上一点，且．求证：． 【变式】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形中，，E，F分别是，上的一点，且，连接，． (1)如图①，若，，且，当时，则 ；（用含a，b的式子表示） (2)在（1）的条件下，若F是的中点，求长方形的面积与四边形面积的比值； (3)如图②，若，当时，求的面积． 题型9 斜边的中线等于斜边的—半 【精讲】（25-26八年级上·广东江门·期中）【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型10 直角三角形的两个锐角互余 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． (1)如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； (2)如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型11 锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接 (1)【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______； (2)【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数； (3)【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，用无刻度的直尺，在给定的网格中画图． (1)在图1中找一点D，使得D到、的距离相等； (2)在图1中画出三角形的高线； (3)在图2中画的垂直平分线，再在上找一点M，使得． 题型12 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【变式】（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是5和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（20-21八年级上·浙江台州·月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 5．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（   ） A．30 B．39 C．60 D．78 6．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 7．（23-24八年级上·江苏·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为 ． 8．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在 中，D 为 内一点，连接且平分，过点D 作 ， 交 于点E ，．若 ，则的长为 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 10．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 11．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·月考）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 等腰三角形与等边三角形的性质与判定 （知识回顾+12种重难点培优题型+真题演练 共39题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：等边三角形及其性质 2 知识点梳理04：等边三角形的判定 3 知识点梳理05：含30°角的直角三角形的性质 3 知识点梳理06：直角三角形斜边上的中线 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 格点图中画等腰三角形 3 题型2 找出图中的等腰三角形 6 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 9 题型4 根据等角对等边证明边相等 11 题型5 根据等角对等边求边长 15 题型6 等腰三角形的性质和判定 18 题型7 等边三角形的判定和性质 22 题型8 含30度角的直角三角形 26 题型9 斜边的中线等于斜边的—半 32 题型10 直角三角形的两个锐角互余 36 题型11 锐角互余的三角形是直角三角形 41 题型12 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 44 期末真题 实战演练 48 知识点梳理01：等腰三角形的性质 1. 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 2. 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点梳理02：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点梳理03：等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理04：等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点梳理05：含30°角的直角三角形的性质 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点梳理06：直角三角形斜边上的中线 1. 性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 拓展：一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形就是以这条边为斜边的直角三角形．使用该定理可以确定直角三角形． 题型1 格点图中画等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【规范解答】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）由于点和点竖直方向距离固定4格，连接与正中间水平网格线交点即为中点，此时得到； （2）根据点向右移动1格再向上移动2格又回到线段上，把点向左移动2格再向上移动1格到达格点，连接，则，得到，证明，即，延长交于点，线段即为所求； （3）根据点向右移动2格再向上移动4格到达点，把点向右移动4格再向下移动2格到达格点，则得到，，得到，即是等腰直角三角形，连接交于点，，点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 题型2 找出图中的等腰三角形 【精讲】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】（）连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由可得，即得，同理可得，即得到，再根据直角三角形的性质即可得到结论； 本题考查了直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ，点是的中点， ， 同理可得，， ， 又∵点是的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ，点是的中点， ， ， 同理可得，， ∴， ， ， ∵点是的中点， ． 【变式】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 【精讲】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形的面积公式等知识点，由折叠得到相等的边和角是解题的关键． 如图：根据折叠的性质得到，由平行线的性质，易得，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵长方形纸片按图中那样折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选C． 【变式】（25-26八年级上·天津·期中）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，       ∵， ∴， ∴，， ∴，     ∵， ∴，    ∴，        ∴是等腰三角形． （2）解∶ ∵，， ∴，                  ∵，， ∴是等边三角形，    ∴． 题型4 根据等角对等边证明边相等 【精讲】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知，点，，，……在射线上，点，，，……在射线上，，，，……均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【思路引导】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的判定可知，进一步可证，同理可证，，，，进而代值即可得解． 【规范解答】解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ∵， ∴ 的边长为． 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）请阅读下面的材料． (1)问题：如图1，若，，平分，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得出结论，他的结论是__________（直接写出结论，不需要证明）． (2)变式：如图3，在四边形中，点是的中点，若平分，，请你探究图中线段，，之间的数量关系并证明． (3)拓展：如图4，在中，，和的平分线交于点，点，分别为，上的点，且点为中点，若，，，求的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)13 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在上截取，连接，证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边求解即可； （2）在上截取，连接，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）在上截取，连接，证明，是等边三角形，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接，如图， ∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型5 根据等角对等边求边长 【精讲】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）运用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）运用证明可得，再根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据等量代换即可解答． 【规范解答】（1）证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 【变式】（25-26八年级上·湖北·阶段练习）如图，，，，点为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边；连接并延长交于点，证明得出，，进而得出，证明得出，，结合已知可得，根据等角对等边即可得出，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴， ∴， 延长至，使得，连接， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 题型6 等腰三角形的性质和判定 【精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到线段与角的等量关系，结合角的代换证明三角形全等，进而推导相关结论并分析面积变化． 【规范解答】解：，是边上的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ，， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形， ①正确； ，， ， ，， ， ②正确； ， ， ， ③正确； ， ， 为定值， ④错误． 故选：． 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（   ） ①线段；②当时，四边形的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④当点运动到点时，线段为； A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质；根据轴对称的性质，得到线段相等，则①正确；将图中不规则的四边形面积分割为两个三角形的面积进行求解，作于点，利用特殊角得到，，利用三角形面积公式计算可得②正确；利用等腰三角形性质，以及平角为 ，可求得具体角度，判断③正确；由轴对称的性质可得，再由三角形三边的关系即可判断④错误． 【规范解答】解：∵点关于的对称点为，， ∴， 则①正确； 作于点， ∵， 由对称的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 则②正确； ∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴随着点的移动，的角度不变； 则③正确； 当和重合时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， 则④错误； 故选C． 题型7 等边三角形的判定和性质 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【规范解答】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 在和中，， ∴， ∴，， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，在中，，，，垂足为D，点E在边上，以线段为边作等边三角形（点F在边的左侧）． (1)当线段平分时，如图1．求证：垂直平分线段； (2)当点E为线段的中点时，若点K为线段的中点，连接，，，如图2．求证：； (3)当点E在线段上，且时，若点H为线段的中点连接，并延长交于点G，如图3．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路引导】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，再结合平分求出的度数，然后根据等边三角形的性质得到的度数，进而求出的度数，最后根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分； （2）先根据等腰三角形三线合一的性质得到平分，再结合已知条件求出、、的度数，然后根据直角三角形的性质得到与的关系，再通过全等三角形的判定与性质得到与的关系，进而证明； （3）在上截取，连接，，结合已知条件求得、、的度数，证明出和是等边三角形，然后通过全等三角形的判定与性质得到，再根据等腰三角形的性质等角对等边得到，进而得到和的关系． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∵线段平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段． （2）证明：由（1）知，，，， ∴在中，， ∵点K为边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，                 ∵点E是中点 ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． （3）证明：如图，在上截取，连接，， ∵点H为中点， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质． 题型8 含30度角的直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·山东德州·期中）（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； （2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，边上的两点，且．求证：； （3）如图③，在中，，，点D是外角平分线上一点，交延长线于点E，F是AC上一点，且．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，含30度角的直角三角形的性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）延长到点E，使，连接，证明，得到，再根据三角形三边关系得到，代值化简即可解答； （2）延长到点G，使，先证明，推导出，继而证明，得到，则，得到，即可解答； （3）作于点H，在上截取，先求出，得到，证明，得到，，推导出，得到，即可解答． 【规范解答】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接． 在和中： ∴， ∴． 由三角形三边关系：， 即， 得． 答案为：． （2）证明：如图a，延长到点G，使， ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． 在和中 ∴， ∴． 又∵， ∴． （3）如图b，作于点H，在上截取， ∵， ∴， ∴． ∵，点D是外角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形中，，E，F分别是，上的一点，且，连接，． (1)如图①，若，，且，当时，则 ；（用含a，b的式子表示） (2)在（1）的条件下，若F是的中点，求长方形的面积与四边形面积的比值； (3)如图②，若，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【思路引导】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形性质； （1）由即可求解； （2）先由得出，然后分别表示出长方形的面积与四边形面积，求出比值即可； （3）延长至点H，使，过点E作于点M，先证，得到，再由等腰三角形的性质得，即，由含直角三角形性质得，利用即可求解. 【规范解答】（1）解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴. （2）解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴长方形的面积与四边形面积的比值为. （3）解：延长至点H，使，过点E作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴. 题型9 斜边的中线等于斜边的—半 【精讲】（25-26八年级上·广东江门·期中）【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析 (3)成立，作图见解析，理由见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边中线的性质是关键． （1）①先求出，再根据直角三角形斜边中线性质得，由此可得为等边三角形； ②根据直角三角形斜边中线性质即可得出与之间的数量关系； （2）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，据此可得出线段与之间的数量关系； （3）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，由此得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）①证明：在中，，， ， ∵是边上的中线， ， 为等边三角形； ②解：， 与之间的数量关系为：； 故答案为：； （2）解：线段与之间的数量关系是：，理由如下： 连接，如图2所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ； （3）解：成立，理由如下： 连接，如图3所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ． 【变式】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识．利用等角的余角相等证明①正确；延长和相交于点，证明，推出，再证明，得到，可证明②正确；利用直角三角形斜边中线的性质可判断④正确；过点作于点，作于点，利用等积法证明，可推出是的角平分线，据此可判断③正确． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴，①正确； 延长和相交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，②正确； ∵，， ∴，，④正确； 过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴，③正确； 综上，①②③④均正确， 故选：D． 题型10 直角三角形的两个锐角互余 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． (1)如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； (2)如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析；，理由见解析 (2)存在，，或， 【思路引导】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明，来说明，再利用直角三角形两个锐角互余来说明； （2）分“，”、“，”两种情况，分别得到关于的方程求解，并求出相应的速度即可． 【规范解答】（1）解：当时，与全等，线段和线段的位置关系是：，数量关系是：， 理由如下： ，， ， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动， ， ，， ， ， 又且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ； （2）解：依题意得：，， ，， ， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等； ②当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等， 综上所述：v，t的值分别为，或，． 【变式】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 题型11 锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接 (1)【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______； (2)【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数； (3)【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)图形见解析， (3)，，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证，即可得解； （2）依据题意补全图形，根据对称性可得，，即可得解； （3）设，交于点K，证，即可得解． 【规范解答】（1）解：点C为中点， ， 在和中 ． ，． ． 故答案为：， （2）解：补全图形如图， 由对称性可知， ，． ． （3）解：，，理由如下： 设，交于点K， 由（1）知，． ． 由（2）知． ． 根据对称的性质可知，． ， ， 在和中， ≌． ，． ， ． ． ， ． ，即； 综上，，． 【变式】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，用无刻度的直尺，在给定的网格中画图． (1)在图1中找一点D，使得D到、的距离相等； (2)在图1中画出三角形的高线； (3)在图2中画的垂直平分线，再在上找一点M，使得． 【答案】(1)图见详解 (2)见解析 (3)图见详解 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质定理、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理可进行作图； （2）根据直角三角形的性质及平行线的性质可进行作图； （3）根据等腰直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质可进行求解． 【规范解答】（1）解：所作点D如图所示： （2）解：所作三角形的高线如图所示； （3）解：所作图形如图所示： 先构造等腰直角三角形，然后再分别画出该等腰直角三角形斜边的中点M和的中点G，连接，则问题可求解． 题型12 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【精讲】（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2； （1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． （2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析 【思路引导】（1）由已知得，连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论； （2）连接CF，BE，证明得CD=BE，再证明为直角三角形，由勾股定理可得结论． 【规范解答】解：（1）CD2+DB2=2DF2 证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°， ∴ ∴ 连接CF，BE，如图 ∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点 ∴ ，即 ∴， 又 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴CD2+DB2=2DF2 ； （2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90° ∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC≌△EFB        ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°   ∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式】（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习） 已知为等边三角形． (1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边， 判断线段、、的关系，并说明理由； (3)如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．直接写出线段，，之间存在何种数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由证明，可得结论； （2）由和都是等边三角形，则，得到，证明，得到，进而求解； （3）在上截，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明是等边三角形，可得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：、、之间存在的数量关系是：．理由如下： 如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 证明：在上截，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是5和，则它的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 需要分情况讨论腰和底边，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断． 【规范解答】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可分两种情况讨论： ①当腰为5时，三边为5、5、， 但， 不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形， 故不成立； ②当腰为时，三边为、、5， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为， ∴周长为， 故选：B． 2．（20-21八年级上·浙江台州·月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【规范解答】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误， 综上可知：①③正确，共2个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，，于点，于点，于点，，则的长是（   ） A．5 B． C．12 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，则，又，故，因此，从而得出，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（   ） A．30 B．39 C．60 D．78 【答案】A 【思路引导】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【规范解答】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值 ， ， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据等腰三角形的定义分两种情况求解，再结合三角形的三边关系确定满足条件的情况，即可求解． 【规范解答】解：若等腰三角形的腰长为，底边为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若等腰三角形的腰长为，底边为， 此时第三边长为， 故答案为：9． 8．（20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在 中，D 为 内一点，连接且平分，过点D 作 ， 交 于点E ，．若 ，则的长为 【答案】 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，得到，根据等角对等边得到，由此即可求解． 【规范解答】解：∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【规范解答】解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，则. ∵， ， 又∵ ∴， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【规范解答】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，点关于直线的对称点为，分别连接、，点关于直线的对称点为，连接交于点，连接，连接并延长，交于点． (1)根据题意补全图形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）由轴对称的性质可得，，，，，从而得出，证明，得出，再证明，即可得证． 【规范解答】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：∵点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（22-23八年级上·江苏泰州·月考）已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明，可得，则此题可解； 对于（2），过点E作，交延长于点N，再根据“角角边”证明，可得，由“角角边”可证，可得； 对于（3），，分三种情况：当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，当点D在线段的延长线上，根据全等三角形的性质求出相应线段的长，再根据三角形面积公式可得解. 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 14．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．      B．     C．      D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 【答案】（1）C（2）（3）5 【思路引导】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 【规范解答】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【考点剖析】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【规范解答】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∵， ∴； （3）∵是等腰三角形，， ∴ ， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $