专题01 三角形（期末培优，10个高频易错考点训练）讲义2025-2026学年苏科版数学八年级上册

八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题一 三角形 目录 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：三角形的概念】 【考点2：三角形的边与角】 【考点3：三角形的高】 【考点4：三角形的个数】 【考点5：三角形三边之间的关系】 【考点6：三角形三边关系的应用】 【考点7：与中线有关的三角形面积问题】 【考点8：与中线有关的三角形周长问题】 【考点9：三角形中角度问题】 【考点10：绝对值的化简问题】 三、巩固练习 一、知识点回顾 1．三角形的有关概念 （1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）相关概念：组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形的分类 （1）按角分类 （2）按边分类 3．与三角形有关的线段 （1）三角形的高： ①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． ②三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （2）三角形的中线： ①三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． ②一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． （3）三角形的角平分线： ①三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点，交点叫作三角形的内心． 4．三角形的三边关系 （1）三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． （2）理论依据：两点之间，线段最短． （3）判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 5．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 6．三角形内角和定理 （1）三角形三个内角的和等于180°． （2）三角形内角和定理的应用 ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 7．三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． （2）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． ③三角形的外角和等于360°．（每个顶点处取一个外角） ④三角形的外角与其相邻内角互为邻补角． 二、考点分析 【考点1：三角形的概念】 1．（2025秋•黔南州期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 【点评】本题考查三角形的定义，解决本题的关键是掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．（2024秋•伊犁州期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义． 3．（2025秋•阿克陶县月考）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，所以选项C符合题意． 故选：C． 【点评】1此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义． 【考点2：三角形的边与角】 4．（2025秋•曲靖期末）在△ABE中，AB边所对的角是（　　） A．∠ADB B．∠AEB C．∠ACB D．∠AEC 【分析】根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【解答】解：在△ABE中，AB边所对的角是∠AEB， 故选：B． 【点评】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 5．（2023秋•东莞市校级月考）如图，在△BCE中，∠CBE所对的边是 EC ；在△AEC中，边AE所对的角是 　∠ACE ． 【分析】根据三角形的概念即可求解． 【解答】解：在△BCE中，∠CBE所对的边是EC；在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE， 故答案为：EC；∠ACE． 【点评】本题考查了三角形的有关概念，正确理解三角形的概念是解题的关键． 6．（2025秋•崖州区期中）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的　中线　 ． 【分析】连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线． 【解答】解：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D， 则线段AD叫做△ABC的边BC上的中线， 故答案为：中线． 【点评】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3：三角形的高】 7．（2025秋•鞍山期末）如图，△ABC中，AD是高线，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】从点A向边BC作垂线即可求解． 【解答】解：A、AD是点D到AB的垂线； B、CD是AB边上的高； C、AD是BC边上的高； D、CD是AB边上的高； 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的高，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 8．（2025秋•黔东南州期末）下列四个图形中，BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【解答】解：A、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； B、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； C、线段BD是△ABC的高，说法正确，故符合题意； D、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 9．（2025秋•西和县期末）在下列各图形中，线段AD是△ABC的BC边上高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据线段AD是△ABD的AB边上高可对选项A进行判断；根据线段AD是△ABC的BC边上高可对选项B进行判断；根据三角形高的定义可对选项C进行判断，根据线段AD是△ADC的AC边上高可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵AD⊥AB，AD与BC不垂直， ∴线段AD是△ABD的AB边上高，不是△ABC的BC边上高， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵AD⊥BC， ∴线段AD是△ABC的BC边上高， 故选项B符合题意； 对于选项C， ∵AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的BC边上高， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AD⊥AC，AD与BC不垂直， 线段AD是△ADC的AC边上高， 故选项D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的高，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 【考点4：三角形的个数】 10．（2025秋•昭通期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形． 【解答】解：△ABC、△ABE、△ABF、△ABD四个三角形是以AB为边的三角形， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 11．（2025秋•富县期中）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以D为顶点的三角形有△ADE，△ADC，△BDE，△ADB共4个三角形， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 12．（2025秋•武汉期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【分析】根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【解答】解：可以组成：△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CAB，△DAB，△EAB，共9个， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形，关键是三角形构成条件的熟练掌握． 【考点5：三角形三边之间的关系】 13．（2025秋•西岗区校级期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，5cm，9cm D．2cm，7cm，9cm 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，分别计算各选项是否满足条件即可． 【解答】解：A、∵1+2＝3， ∴1cm，2cm，3cm不能组成三角形，不符合题意； B、∵2+3＝5＞4， ∴2cm，3cm，4cm能组成三角形，符合题意； C、∵3+5＝8＜9， ∴3cm，5cm，9cm不能组成三角形，不符合题意； D、∵2+7＝9， ∴2cm，7cm，9cm不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 14．（2025秋•西宁期末）使用如图所示的两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　） A．①②都可以 B．只有①可以 C．①②都不可以 D．只有②可以 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：∵5cm＞4cm， ∴可以分成两段的铁丝是①． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边是解题的关键． 15．（2025秋•昌都市期末）下列几组数中，不能构成三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．9，10，11 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，5 【分析】根据三角形的三边关系，逐项分析判断即可得出答案． 【解答】解：A、∵5+12＝17＞13， ∴5，12，13能构成三角形三边长，所以此选项正确，不符合题意； B、∵9+10＝19＞11， ∴9，10，11能构成三角形三边长，所以此选项正确，不符合题意； C、∵0.5+1.2＝1.7＞1.3， ∴0.5，1.2，1.3能构成三角形三边长，所以此选项正确，不符合题意； D、∵2+3＝5， ∴2，3，5不能构成三角形三边长，所以此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【考点6：三角形三边关系的应用】 16．（2025秋•天山区校级期末）已知，一个三角形的两边的长分别是3cm和5cm，则第三边的长可能是（　　） A．1.8cm B．2cm C．4.3cm D．9cm 【分析】三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设第三边的长为xcm，再根据三角形的三边关系进行解答即可． 【解答】解：设第三边的长为xcm， 则根据三角形的三边关系得，5﹣3＜x＜5+3， 即2cm＜x＜8cm， 所以，选项A、B、D错误，不符合题意，选项C正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键． 17．（2025秋•新乡期末）已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】设第三边为x，根据关系求出x的取值范围，再判断选项． 【解答】解：设第三边长为x， 根据三角形的三边关系得：5﹣1＜x＜5+1， 解得4＜x＜6， ∴此三角形第三边的长可能是5， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 18．（2025秋•铁岭县期末）如图，在池塘两端分别取点A和点B，池塘外有一点P，测得PA＝80m，PB＝90m，点A与点B之间的距离可能是（　　） A．9m B．10m C．120m D．170m 【分析】首先根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【解答】解：根据题意可得，PB﹣PA＜AB＜PA+PB， ∵PA＝80m，PB＝90m， ∴90﹣80＜AB＜90+80， 即10m＜AB＜170m， 故点A与点B之间的距离可能是120m． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键． 【考点7：与中线有关的三角形面积问题】 19．（2025秋•瓦房店市期末）如图，在△ABC中，BC＝8，D是BC边上的一点，DC＝3，连接AD，BE是△ABD的中线，若△ABE面积是2.5，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．7.5 C．8 D．10 【分析】根据三角形中线的性质得出△ABD的面积，进而得出△ABC的面积． 【解答】解：∵BE是△ABD的中线，△ABE面积是2.5， ∴△ABD的面积＝2△ABE的面积＝5， ∵BC＝8，DC＝3， ∴△ABD的面积：△ADC的面积＝BD：DC＝（8﹣3）：3＝5：3， ∵△ABD的面积＝5， ∴△ADC的面积＝3， ∴△ABC的面积＝3+5＝8， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角分线、中线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角分线上的点到角两边的距离相等． 20．（2025秋•东海县期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AEF的面积为1cm2，则△ABC的面积是（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【分析】根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【解答】解：∵点F是CE的中点，△AEF的面积为1cm2， ∴， ∵点D是的AC中点， ∴，同理可得， 同理可得，， 即△ABC的面积是4cm2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 21．（2025秋•临夏州期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（　　） A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得出结果． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴； ∵CE是△ACD的中线， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查三角形的中线，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点8：与中线有关的三角形周长问题】 22．（2025秋•林芝市期末）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴28﹣6＝22cm．即△ACD周长为22cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中线的角平分线、中线和高，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 23．（2025秋•凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【分析】由于BD是AC边上中线，所以AD＝CD，所以△ABD的周长比△ADC的周长多的部分等于AB﹣BC，再根据AB＝5cm即可得出BC的长． 【解答】解：∵BD是AC边上中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC， ∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm． ∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟知三角形的角平分线、中线、高的定义解答此题的关键． 24．（2025秋•宁波期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝7cm，BC＝5cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多 　2　 cm． 【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC的中线是BD， ∴DC＝AD， ∴△ABD的周长﹣△CBD的周长 ＝（AB+AD+BD）﹣（BC+DC+BD） ＝AB﹣BC ＝7﹣5 ＝2（cm）， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【考点9：三角形中角度问题】 25．（2025秋•东莞市期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．10° D．15° 【分析】根据角平分线定义得到∠BAE＝∠CAE＝60°，结合高线和直角三角形性质推出∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可解题． 【解答】解：∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC120°＝60°， ∵AD⊥BC于点D，∠C＝40°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝60°﹣50°＝10°； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，角的计算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 26．（2025秋•泌阳县校级期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．50° C．90°或50° D．90°或30° 【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况，分别计算∠BAC的度数． 【解答】解：如图1，当高AD在△ABC内部时， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°． 如图2，当高AD在△ABC外部时， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°． 综上所述：∠BAC的度数为90°或50°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的高，熟记三角形的高的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 27．（2025秋•常州校级月考）如图，点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，AC＝AD，△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC，若∠BAC＝60°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．60° 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，根据三角形面积公式、△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC求得DE＝DF，从而根据角平分线的性质判断AD是∠BAC的平分线，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F． ∵△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC， ∴AB•DE：AC•DF＝AB：AC， ∴DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC＝60°， ∴∠DAC∠BAC60°＝30°， ∵AC＝AD， ∴∠C＝∠ADC（180°﹣∠DAC）（180°﹣30°）＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形面积公式、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【考点10：绝对值的化简问题】 28．（2024秋•凉州区校级期末）设a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|+|a+c﹣b|． 【分析】根据三角形三边关系，得a﹣b﹣c＜0，a+c﹣b＞0，再根据绝对值性质以及合并同类项法则，计算即可求解． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b+c＞0，a＜b+c，a+c＞b， ∴a﹣b﹣c＜0，a+c﹣b＞0， ∴原式＝（a+b+c）﹣[﹣（a﹣b﹣c）]+（a+c﹣b） ＝a+b+c+a﹣b﹣c+a+c﹣b ＝3a﹣b+c． 【点评】本题主要考查三角形三边关系，绝对值的性质，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 29．（2025秋•恩施市校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出c的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． 【点评】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 30．（2025春•金凤区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长； （2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 三、巩固练习 一．选择题 1．（2025秋•庆阳期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、∵3+4＝7＞5， ∴3，4，5三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵5+4＝9， ∴4，5，9三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵5+12＝17＜18， ∴5，12，18三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵7+15＝22＜23， ∴7，15，23三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．（2025秋•西城区校级期末）已知△ABC中，AB＝3，BC＝5，且第三边AC的长度是奇数，则AC的最大长度是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据三角形三边关系确定AC的取值范围，再结合AC为奇数的条件，从可能值中选出最大值． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，BC＝5， ∴由三角形三边关系得：5﹣3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8， 又∵AC的长度为奇数， ∴AC可能取值为3，5，7，其中最大值为7， ∴AC的最大长度是7， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 3．（2025秋•道外区期末）如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据三角形的组成得出以AB为边的三角形； 【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的组成，正确把握三角形的定义是解题关键． 4．（2025秋•海珠区校级月考）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，若AE＝6，S△ABD＝15，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得S△ABD＝S△ACD＝15，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴S△ABD＝S△ACD＝15， ∵AE⊥CD， ∴CD•AE＝15， ∴CD•6＝15， 解得：CD＝5， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2025秋•望花区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形； 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边． 6．（2025秋•中山区校级期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．BF 【分析】因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 7．（2025秋•鸡西期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【解答】解：∵F是BE中点， ∴S△BCE＝2S△CEF＝2×4＝8， ∵E是AD中点， ∴S△ABD＝2S△BED，S△ACD＝2S△CED， ∴S△ABD+S△ACD＝2（S△BED+S△CED） ＝2S△BEC ＝2×8 ＝16， ∴S△ABC＝16， 即△ABC的面积为16， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，关键是找出三角形面积之间的关系． 8．（2025秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S四边形BCED为（　　） A．9 B．12 C．24 D．27 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【解答】解：∵S△ADE：S△BDE＝1：2， ∴AD：BD＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2， ∵S△ADE＝3， ∴S△ABC＝27， ∴S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24， 故选：C． 【点评】本题考查三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2025•锡山区二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题 10．（2025秋•牡丹江期末）已知三角形两边长分别是3和5，第三条边为偶数，那么第三条边c的取值可能是　4或6　 ． 【分析】根据三角形三边关系定理，第三边c的取值范围为2＜c＜8，再结合c为偶数的条件，得出c的可能值． 【解答】解：∵三角形两边长分别是3和5， ∴根据三角形的三边关系得，5﹣3＜c＜5+3， 解得2＜c＜8． 又因为c为偶数， 所以c的取值可能是4或6． 那么第三条边c的取值可能是4或6． 故答案为：4或6． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 11．（2025秋•钟楼区月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE⊥BC于点E．若△ABC的面积为24，AE＝6，则BD的长为　4　 ． 【分析】利用三角形中线定义及三角形面积求出BD长． 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴S△ABDS△ABC24＝12， ∴BD•AE＝12， ∵AE＝6， ∴BD＝4． 【点评】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键． 12．（2025秋•扬州校级期末）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为　2　 cm2． 【分析】根据E为AD的中点，可得，，先求出S△BCE，再根据F为CE的中点，即可求出S△BEF． 【解答】解：∵E为AD的中点， ∴，（三角形中线的性质）， ∵， ∴， ∵F为CE的中点， ∴． 则阴影部分的面积为2cm2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了三角形的面积，掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 13．（2025秋•牡丹江期末）如图，AD是的中线，点E在AC边上一点，连接BE交AD于点F，且AE：CE＝3：2，若S△ABC＝60，则S四边形DCEF＝　16.5　 ． 【分析】连接CF，设S△BDF＝x，根据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AE：CE＝3：2，S△ABC＝60， ∴，，， 连接CF，设S△BDF＝x，则S△CDF＝S△BDF＝x， ∴S△ACF＝30﹣x，S△ABF＝30﹣x， ∵AE：CE＝3：2， ∴，， ∴， 整理得，x＝12， 解得：x＝7.5， ∴S△CDF＝7.5，， ∴S四边形DCEF＝S△CDF+S△CEF＝16.5， 则S四边形DCEF的面积为16.5， 故答案为：16.5． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，关键是相关性质的熟练掌握． 14．（2025秋•绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　4　 m（写一个即可）． 【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答． 【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm， ∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD， 即5＜2+x＜11， ∴3＜x＜9， ∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 15．（2025秋•崆峒区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|的结果为　2a+2b﹣2c ． 【分析】先根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与c﹣b﹣a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可； 【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（c﹣a﹣b） ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c 故答案为：2a+2b﹣2c． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 16．（2025秋•皮山县月考）一个三角形的三条边长分别为6，7，x+1，则x的取值范围是 　0＜x＜12　 ． 【分析】根据三角形三边的长分别为6，7，x+1得到并求解7﹣6＜x+1＜7+6即可． 【解答】解：由题意得，7﹣6＜x+1＜7+6， 解得0＜x＜12， 故答案为：0＜x＜12． 【点评】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 17．（2025春•邯郸期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　50°　 ． 【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为50°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键． 18．（2025秋•浑源县月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，连接AD，第一次取BD的中点为D1，连接AD1，记△ADD1的面积为S1；第二次取DD1的中点为D2，连接AD2，记△ADD2的面积为S2；第三次取DD2的中点为D3，连接AD3，记△ADD3的面积为S3；…．若△ABC的面积为4，则△ADD2026的面积为　　 ． 【分析】根据同底等高的三角形面积相等找出规律来求解． 【解答】解：由题意，∵点D是BC边的中点，D1是BD的中点，D2是DD1的中点，……， ∴S△ADCS△ABC， S△ABDS△ABC， S△ABD2S△ABC， ……， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形面积，注意同底等高的三角形面积相等，找规律，找出规律是解答关键． 三．解答题= 19．（2025秋•南岗区期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长； （2）AC能否等于12？为什么？ 【分析】（1）先根据AC＝10，，算出AB＝15，再结合AD是BC边上的中线，进行计算即可作答； （2）假设AC＝12，结合，得出AB＝18，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，得BC＝3，运用三角形三边关系进行分析，即可作答． 【解答】解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵ABAC， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 20．（2025秋•伊通县期末）（1）在△ABC中，BC边上的高是 AB ； （2）在△AEC中，AE边上的高是 CD ； （3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长． 【分析】（1）（2）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段； （3）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB； （2）在△AEC中，AE边上的高是CD； （3）∵AE＝3cm，CD＝2cm， ∴S△AECAE•CD＝3cm2， ∵S△AECAB•CE＝3cm2， ∴CE＝3cm． 故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm． 故答案为：（1）AB；（2）CD 【点评】本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式，关键是根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段解答． 21．（2025春•宜宾期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE． （1）当AE为边BC上的中线时，若AD＝6，△ABC的面积为24，求CE的长； （2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出BC＝8，然后根据AE为边BC上的中线得到CE的长； （2）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝78°，再利用角平分线的定义得到∠CAE＝39°，接着计算出∠CAD，然后计算∠CAE﹣∠CAD即可． 【解答】解：（1）∵AD为边BC上的高，△ABC的面积为24， ∴BC•AD＝24， ∴BC8， ∵AE为边BC上的中线， ∴CEBC＝4； （2）∵∠C＝66°，∠B＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°， ∴AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE∠BAC＝39°， ∵∠ADC＝90°，∠C＝66°， ∴∠CAD＝90°﹣66°＝24°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝39°﹣24°＝15°． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高． 22．（2025春•衡阳县期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝　10　 ． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 23．（2025春•巴中期末）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a+b﹣2c+8＝0，a﹣b﹣3c+22＝0． （1）求c的取值范围． （2）若△ABC的周长为22，求a，b，c的值． 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边列不等式组得出3c﹣22＜c＜2c﹣8，求解即可； （2）△ABC的周长为22，根据题意得出列方程组求解得出答案即可． 【解答】解：（1）∵a+b﹣2c+8＝0，a﹣b﹣3c+22＝0 ∴2c﹣8＝a+b，3c﹣22＝a﹣b ∵a、b、c是△ABC的三边， ∴根据三角形的三边关系得，3c﹣22＜c＜2c﹣8， ∴8＜c＜11； （2）由题意列方程得：， 解得， 即a＝10，b＝2，c＝10． 【点评】此题考查三角形的三边关系，关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 24．（2025秋•昆明期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|； （2）若a＝5，b＝2，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用三角形的三边关系得到a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0，然后去绝对值符号后化简即可； （2）①由a＝5，b＝2，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案； ②根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝﹣a+b+c+b﹣c﹣a+a+b﹣c＝﹣a+3b﹣c； （2）∵a＝5，b＝2， ∴5﹣2＜c＜5+2， 即3＜c＜7， ∵三角形的周长为偶数， ∴c＝5； ②∵a＝c＝5， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 25．（2025秋•宜兴市校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　2a ． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得a+b＞c，a+c＞b，从而可得a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得； （2）先根据三角形中线的定义可得，再设元对周长分两种情况讨论，即或，分别求出x、y的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c） ＝a+b﹣c﹣b+a+c ＝2a， 故答案为2a． （2）如图，设AD＝CD＝x，BC＝y，则AB＝AC＝2x． ∵中线BD把三角形的周长分为9和18两部分， ∴或， 即或， 解得或． 当x＝3时，三边为6、6、15，6+6＜15，不符合三角形三边关系，舍去． 当x＝6时，三边为12、12、3，此时腰长为12，符合题意． 综上所述，等腰三角形的腰长AB为12． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是分两种情况讨论． 26．（2025秋•泰山区校级月考）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线． （1）若△ABC的面积为84cm2，AB＝24cm，则CD＝　7cm ； （2）若CA＝6cm，BC＝13cm，求△BCE与△ACE的周长差． 【分析】（1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高CD； （2）由中线定义得AE＝BE，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的高线，△ABC的面积为84cm2，AB＝24cm， ∴， 解得CD＝7， 故答案为：7cm； （2）∵CE是△ABC的中线，BC＝13，CA＝6， ∴AE＝BE，△BCE与△ACE的周长差为（BC+CE+BE）﹣（CA+CE+AE）＝BC﹣CA＝13﹣6＝7， 答：△BCE与△ACE的周长差为7cm． 【点评】本题考查了三角形的面积公式，三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 27．（2025秋•岫岩县月考）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板ABC上画出中线AD，可以得到S△ABD　＝　 S△ACD（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图③，三角形薄板ABC的三条中线AD，CE，BF相交于点O，试判断三角形薄板ABC被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想AO：OD，BO：OF，CO：OE的值，并说明理由． 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断△BOD，△COD面积相等，△BOE，△AOE面积相等，△AOF，△COF面积相等，再推导S△AOB＝S△AOC后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明S△AOB＝S△OAE+S△OBE＝2S△OBD，可推导AO：OD＝2：1，用相同方法证明另外两个结论即可． 【解答】解：（1）∵△ABD和△ACD的底分别为BD、CD，高为点A到线段BC的距离， ∴两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：＝． （2）三角形薄板ABC被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由如下： ∵AD是△ABC的一条中线， ∴OD是△OBC的中线， ∴S△OCD＝S△OBD， 同理可得，S△OBE＝S△OAE，S△OCF＝S△OAF， ∵S△ABD＝S△ACD，S△AOB＝S△ABD﹣S△OBD，S△AOC＝S△ACD﹣S△OCD， ∴S△AOB＝S△AOC， ∴， 同理可得，S△OCF＝S△OBD＝S△OCF＝S△OCD， ∴S△OAF＝S△OCF＝S△OAE＝S△OBE＝S△OBD＝S△OCD． （3）AO：OD＝2：1，BO：OF＝2：1，CO：OE＝2：1，理由如下： 由（2）可知，S△OBD＝S△OAE＝S△OBE， ∴S△AOB＝S△OAE+S△OBE＝2S△OBD， ∵△AOB的边AO上的高与△BOD的边OD上的高相同， ∴AO：OD＝S△AOB：S△OBD＝2：1， 同理可得，BO：OF＝2：1，CO：OE＝2：1． 【点评】本题考查了三角形中线平分面积，熟记此定理是解题的关键． 28．（2025秋•江阴市校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　5＜PA+PB+PC＜10　 ． 【分析】【直接应用】根据三角形三边关系得到AC+CD＞AD，在不等式两边都加上DB即可得到结论； 【深化应用】延长BP交AC于点D，根据三角形三边关系得到BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②，利用①+②即可推出AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】根据三角形三边关系得到PA+PB＞AB①，PA+PC＞AC②，PB+PC＞BC③，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【解答】【直接应用】证明：由三角形三边关系得，AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD，即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】证明：延长BP交AC于点D，如图， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】解：在△ABP中，PA+PB＞AB①， 同理，PB+PC＞BC③，PA+PC＞AC②， ①+②+③得，2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC， ∴2（PA+PB+PC）＞10， ∴PA+PB+PC＞5， ∵△ABC的周长为10， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC， ∴5＜PA+PB+PC＜10， 则5＜PA+PB+PC＜10． 故答案为：5＜PA+PB+PC＜10． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 29．（2025秋•鼓楼区校级月考）（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积； （2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积（用含a，b，α的代数式表示）； （3）如图③，四边形ABCD，若AC＝m，BD＝n，对角线AC、BD交于O点，它们所围成的锐角为β，则 四边形ABCD的面积为　mn•Sinβ　 （用含β的代数式表示）． 【分析】（1）、（2）过点A作BC边上的高，利用∠C的正弦表达BC上的高，再求三角形ABC的面积即可； （3）分别过点A、C作BD上的高，利用∠AOC＝∠COD＝β的正弦表达BD上的高，再计算三角形ABD和三角形CBD的面积和表达四边形ABCD的面积即可． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AM⊥BC于点M， 在Rt△AMC中，AC＝4，∠C＝60°， ∴SinC＝Sin60°， ∴AM＝AC•Sin60°＝42， ∴S△ABCBC•AM6×26． （2）如图2，过点A作AM⊥BC于点M， 在Rt△AMC中，AC＝b，∠C＝α， ∴SinC＝Sinα， ∴AM＝AC•Sinα＝4Sinα， ∴S△ABCBC•AMabSinα． （3）如图3，分别过点A、C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∵∠AOE＝∠COD＝β， ∴在Rt△AOE中，Sinβ，∴AE＝OA•Sinβ， 在Rt△COF中，Sinβ，CF＝OC•Sinβ， ∴S四边形ABCE ＝S△ABD+S△BCD BD•AEBD•CF BD（AE+CF） n（OA•Sinβ+OC•Sinβ） （OA+OC） •AC •m mn•Sinβ． 故答案为：mn•Sinβ． 【点评】本题考查了三角形的面积和列代数式，（1）、（2）关键是作BC边上的高，（3）把四边形ABCD看成三角形ABC和三角形CBD的面积和，作BD边上的高是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题一 三角形 目录 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：三角形的概念】 【考点2：三角形的边与角】 【考点3：三角形的高】 【考点4：三角形的个数】 【考点5：三角形三边之间的关系】 【考点6：三角形三边关系的应用】 【考点7：与中线有关的三角形面积问题】 【考点8：与中线有关的三角形周长问题】 【考点9：三角形中角度问题】 【考点10：绝对值的化简问题】 三、巩固练习 一、知识点回顾 1．三角形的有关概念 （1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）相关概念：组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形的分类 （1）按角分类 （2）按边分类 3．与三角形有关的线段 （1）三角形的高： ①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． ②三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （2）三角形的中线： ①三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． ②一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． （3）三角形的角平分线： ①三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点，交点叫作三角形的内心． 4．三角形的三边关系 （1）三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． （2）理论依据：两点之间，线段最短． （3）判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 5．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 6．三角形内角和定理 （1）三角形三个内角的和等于180°． （2）三角形内角和定理的应用 ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； ③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 7．三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． （2）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． ③三角形的外角和等于360°．（每个顶点处取一个外角） ④三角形的外角与其相邻内角互为邻补角． 二、考点分析 【考点1：三角形的概念】 1．（2025秋•黔南州期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•伊犁州期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•阿克陶县月考）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【考点2：三角形的边与角】 4．（2025秋•曲靖期末）在△ABE中，AB边所对的角是（　　） A．∠ADB B．∠AEB C．∠ACB D．∠AEC 5．（2023秋•东莞市校级月考）如图，在△BCE中，∠CBE所对的边是 　 　 ；在△AEC中，边AE所对的角是 　 　 ． 6．（2025秋•崖州区期中）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的　 　 ． 【考点3：三角形的高】 7．（2025秋•鞍山期末）如图，△ABC中，AD是高线，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•黔东南州期末）下列四个图形中，BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•西和县期末）在下列各图形中，线段AD是△ABC的BC边上高的是（　　） A． B． C． D． 【考点4：三角形的个数】 10．（2025秋•昭通期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025秋•富县期中）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025秋•武汉期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【考点5：三角形三边之间的关系】 13．（2025秋•西岗区校级期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．3cm，5cm，9cm D．2cm，7cm，9cm 14．（2025秋•西宁期末）使用如图所示的两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　） A．①②都可以 B．只有①可以 C．①②都不可以 D．只有②可以 15．（2025秋•昌都市期末）下列几组数中，不能构成三角形三边长的是（　　） A．5，12，13 B．9，10，11 C．0.5，1.2，1.3 D．2，3，5 【考点6：三角形三边关系的应用】 16．（2025秋•天山区校级期末）已知，一个三角形的两边的长分别是3cm和5cm，则第三边的长可能是（　　） A．1.8cm B．2cm C．4.3cm D．9cm 17．（2025秋•新乡期末）已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形第三边的长可能是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 18．（2025秋•铁岭县期末）如图，在池塘两端分别取点A和点B，池塘外有一点P，测得PA＝80m，PB＝90m，点A与点B之间的距离可能是（　　） A．9m B．10m C．120m D．170m 【考点7：与中线有关的三角形面积问题】 19．（2025秋•瓦房店市期末）如图，在△ABC中，BC＝8，D是BC边上的一点，DC＝3，连接AD，BE是△ABD的中线，若△ABE面积是2.5，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．7.5 C．8 D．10 20．（2025秋•东海县期末）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AEF的面积为1cm2，则△ABC的面积是（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 21．（2025秋•临夏州期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（　　） A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2 【考点8：与中线有关的三角形周长问题】 22．（2025秋•林芝市期末）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm D是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 24．（2025秋•宁波期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝7cm，BC＝5cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多 　　 cm． 【考点9：三角形中角度问题】 25．（2025秋•东莞市期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝120°，∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　） A．20° B．25° C．10° D．15° 26．（2025秋•泌阳县校级期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．50° C．90°或50° D．90°或30° 27．（2025秋•常州校级月考）如图，点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，AC＝AD，△ABD与△ACD的面积之比为AB：AC，若∠BAC＝60°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．60° 【考点10：绝对值的化简问题】 28．（2024秋•凉州区校级期末）设a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|+|a+c﹣b|． 29．（2025秋•恩施市校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 30．（2025春•金凤区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 三、巩固练习 一．选择题 1．（2025秋•庆阳期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 2．（2025秋•西城区校级期末）已知△ABC中，AB＝3，BC＝5，且第三边AC的长度是奇数，则AC的最大长度是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2025秋•道外区期末）如图，以AB为边的三角形共有（　　）个． A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2025秋•海珠区校级月考）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，若AE＝6，S△ABD＝15，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 5．（2025秋•望花区期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•中山区校级期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．BF 7．（2025秋•鸡西期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 8．（2025秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S四边形BCED为（　　） A．9 B．12 C．24 D．27 9．（2025•锡山区二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 二．填空题 10．（2025秋•牡丹江期末）已知三角形两边长分别是3和5，第三条边为偶数，那么第三条边c的取值可能是　　 ． 11．（2025秋•钟楼区月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE⊥BC于点E．若△ABC的面积为24，AE＝6，则BD的长为　　 ． 12．（2025秋•扬州校级期末）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为　　 cm2． 13．（2025秋•牡丹江期末）如图，AD是的中线，点E在AC边上一点，连接BE交AD于点F，且AE：CE＝3：2，若S△ABC＝60，则S四边形DCEF＝　　 ． 14．（2025秋•绥德县期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　　 m（写一个即可）． 15．（2025秋•崆峒区校级期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|的结果为　 ． 16．（2025秋•皮山县月考）一个三角形的三条边长分别为6，7，x+1，则x的取值范围是 　 ． 17．（2025春•邯郸期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 ． 18．（2025秋•浑源县月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，连接AD，第一次取BD的中点为D1，连接AD1，记△ADD1的面积为S1；第二次取DD1的中点为D2，连接AD2，记△ADD2的面积为S2；第三次取DD2的中点为D3，连接AD3，记△ADD3的面积为S3；…．若△ABC的面积为4，则△ADD2026的面积为　 ． 三．解答题 19．（2025秋•南岗区期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长； （2）AC能否等于12？为什么？ 20．（2025秋•伊通县期末）（1）在△ABC中，BC边上的高是 ； （2）在△AEC中，AE边上的高是 ； （3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长． 21．（2025春•宜宾期末）如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE． （1）当AE为边BC上的中线时，若AD＝6，△ABC的面积为24，求CE的长； （2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． 22．（2025春•衡阳县期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，则BC＝　　 ． 23．（2025春•巴中期末）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a+b﹣2c+8＝0，a﹣b﹣3c+22＝0． （1）求c的取值范围． （2）若△ABC的周长为22，求a，b，c的值． 24．（2025秋•昆明期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|； （2）若a＝5，b＝2，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断△ABC的形状． 25．（2025秋•宜兴市校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　 ． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 26．（2025秋•泰山区校级月考）如图，CD，CE分别是△ABC的高和中线． （1）若△ABC的面积为84cm2，AB＝24cm，则CD＝　7cm ； （2）若CA＝6cm，BC＝13cm，求△BCE与△ACE的周长差． 27．（2025秋•岫岩县月考）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板ABC上画出中线AD，可以得到S△ABD　　 S△ACD（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图③，三角形薄板ABC的三条中线AD，CE，BF相交于点O，试判断三角形薄板ABC被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想AO：OD，BO：OF，CO：OE的值，并说明理由． 28．（2025秋•江阴市校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　　 ． 29．（2025秋•鼓楼区校级月考）（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积； （2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积（用含a，b，α的代数式表示）； （3）如图③，四边形ABCD，若AC＝m，BD＝n，对角线AC、BD交于O点，它们所围成的锐角为β，则 四边形ABCD的面积为　　 （用含β的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $